Загрузить PDF
Загрузить PDF
Скорость — это быстрота перемещения объекта в заданном направлении. [1] X Источник информации В общих целях нахождение скорости объекта (v) — простая задача: нужно разделить перемещение (s) в течение определенного времени (s) на это время (t), то есть воспользоваться формулой v = s/t. Однако таким способом получают среднюю скорость тела. Используя некоторые вычисления, можно найти скорость тела в любой точке пути. Такая скорость называется мгновенной скоростью и вычисляется по формуле v = (ds)/(dt) , то есть представляет собой производную от формулы для вычисления средней скорости тела. [2] X Источник информации
Шаги
-
Начните с уравнения. Для вычисления мгновенной скорости необходимо знать уравнение, описывающее перемещение тела (его позицию в определенный момент времени), [3] X Источник информации то есть такое уравнение, на одной стороне которого находится s (перемещение тела), а на другой стороне — члены с переменной t (время). [4] X Источник информации Например:
s = -1.5t 2 + 10t + 4
- В этом уравнении:
-
- Перемещение = s . Перемещение — пройденный объектом путь. Например, если тело переместилось на 10 м вперед и на 7 м назад, то общее перемещение тела равно 10 - 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м).
- Время = t . Обычно измеряется в секундах.
-
- В этом уравнении:
-
Вычислите производную уравнения. Чтобы найти мгновенную скорость тела, чьи перемещения описываются приведенным выше уравнением, нужно вычислить производную этого уравнения. Производная — это уравнение, позволяющее вычислить наклон графика в любой точке (в любой момент времени). Чтобы найти производную, продифференцируйте функцию следующим образом: если y = a*x n , то производная = a*n*x n-1 . Это правило применяется к каждому члену многочлена.
- Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
s = -1.5t 2 + 10t + 4
(2)-1.5t (2-1) + (1)10t 1 - 1 + (0)4t 0
-3t 1 + 10t 0
-3t + 10
- Другими словами, производная каждого члена с переменной t равна произведению множителя (стоящему перед переменной) и степени переменной, умноженному на переменную в степени, равную исходной степени минус 1. Свободный член (член без переменной, то есть число) исчезает, потому что умножается на 0. В нашем примере:
-
Замените "s" на "ds/dt", чтобы показать, что новое уравнение — это производная от исходного уравнения (то есть производная s от t). Производная — это наклон графика в определенной точке (в определенный момент времени). Например, чтобы найти наклон линии, описываемой функцией s = -1.5t 2 + 10t + 4 при t = 5, просто подставьте 5 в уравнение производной.
- В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
ds/dt = -3t + 10
- В нашем примере уравнение производной должно выглядеть следующим образом:
-
В уравнение производной подставьте соответствующее значение t, чтобы найти мгновенную скорость в определенный момент времени. [5] X Источник информации Например, если вы хотите найти мгновенную скорость при t = 5, просто подставьте 5 (вместо t) в уравнение производной ds/dt = -3 + 10. Затем решите уравнение:
ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3(5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 м/с- Обратите внимание на единицу измерения мгновенной скорости: м/с. Так как нам дано значение перемещения в метрах, а время — в секундах, и скорость равна отношению перемещения ко времени, то единица измерения м/с — правильная.
Реклама
-
Постройте график перемещения тела. В предыдущей главе вы вычисляли мгновенную скорость по формуле (уравнению производной, позволяющему найти наклон графика в определенной точке). [6] X Источник информации Построив график перемещения тела, вы можете найти его наклон в любой точке, а следовательно определить мгновенную скорость в определенный момент времени .
- По оси Y откладывайте перемещение, а по оси X — время. Координаты точек (x,у) получите через подстановку различных значений t в исходное уравнение перемещение и вычисления соответствующих значений s.
- График может опускаться ниже оси X. Если график перемещения тела опускается ниже оси X, то это значит, что тело движется в обратном направлении от точки начала движения. Как правило, график не распространяется за ось Y (отрицательные значения x) — мы не измеряем скорости объектов, движущихся назад во времени!
-
Выберите на графике (кривой) точку P и близкую к ней точку Q. Чтобы найти наклон графика в точке P, используем понятие предела. Предел — состояние, при котором величина секущей, проведенной через 2 точки P и Q, лежащих на кривой, стремится к нулю.
- Например, рассмотрим точки P(1,3) и Q(4,7) и вычислим мгновенную скорость в точке P.
