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Wenn du in der Differentialrechnung eine Gleichung für y , die nur Terme mit x enthält (wie y = x 2 -3x), hast, dann ist es leicht, die grundlegenden Ableitungstechniken zu verwenden (unter Mathematikern bekannt als "explizite Ableitungs"-Techniken), um die Ableitung zu bestimmen. Doch für Gleichungen, bei denen es schwierig ist, sie so umzuformen, dass y allein auf der einen Seite des Gleichheitszeichens steht (x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19), brauchen wir einen anderen Ansatz. Mit einer Technik, die implizites Differenzieren genannt wird, ist es einfach, die Ableitungen von Gleichungen mit mehreren Variablen zu berechnen, wenn du die Grundlagen des expliziten Differenzierens beherrscht!
Vorgehensweise
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Leite die x -Terme wie üblich ab. Wenn du versuchst, eine Gleichung mit mehreren Variablen wie x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19 abzuleiten, kann es schwierig sein, einen Anfang zu finden. Zum Glück ist der erste Schritt beim impliziten Differenzieren der leichteste. Leite einfach zuerst die x -Terme und Konstanten auf beiden Seiten der Gleichung nach den normalen (expliziten) Regeln der Differentialrechnung ab. Ignoriere erst einmal die y -Terme.
- Lass uns obige einfache Gleichung zusammen ableiten. x 2
+ y 2
- 5x + 8y + 2xy 2
= 19 hat zwei x
-Terme: x 2
und -5x. Wenn wir die Gleichung ableiten wollen, dann fangen wir mit diesen beiden an:
-
- x 2 + y 2 - 5x + 8y + 2xy 2 = 19
- (Schreibe den Exponenten "2" in x 2 als Koeffizient vor das x , entferne das x in -5x und schreibe 0 statt 19)
- 2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0
-
- Lass uns obige einfache Gleichung zusammen ableiten. x 2
+ y 2
- 5x + 8y + 2xy 2
= 19 hat zwei x
-Terme: x 2
und -5x. Wenn wir die Gleichung ableiten wollen, dann fangen wir mit diesen beiden an:
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Leite die y -Terme ab und füge "(dy/dx)" zu den Termen hinzu. Im nächsten Schritt leiten wir die y -Terme genauso ab wie die x -Terme. Allerdings schreiben wir dieses Mal "(dy/dx)" zu dem Term dazu, genauso wie einen Koeffizienten. Wenn wir zum Beispiel y 2 ableiten, dann schreiben wir 2y(dy/dx). Wir ignorieren Terme mit x und y im Moment.
- In unserem Beispiel sieht die Gleichung nun folgendermaßen aus: 2x + y 2
- 5 + 8y + 2xy 2
= 0. Wir führen den Schritt der Ableitung der y
-Terme folgendermaßen aus:
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- 2x + y 2 - 5 + 8y + 2xy 2 = 0
- (Schreibe den Exponenten "2" in y 2 als Koeffizient vor das y , entferne das y in 8y und schreibe "dy/dx" überall dazu).
- 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy 2 = 0
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- In unserem Beispiel sieht die Gleichung nun folgendermaßen aus: 2x + y 2
- 5 + 8y + 2xy 2
= 0. Wir führen den Schritt der Ableitung der y
-Terme folgendermaßen aus:
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Benutze die Produkt- oder Quotienten-Regel für Terme mit x und y. Das Behandeln der Terme, die sowohl x als auch y enthalten, ist etwas aufwendiger, aber wenn du die Produkt- und Quotienten-Regel für die Ableitung kennst, kann dir nichts passieren. Wenn x und y multipliziert werden, nimm die Produkt-Regel ( (f * g)' = f' * g + g' * f ), und setze den x -Term für f und den y -Term für g ein. Falls allerdings die x- und y-Terme durch einander geteilt werden, dann benutze die Quotienten-Regel ( (f/g)' = (g * f' - g' * f)/g 2 ), und setze den Zähler-Term für f und den Nenner-Term für g ein. [1] X Forschungsquelle
- In unserem Beispiel 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy 2
= 0 haben wir nur einen Term mit x
und y
— 2xy 2
. Da x
und y
mit einander multipliziert werden, benutzen wir die Produkt-Regel, um folgendermaßen zu differenzieren:
-
- 2xy 2 = (2x)(y 2 )— setze 2x = f und y 2 = g in (f * g)' = f' * g + g' * f
- (f * g)' = (2x)' * (y 2 ) + (2x) * (y 2 )'
- (f * g)' = (2) * (y 2 ) + (2x) * (2y(dy/dx))
- (f * g)' = 2y 2 + 4xy(dy/dx)
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- Wenn wir dies nun wieder in unsere Gleichung einsetzen, dann erhalten wir 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0
- In unserem Beispiel 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy 2
= 0 haben wir nur einen Term mit x
und y
— 2xy 2
. Da x
und y
mit einander multipliziert werden, benutzen wir die Produkt-Regel, um folgendermaßen zu differenzieren:
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Bringe (dy/dx) auf eine Seite. Wir haben es fast geschafft! Jetzt müssen wir die Gleichung nur noch nach (dy/dx) auflösen. Das sieht schwierig aus, aber das ist es normalerweise gar nicht — vergiss nicht, dass zwei beliebige Terme a und b , die jeweils mit (dy/dx) multipliziert werden, als (a + b)(dy/dx) geschrieben werden können nach der Distributiv-Eigenschaft der Multiplikation. [2] X Forschungsquelle Diese Strategie kann es leicht machen, (dy/dx) auf eine Seite zu bringen — bringe einfach alle anderen Terme auf die andere Seite der Klammer und teile dann durch den Klammer-Ausdruck vor (dy/dx).
