Как продифференцировать неявную функцию

Загрузить PDF
Соавтор(ы): Joseph Meyer

Загрузить PDF

Когда вам дана явная функция, у которой зависимая переменная обособлена на одной стороне от знака равенства (например, y = x 2 -3x), то вы запросто можете продифференцировать ее (то есть найти ее производную). Но неявные функции (например, x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19), в которых обособить зависимую переменную не так просто, дифференцируют по другому.

Метод 1
Метод 1 из 2:

Нахождение производной простой функции

Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Do-Implicit-Differentiation-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Implicit-Differentiation-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f0\/Do-Implicit-Differentiation-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Implicit-Differentiation-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    На обеих сторонах функции найдите (стандартным способом) производные членов, содержащих независимую переменную «х», и производные свободных членов. На этом этапе члены, содержащие зависимую переменную «у», пока не трогайте. Например, дана функция x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19.
    • В нашем примере x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19 есть два члена с переменной «х»: x 2 и -5x. Найдите их производные:
      x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19
      (Показатель степени 2 в x 2 сделайте множителем, в -5x избавьтесь от «х», а производная 19 равна 0)
      2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d4\/Do-Implicit-Differentiation-Step-2-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Implicit-Differentiation-Step-2-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d4\/Do-Implicit-Differentiation-Step-2-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Implicit-Differentiation-Step-2-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Теперь возьмите производные от членов с переменной «у» и припишите к ним (dy/dx). Например, при нахождении производной члена y 2 запишите ее так: 2y(dy/dx). На этом этапе члены, содержащие обе переменные («х» и «у»), пока не трогайте.
    • В нашем примере 2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0 продифференцируйте члены y 2 и 8y:
      2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0
      (Показатель степени 2 в у 2 сделайте множителем, а в 8у избавьтесь от «у»; затем припишите к полученным производным dx/dy)
      2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy 2 = 0
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ee\/Do-Implicit-Differentiation-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Implicit-Differentiation-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ee\/Do-Implicit-Differentiation-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Implicit-Differentiation-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Для нахождения производной члена, содержащего произведение двух переменных («х» и «у»), воспользуйтесь правилом дифференцирования произведения функций: (f × g)' = f' × g + g × f' , где вместо f подставьте «х», а вместо g – «у». [1] С другой стороны, для нахождения производной члена, содержащего частное двух переменных («х» и «у»), воспользуйтесь правилом дифференцирования частного функций: (f/g)' = (g × f' - g' × f)/g 2 , где вместо f подставьте «х», а вместо g – «у» (или наоборот в зависимости от данной вам функции). [2]
    • В нашем примере 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2ху 2 = 0 есть один член с обеими переменными: 2xy 2 . Так как здесь переменные перемножаются, воспользуйтесь правилом дифференцирования произведения функций:
      2xy 2 = (2x)(y 2 )— пусть 2x = f и y 2 = g в (f × g)' = f' × g + g × f'
      (f × g)' = (2x)' × (y 2 ) + (2x) × (y 2 )'
      (f × g)' = (2) × (y 2 ) + (2x) × (2y(dy/dx))
      (f × g)' = 2y 2 + 4xy(dy/dx)
    • Добавьте эти члены в основную функцию и получите: 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5f\/Do-Implicit-Differentiation-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Implicit-Differentiation-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5f\/Do-Implicit-Differentiation-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Implicit-Differentiation-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Имейте в виду, что любые два члена «а» и «b», которые умножаются на (dy/dx), можно записать в виде (a + b)(dy/dx). [3] Для обособления (dy/dx) перенесите все члены без (dy/dx) на одну сторону от знака равенства, а затем разделите их на члены, стоящие в скобках у (dy/dx).
    • В нашем примере 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0:
      2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0
      (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y 2 = 0
      (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y 2 - 2x + 5
      (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
      (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
    Реклама
Метод 2
Метод 2 из 2:

Продвинутые методы

Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e2\/Do-Implicit-Differentiation-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Implicit-Differentiation-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e2\/Do-Implicit-Differentiation-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Implicit-Differentiation-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Обособив (dy/dx), вы нашли производную неявной функции. Используя эту производную, вы можете найти угловой коэффициент касательной в любой точке (х,у), просто подставив в найденную производную координаты «х» и «у».
    • Например, необходимо найти угловой коэффициент касательной в точке А (3,-4). Для этого в производную вместо «х» подставьте 3, а вместо «у» подставьте -4:
      (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
      (dy/dx) = (-2(-4) 2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
      (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))
      (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))
      (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))
      (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48 = 0,6875 .
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e2\/Do-Implicit-Differentiation-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Implicit-Differentiation-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e2\/Do-Implicit-Differentiation-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Implicit-Differentiation-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    если функцию F(x) можно записать в виде (f o g)(x), производная F(x) равна f'(g(x))g'(x) . Это означает, что производную композиции двух и более функций можно вычислить на основе индивидуальных производных.
    • Пример: найдите производную sin(3x 2 + x). В этом случае обозначим sin(3x 2 + x) как "f(x)" и 3x 2 + x как "g(x)".
      f'(g(x))g'(x)
      (sin(3x 2 + x))' × (3x 2 + x)'
      cos(3x 2 + x) × (6x + 1)
      (6x + 1)cos(3x 2 + x)
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/28\/Do-Implicit-Differentiation-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Do-Implicit-Differentiation-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/28\/Do-Implicit-Differentiation-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Do-Implicit-Differentiation-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    То есть если функция содержит более двух переменных, для каждой дополнительной переменной необходимо найти дополнительную производную по «х». Например, если функция содержит переменные «х», «у», «z», нужно найти (dz/dx) и (dz/dy). Вы можете сделать это, продифференцировав функцию по «х» дважды – в первый раз допишите (dz/dx) у каждого продифференцированного члена с «z», а во второй раз допишите (dz/dy) при дифференцировании «z». После этого просто обособьте (dz/dx) и (dz/dy).
    • Например, найдите производную x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3 .
    • Во-первых, продифференцируйте по «х» и допишите (dz/dx). Не забудьте применить правило нахождения производной произведения функций.
      x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3
      3x 2 z 2 + 2x 3 z(dz/dx) - 5y 5 z - 5xy 5 (dz/dx) = 2x
      3x 2 z 2 + (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dx) - 5y 5 z = 2x
      (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dx) = 2x - 3x 2 z 2 + 5y 5 z
      (dz/dx) = (2x - 3x 2 z 2 + 5y 5 z)/(2x 3 z - 5xy 5 )
    • Теперь проделайте то же самое для (dz/dy):
      x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3
      2x 3 z(dz/dy) - 25xy 4 z - 5xy 5 (dz/dy) = 3y 2
      (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dy) = 3y 2 + 25xy 4 z
      (dz/dy) = (3y 2 + 25xy 4 z)/(2x 3 z - 5xy 5 )
    Реклама

Предупреждения

  • Обращайте внимание на члены, при дифференцировании которых необходимо применять правило нахождения производной произведения или частного функций.
Реклама

Дополнительные статьи

Как
найти квадратный корень числа вручную
Как
переводить из двоичной системы в десятичную
Как
найти среднее значение, моду и медиану
Как
вычислить общее сопротивление цепи
Как
перевести миллилитры в граммы
Как
извлечь квадратный корень без калькулятора
Как
измерить рост без мерной ленты
Как
найти множество значений функции
Как
решать кубические уравнения
Как
переводить из десятичной системы счисления в двоичную
Как
найти область определения и область значений функции
Как
проводить действия с дробями
Как
вычислить вероятность
Как
складывать и вычитать квадратные корни
Реклама

Источники

  1. ↑ https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/prodrule/
  2. ↑ https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/quotientruledirectory/QuotientRule.html
  3. ↑ http://coolmath.com/prealgebra/06-properties/05-properties-distributive-01.htm

Об этой статье

На других языках
Эту страницу просматривали 10 573 раза.

Была ли эта статья полезной?

Реклама