-
Найдите наклон отрезка PQ. Наклон отрезка PQ равен отношению разницы значений координат «у» точек P и Q к разнице значений координат «х» точек P и Q. Другими словами, H = (y Q - y P )/(x Q - x P ) , где H — наклон отрезка PQ. В нашем примере наклон отрезка PQ равен:
H = (y Q - y P )/(x Q - x P )
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33 -
Повторите процесс несколько раз, приближая точку Q к точке P. Чем меньше расстояние между двумя точками, тем ближе значение наклона полученных отрезков к наклону графика в точке P. В нашем примере проделаем вычисления для точки Q с координатами (2,4.8), (1.5,3.95) и (1.25,3.49) (координаты точки P остаются прежними):
Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3)/(2 - 1)
H = (1.8)/(1) = 1.8
Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3)/(1.5 - 1)
H = (.95)/(.5) = 1.9
Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3)/(1.25 - 1)
H = (.49)/(.25) = 1.96 -
Чем меньше расстояние между точками P и Q, тем ближе значение H к наклону графика в точке P При предельно малом расстоянии между точками P и Q, значение H будет равно наклону графика в точке P Так как мы не можем измерить или вычислить предельно малое расстояние между двумя точками, графический способ дает оценочное значение наклона графика в точке Р.
- В нашем примере при приближении Q к P мы получили следующие значения H: 1.8; 1.9 и 1.96. Так как эти числа стремятся к 2, то можно сказать, что наклон графика в точке P равен 2 .
- Помните, что наклон графика в данной точке равен производной функции (по которой построен этот график) в этой точке. График отображает перемещение тела с течением времени и, как отмечалось в предыдущем разделе, мгновенная скорость тела равна производной от уравнения перемещения этого тела. Таким образом, можно заявить, что при t = 2 мгновенная скорость равна 2 м/с (это оценочное значение).
Реклама
-
Вычислите мгновенную скорость при t = 4, если перемещение тела описывается уравнением s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9. Этот пример похож на задачу из первого раздела с той лишь разницей, что здесь дано уравнение третьего порядка (а не второго).
- Сначала вычислим производную этого уравнения:
s = 5t 3 - 3t 2 + 2t + 9
s = (3)5t (3 - 1) - (2)3t (2 - 1) + (1)2t (1 - 1) + (0)9t 0 - 1
15t (2) - 6t (1) + 2t (0)
15t (2) - 6t + 2 - Теперь подставим в уравнение производной значение t = 4:
s = 15t (2) - 6t + 2
15(4) (2) - 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 м/с
- Сначала вычислим производную этого уравнения:
-
Оценим значение мгновенной скорости в точке с координатами (1,3) на графике функции s = 4t 2 - t. В этом случае точка P имеет координаты (1,3) и необходимо найти несколько координат точки Q, лежащий близко к точке P. Затем вычислим H и найдем оценочные значения мгновенной скорости.
- Сначала найдем координаты Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
s = 4t 2 - t
t = 2: s = 4(2) 2 - (2)
4(4) - 2 = 16 - 2 = 14, so Q = (2,14)
t = 1.5: s = 4(1.5) 2 - (1.5)
4(2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)
t = 1.1: s = 4(1.1) 2 - (1.1)
4(1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)
t = 1.01: s = 4(1.01) 2 - (1.01)
4(1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704) - Теперь вычислим H:
Q = (2,14): H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) = 11
Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3)/(1.5 - 1)
H = (4.5)/(.5) = 9
Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3)/(1.1 - 1)
H = (.74)/(.1) = 7.3
Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(.01) = 7.04 - Так как полученные значения H стремятся к 7, то можно сказать, что мгновенная скорость тела в точке (1,3) равна 7 м/с (оценочное значение).
Реклама - Сначала найдем координаты Q при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
Советы
- Чтобы найти ускорение (изменение скорости с течением времени), используйте метод из первой части, чтобы получить производную функции перемещения. Затем возьмите еще раз производную от полученной производной. Это даст вам уравнение для нахождения ускорения в данный момент времени — все, что вам нужно сделать, это подставить значение для времени.
- Уравнение, описывающее зависимость у (перемещение) от x (время), может быть очень простым, например: у = 6x + 3. В этом случае наклон является постоянным и не надо брать производную, чтобы его найти. Согласно теории линейных графиков, их наклон равен коэффициенту при переменной x, то есть в нашем примере =6.
- Перемещение подобно расстоянию, но оно имеет определенное направление, что делает его векторной величиной. Перемещение может быть отрицательным, в то время как расстояние будет только положительным.
Источники
- ↑ http://www.physicsclassroom.com/class/1dkin/u1l1d.cfm
- ↑ http://formulas.tutorvista.com/physics/instantaneous-velocity-formula.html
- ↑ http://spiff.rit.edu/classes/phys211/lectures/disvel/disvel_all.html
- ↑ https://www.khanacademy.org/science/physics/one-dimensional-motion/displacement-velocity-time/a/what-is-displacement
- ↑ https://sciencestruck.com/instantaneous-velocity
- ↑ https://www.mathopenref.com/calcinstantvel.html