- In unserem Beispiel können wir 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2
+ 4xy(dy/dx) = 0 folgendermaßen vereinfachen:
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- 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2 + 4xy(dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y 2 = 0
- (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y 2 - 2x + 5
- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4))
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Werbeanzeige - In unserem Beispiel können wir 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y 2
+ 4xy(dy/dx) = 0 folgendermaßen vereinfachen:
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Setze (x, y)-Werte ein, um (dy/dx) für einen beliebigen Punkt zu bestimmen. Herzlichen Glückwunsch! Du hast deine Gleichung implizit abgeleitet — nicht so leicht am Anfang! Um mit dieser Gleichung die Steigung (dy/dx) für einen beliebigen Punkt (x, y) zu bestimmen, brauchst du nur die x - und y -Werte für deinen Punkt in die rechte Seite der Gleichung einsetzen und dann (dy/dx) ausrechnen.
- Angenommen, wir wollen die Steigung im Punkt (3, -4) für unsere Beispiel-Gleichung oben bestimmen. Wir setzen deshalb 3 für x
und -4 für y
ein und rechnen folgendermaßen weiter:
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- (dy/dx) = (-2y 2 - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4))
- (dy/dx) = (-2(-4) 2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4))
- (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4)))
- (dy/dx) = (-32 - 6 + 5)/(2(2(-12)))
- (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12)))
- (dy/dx) = (-33)/(-48) = 33/48 oder 0,6875 .
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- Angenommen, wir wollen die Steigung im Punkt (3, -4) für unsere Beispiel-Gleichung oben bestimmen. Wir setzen deshalb 3 für x
und -4 für y
ein und rechnen folgendermaßen weiter:
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Benutze die Kettenregel für Funktionen innerhalb von Funktionen. Die Kettenregel ist ein wichtiges Hilfsmittel bei Differentialrechnungsaufgaben (auch bei impliziten Ableitungs-Aufgaben). Die Kettenregel besagt, dass für eine Funktion F(x), die als (f o g)(x) geschrieben werden kann, die Ableitung von F(x) gleich f'(g(x))g'(x) ist. Für schwierige Aufgaben mit impliziten Funktionen heißt das, dass man verschiedene individuelle "Stücke" der Gleichung ableiten kann und sie dann zu dem Ergebnis zusammen setzen kann.
- Angenommen, als einfaches Beispiel wollen wir die Ableitung von sin(3x 2
+ x) als Teil einer größeren Aufgabe mit impliziten Funktionen für die Gleichung sin(3x 2
+ x) + y 3
= 0 bestimmen. Wenn wir uns sin(3x 2
+ x) als "f(x)" und 3x 2
+ x als "g(x)" vorstellen, können wir die Ableitung folgendermaßen bestimmen:
-
- f'(g(x))g'(x)
- (sin(3x 2 + x))' * (3x 2 + x)'
- cos(3x 2 + x) * (6x + 1)
- (6x + 1)cos(3x 2 + x)
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- Angenommen, als einfaches Beispiel wollen wir die Ableitung von sin(3x 2
+ x) als Teil einer größeren Aufgabe mit impliziten Funktionen für die Gleichung sin(3x 2
+ x) + y 3
= 0 bestimmen. Wenn wir uns sin(3x 2
+ x) als "f(x)" und 3x 2
+ x als "g(x)" vorstellen, können wir die Ableitung folgendermaßen bestimmen:
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Bei Gleichungen mit den Variablen x, y und z müssen wir (dz/dx) und (dz/dy) berechnen. Es ist zwar nicht üblich in der einfachen Differentialrechnung, aber kompliziertere Anwendungen benötigen eventuell implizite Ableitungen von mehr als zwei Variablen. Für jede Extra-Variable müssen wir die Extra-Ableitung nach x bestimmen. Wenn wir zum Beispiel x, y und z haben, brauchen wir sowohl (dz/dy) als auch (dz/dx). Wir können dies tun, indem wir die Gleichung zweimal nach x ableiten — das erste Mal fügen wir (dz/dx) jedes Mal ein, wenn wir einen Term mit z ableiten, und das zweite Mal fügen wir (dz/dy) jedes Mal ein, wenn wir einen Term mit z ableiten. Danach müssen wir nur noch nach (dz/dx) und (dz/dy) auflösen.
- Angenommen, wir wollen x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3 ableiten.
- Zuerst leiten wir nach x ab und fügen (dz/dx) ein. Vergiss nicht, an den richtigen Stellen die Produkt-Regel anzuwenden!
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- x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3
- 3x 2 z 2 + 2x 3 z(dz/dx) - 5y 5 z - 5xy 5 (dz/dx) = 2x
- 3x 2 z 2 + (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dx) - 5y 5 z = 2x
- (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dx) = 2x - 3x 2 z 2 + 5y 5 z
- (dz/dx) = (2x - 3x 2 z 2 + 5y 5 z)/(2x 3 z - 5xy 5 )
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- Nun machen wir dasselbe für (dz/dy)
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- x 3 z 2 - 5xy 5 z = x 2 + y 3
- 2x 3 z(dz/dy) - 25xy 4 z - 5xy 5 (dz/dy) = 3y 2
- (2x 3 z - 5xy 5 )(dz/dy) = 3y 2 + 25xy 4 z
- (dz/dy) = (3y 2 + 25xy 4 z)/(2x 3 z - 5xy 5 )
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Warnungen
- Pass immer auf, ob du die Quotienten- oder Produkt-Regel anwenden musst. Man kann es leicht vergessen.
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Referenzen
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