تنزيل المقال
تنزيل المقال
تُعرف السرعة بأنها النسبة بين المسافة التي يتحركها الجسم في اتجاه ما والزمن. [١] X مصدر بحثي يتم حساب السرعة عادةً باستخدام هذه المعادلةv = s/t، بحيث تُمثّل السرعة بالرمز v وتُمثّل المسافة أو إزاحة الجسم من موضع السكون بالرمز s والزمن بالرمز t. تُعطي هذه المعادلة عند التعويض فيها بهذه القيم سرعة متوسطة للجسم أثناء حركته في مساره. يمكنك حساب سرعة الجسم في أي لحظة أثناء حركته في مساره باستخدام التفاضل، فيما يُعرف بالسرعة اللحظية. يتم حساب هذه السرعة اللحظية من المعادلة: v = (ds)/(dt) . تمثل هذه المعادلة اشتقاق. سرعة الجسم المتجهة المتوسطة . [٢] X مصدر بحثي
الخطوات
-
ابدأ باستخدام معادلة إيجاد السرعة كدالة في الإزاحة. يجب أولًا أن يكون لديك معادلة للسرعة كدالة في الإزاحة في لحظةٍ زمنيةٍ معينة لإيجاد السرعة اللحظية. يعني هذا أن المعادلة يجب أن يكون بها متغيرات المسافة والزمن بحيث تكون المسافة الممثلة بالرمز s في جانب بمفردها، ويكون الزمن المُمثل بالرمز t في الجانب الآخر ولكن لا يُشترط أن يكون بمفرده. ستكون المعادلة هكذا:
s = -1.5t 2 + 10t + 4
- تشتمل هذه المعادلة على ما يلي من المتغيرات:
-
- الإزاحة = s . وهي ترمز للمسافة الذي تحركها الجسم بدءًا من موضع السكون. [٣] X مصدر بحثي إذا تحرك جسم على سبيل المثال للأمام مسافة 10 متر وتحرك للخلف مسافة 7 متر، سيُمثل إجمالي الإزاحة التي تحركها الجسم بالمعادلة:10 - 7 = 3 متر (وليس 10 + 7 = 17 متر).
- الزمن = t . يُقاس الزمن في هذه المعادلة بالثواني
-
- تشتمل هذه المعادلة على ما يلي من المتغيرات:
-
قم بتفاضل الدالة. يُعرف تفاضل أو اشتقاق الدالة بأنه معادلة تعطيك ميل الدالة عند أي لحظة زمنية. ضع الدالة على صورة معادلة بها متغيرات يتم التعويض عن إحداها بدلالة الأخرى لإيجاد المشتقة، ويتم اشتقاق أو تفاضل إحدى المتغيرات بالنسبة للآخر. إذا كانت المعادلة على هذا الشكل: y = a*x n ، سيكون اشتقاقها هكذا:= a*n*x n-1 . يتم تطبيق هذه القاعدة على كل حدود الطرف الآخر من المعادلة الذي يشتمل على دالة الزمن "t" .
- ابدأ بالجانب الذي يشتمل على متغير الزمن "t" من اليسار إلى اليمين. اطرح 1 من الأس لكل حد يحتوي على المتغير"t"، واضرب هذا الحد × رقم الأس الأساسي قبل الطرح. سيختفي أي حد آخر لا يحتوي على المتغير"t"، إذ سيتم ضرب هذا الحد × صفر. لا تتصف هذه العملية بالصعوبة التي تبدو عليها. لنقم بتفاضل هذه الدالة كمثال :
s = -1.5t 2 + 10t + 4
(2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
-3t 1 + 10t 0
-3t + 10
- ابدأ بالجانب الذي يشتمل على متغير الزمن "t" من اليسار إلى اليمين. اطرح 1 من الأس لكل حد يحتوي على المتغير"t"، واضرب هذا الحد × رقم الأس الأساسي قبل الطرح. سيختفي أي حد آخر لا يحتوي على المتغير"t"، إذ سيتم ضرب هذا الحد × صفر. لا تتصف هذه العملية بالصعوبة التي تبدو عليها. لنقم بتفاضل هذه الدالة كمثال :
-
استبدل المتغير"s" ب"ds/dt." استبل ال المتغير "s" ب"ds/dt" لتصبح المعادلة الجديدة هي معادلة اشتقاق. تعني هذه الرموز اشتقاق الإزاحة بالنسبة للزمن. يمكنك اعتبار هذه الرموز بمثابة ميل أي نقطة تقع على المنحنى الممثل بالدالة الأولى. سنعوض عن قيمة "t" بالرقم 5 بعد الاشتقاق لإيجاد ميل الخط الممثل بالدالة التالية:s = -1.5t 2 + 10t + 4.
- يجب أن تكون الدالة النهائية في هذا المثال بعد الاشتقاق هكذا:
ds/dt = -3t + 10
- يجب أن تكون الدالة النهائية في هذا المثال بعد الاشتقاق هكذا:
-
عوّض عن قيمة t في المعادلة الجديدة لإيجاد السرعة اللحظية. [٤] X مصدر بحثي يمكنك إيجاد السرعة اللحظية عند أي نقطة بسهولة فور حصولك على الدالة النهائية بعد الاشتقاق. تحتاج فقط إلى معرفة قيمة t والتعويض بها في المعادلة. إذا أردت إيجاد السرعة اللحظية عند t=5، ستضع الرقم 5 في موضع t في معادلة الاشتقاق النهائية لتكون هكذا:ds/dt = -3 + 10. سنقوم بعدها بحل المعادلة كما يلي:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 meters/second- لاحظ استخدام تمييز متر/ثانية، إذ أننا نتعامل هنا مع الإزاحة مُقدرة بالمتر كدالة في الزمن مُقدرًا بالثانية. تُعرف السرعة رياضيًا بشكلٍ عام بأنها دالة الإزاحة أو المسافة بالنسبة للزمن.
-
ارسم دالة إزاحة الجسم المدروس بالنسبة للزمن. لقد ذُكر سلفًا أن المشتقة هي دالة تعطيك ميل الخط عند أي نقطة تنتمي للمعادلة المشتقة. [٥] X مصدر بحثي إذا مثلت الإزاحة بخط مرسوم بيانيًا، سيساوي الميل عند أي نقطة السرعة اللحظية عند هذه النقطة .
- استخدم محور السين أو X كممثلًا للزمن ومحور الصاد أو Y كممثلًا للإزاحة عند تمثيل حركة الجسم بيانيًا. وقّع النقط بالتعويض عن قيم t في معادلات لإزاحة للحصول على قيمة s. سيكون tوs هما نقاط (x,y) الممثلين بيانيًا.
- لاحظ أن الرسم البياني قد يمتد لأسفل محور السين. إذا تحرك الخط الممثل بيانيًا أسفل محور السين، يعني هذا أن الجسم يتحرك إلى الخلف في اتجاه مضاد. لن يمتد الرسم لما وراء محور الصاد، إذ لا يتم قياس سرعة الأجسام التي تتحرك عكس الزمن.
-
اختر نقاطًا متقاربة على الخط. سنقوم باستخدام مفهوم رياضي يُدعى النهاية لإيجاد ميل الخط عند النقطة P. ستحتاج لحساب النهاية أن تتعامل مع نقطتين على المنحنى هما P وQ، ويجب أن يكونا متقاربتين. ستجد ميل الخط المستقيم الواصل بينهما مرارًا وتكرارًا بسبب تقلص المسافة بين النقطتين.
- لنقل أن الإزاحة تُمثل بالنقاط (1,3) و(4,7). إذا أردت أن تحسب الميل عند النقطة (1,3)، سنضع (1,3) = P و (4,7) = Q .
-
احسب الميل بين النقطتين P وQ. يمثل الميل بين النقطتين الفرق بين قيم الصاد للنقطتين P وQ مقسومًا على الفرق بين قيم السين للنقطتين P وQ. يمكننا تمثيلها رياضيًا كما يلي: H = (y Q - y P )/(x Q - x P ) بحيث يرمز H إلى الميل بين النقطتين. سيتم حساب الميل في هذا المثال كما يلي:
H = (y Q - y P )/(x Q - x P )
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33 -
كرر الأمر عدة مرات، وحرّك النقطة Q باتجاه النقطة P. نهدف هنا إلى تقليص المسافة بين P وQ إلى أن يتطابقا ويصبحا نقطة واحدة. كلما صغرت المسافة بين النقطتين، اقتربت قيمة ميل الخط من الميل عند النقطة P. كرر الأمر عدة مرات بالتعويض بالنقاط (2,4.8)و (1.5,3.95)و (1.25,3.49) كقيم لـ Q، وتكون النقطة P الأصلية هي (1,3):
Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96 -
احسب الميل بالتعويض بنقاط فترة صغيرة على الخط. ستقترب قيمة الميل H من قيمة الميل عند النقطة P كلما اقتربت النقطة Q من النقطة P. سيتساوى الميلان في النهاية، لأننا لا نستطيع حساب الميل عند النقطة P بعيدًا عن النقاط التي استخدمناها وعوّضنا بقيمها عند حساب الميل.
- تم تقريب النقطة Q إلى النقطة P في هذا المثال، وحصلنا على قيم H تساوي 1.8و 1.9و 1.96. يمكننا تقريب هذه القيم من 2، يمكن القول أن ميل النقطة P عند اشتقاق معادلة الخط = 2 بالتقريب.
- تذكر أن ميل الخط عند نقطة معطاة على الخط يساوي مشتقة معادلة الخط عند هذه النقطة. يمكننا القول أن السرعة اللحظية عند زمن t=1 تساوي 2 متر/الثانية ، مع العلم أن الخط الممثل بيانيًا يعرض النسبة بين الإزاحة والزمن كما شُرح سلفًا.
-
احسب السرعة اللحظية عند t=4، مع العلم أن معادلة الإزاحة هي: s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. يتشابه هذا المثال مع المثال السابق، لكنه يختلف عنه فقط في أننا نتعامل هنا مع معادلة تكعيبية بدلًا المعادلة التربيعية من الدرجة الثانية. سنقوم بالحل بنفس الطريقة.
- سنبدأ باشتقاق المعادلة:
s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
15t (2) - 6t + 2 - سنقوم فيما بعد بالتعويض عن قيمة t بـ (4):
s = 15t (2) - 6t + 2
15(4) (2) - 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 meters/second
- سنبدأ باشتقاق المعادلة:
-
استخدم الحل البياني في إيجاد السرعة اللحظية عند النقطة (1,3)، مع العلم أن معادلة الإزاحة هي:s = 4t 2 - t. سيتم اعتبار (1,3) في هذه المسألة بمثابة النقطة P، لكننا يجب أن نجد نقاطًا أخرى بالقرب منها للتعامل معها كما لو أنها نقاط Q. تهدف هذه العملية لإيجاد قيم الميل H.
- يجب أولًا أن نجد نقاط Q عند التعويض عن t ب 2 و 1.5 و1.1 و1.01.
s = 4t 2 - t
t = 2: s = 4(2) 2 - (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, so Q = (2,14)
t = 1.5: s = 4(1.5) 2 - (1.5)
4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)
t = 1.1: s = 4(1.1) 2 - (1.1)
4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)
t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704) - سنجد فيما بعض قيم H:
Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) = 11
Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
H = (4.5)/(.5) = 9
Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04 - سنجد أن قيم H تقترب من الرقم 7، يمكننا اعتبار أن السرعة اللحظية عند النقطة (1,3) = 7 متر/الثانية .
- يجب أولًا أن نجد نقاط Q عند التعويض عن t ب 2 و 1.5 و1.1 و1.01.
أفكار مفيدة
- تُعرف العجلة رياضيًا بأنها تغير السرعة بالنسبة للزمن. استخدم ما شُرح في الجزء الأول لإيجاد مشتقة معادلة الإزاحة، ثم اشتقها مرةً أخرى للحصول على العجلة في الوقت المعطى. ستحتاج فقط للتعويض بقيم الوقت المعطاة.
- تُعد المعادلة التي تربط الإزاحة بالزمن كدالتين في سين وصاد، أو X وY بسيطة للغاية مثل:Y= 6x + 3. يكون الميل في هذه الدالة ثابتًا و= 6. لا حاجة للاشتقاق من أجل إيجاده. تُمثّل المعادلات الخطية البسيطة هكذا:Y = mx + b.
- تُعرف الإزاحة رياضيًا بأنها المسافة ولكن ككمية رياضية متجهة وليست قياسية، مما يجعل الإزاحة متجهة والسرعة قياسية. يمكن أن تكون الإزاحة سالبة، بينما تكون المسافة دومًا موجبة.
المصادر
- ↑ http://www.physicsclassroom.com/class/1dkin/u1l1d.cfm
- ↑ http://formulas.tutorvista.com/physics/instantaneous-velocity-formula.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/science/physics/one-dimensional-motion/displacement-velocity-time/a/what-is-displacement
- ↑ https://sciencestruck.com/instantaneous-velocity
- ↑ https://www.mathopenref.com/calcinstantvel.html
