Pdf downloaden
Pdf downloaden
Vectoriële snelheid (velocity in het Engels) wordt gedefinieerd als de snelheid van een object in een bepaalde richting. [1] X Bron Voor algemene doeleinden is het vinden van de snelheid van een object zo simpel als het delen van de afgelegde afstand door de tijd die nodig is om die afstand te overbruggen. Maar dit geeft alleen de gemiddelde snelheid langs een bepaald pad. Door het gebruiken van wiskundige vergelijkingen en afgeleiden is het mogelijk om de snelheid van het object op elk gegeven moment langs het pad uit te kunnen rekenen. Dit heet momentane snelheid . Voor het gemak en de leesbaarheid spreken we in het vervolg over snelheid, zowel als we 'gewone' snelheid als vectoriële snelheid bedoelen.
Stappen
-
Wat is "momentane snelheid". Objecten die bewegen kunnen dat doen met een constante snelheid – dat is gedurende de hele reis met een constante snelheid bewegen. Een hardloper die langs een voetbalveld aan het joggen is houdt over de hele lengte van het veld ongeveer dezelfde snelheid aan. Objecten kunnen ook bewegen met een veranderlijke snelheid . Een auto bijvoorbeeld die langs een weg rijdt met veel bochten heeft niet de hele tijd dezelfde snelheid – in de bochten neemt de snelheid af, om weer toe te nemen op de rechte stukken.
- Momentane snelheid is een maat voor de snelheid van een object op elk moment in de tijd. Bijvoorbeeld, de momentane snelheid van een raket, exact één seconde na het ontbranden van de aandrijfraket is veel lager dan z'n momentane snelheid 30 seconden na het opstijgen, als de raket de tijd heeft gehad om snelheid te winnen.
-
Ken je variabelen. Wanneer je te maken hebt met het berekenen van momentane snelheid, dan zal je bijna altijd op een gegeven moment bepaalde variabelen tegenkomen. Deze variabelen zijn:
- Verplaatsing = d
- Verplaatsing is de afstand die een bepaald object heeft afgelegd. Meestal wordt de eenheid van verplaatsing genoteerd in meters.
- Tijd = t
- Snelheid = v
- Vectoriële snelheid is de snelheid van een object in een bepaalde richting. Bij het berekenen van momentane snelheid zijn we op zoek naar de snelheid van een object op een bepaalde moment t (tijd). Velocity wordt meestal genoteerd in meters per seconde (m/s).
- Helling (of "richtingscoëfficiënt") = m
- Hierbij kan het handig zijn om de beweging van een object weer te geven in een eenvoudige x-y grafiek met de tijd langs de x-as uitgezet en de verplaatsing langs de y-as. Dan is de helling van de lijn in een zeker punt de snelheid van het object.
- Verplaatsing = d
-
Een voorbeeld. Laten we zeggen dat de verplaatsing van een object weergegeven kan worden met een vergelijking: verplaatsing (s) = 3t 2 + 4t + 7. De grafiek van deze functie is een gekromde lijn of parabool, waarbij de x-as de tijd voorstelt en de y-as de verplaatsing.
- De snelheid (v) op een bepaald tijdstip (t) is gelijk aan de helling (mate van verandering) van de bovenstaande vergelijking, waarbij de verplaatsing (d) is uitgezet tegen de tijd (t).
-
Om de momentane snelheid van een object met een verplaatsing volgens bovenstaande functie te berekenen, hebben we de afgeleide van deze functie nodig. De afgeleide van een functie is gelijk aan de helling van de functie in elk punt van de grafiek. Om de afgeleide te vinden, differentiëren we de functie volgens deze formule:
- Een algemene regel voor het vinden van de afgeleide: Als y = a*x n , dan is de afgeleide a*n*x n-1 . Deze regel wordt toegepast op elke term van de polynoom. De constante (het getal zonder een variabele ernaast) zal verdwijnen omdat het met 0 wordt vermenigvuldigd.
-
Gebruik deze formule om de afgeleide te berekenen van de functie. Als we deze noteren als y = 3x 2 + 4x + 7, dan is de afgeleide (3*2)*x (2-1) +(4*1)*x (1-1) +(7*0)*x (0-1)
-
Vereenvoudig de vergelijking. Het vermenigvuldigen van alle tussen haakjes geplaatste termen geeft 6x 1 + 4x 0 + 0x -1 als resultaat
-
Blijf vereenvoudigen. Deze vergelijking kan worden geschreven als 6x + 4. De "0x -1 " term wordt dan gelijk aan 0, terwijl de "4x 0 " term vereenvoudigd wordt tot 4 (n 0 = 1.) [2] X Bron
-
Maak deze nieuwe functie gelijk aan de helling m. Deze afgeleide functie gebruiken we om de helling te vinden van de oorspronkelijke vergelijking y = 3x 2 + 4x + 7 voor elke gegeven waarde van x (tijd). De oorspronkelijke helling van de vergelijking op een gegeven moment is de momentane snelheid.
-
Vind de momentane snelheid van het object voor t=4 seconden. Alles wat je hoeft te doen is het invoeren van de tijdswaarde in de x-variabele van de afgeleide van de vergelijking. Dit geeft de volgende vergelijking y = 6(4) + 4 . Dit wordt vereenvoudigd tot 28. De momentane snelheid van jet object voor t=4 seconden is 28 m/s.Advertentie
-
Teken een gewoon x-y assenstelsel. Om goed te kunnen begrijpen hoe een afgeleide kan helpen bij het vinden van de momentane snelheid van een object, is een grafische weergave heel handig. De y-as representeert de verplaatsing van het object, terwijl de x-as de tijd voorstelt.
- De grafiek kan doorlopen tot onder de x-as. Als de lijn die de beweging van het object weergeeft, onder de x-as duikt, betekent dit dat het object in omgekeerde richting beweegt en voor het startpunt. Meestal zal de grafiek niet doorlopen tot achter de y-as. Snelheid wordt niet gemeten voor objecten die terug in de tijd bewegen!
- Als je niet zeker bent hoe je een grafiek moet tekenen of je weet niet precies wat de x-as en de y-as voorstellen, lees dan hier hoe je een grafiek kunt tekenen van een functie .
-
Teken een gekromde lijn, te beginnen vanuit het punt op de lijn x=0, in de richting van de x-as. De helling van de lijn is de mate waarin y verandert gedeeld door de mate waarin x verandert. Dus, als y gelijk staat aan de verplaatsing en x staat voor de tijd, dan is de helling gelijk aan de snelheid.
- Om de momentane snelheid te kunnen bereken is het nodig om de helling van een grafiek voor elk gegeven punt te kunnen berekenen.
-
Om de helling van een lijn te vinden voor een zeker punt, gebruiken we een truc waarbij we de limiet zoeken van de vergelijking. Het vinden van de limiet vraagt om twee punten P en Q op een kromme lijn en het vinden van de helling van de lijn door beide punten, terwijl de afstand tussen beide punten steeds kleiner wordt.
-
Kies een punt P op de lijn. Plaats bijvoorbeeld P op x=1. De precieze locatie is niet van belang. Kies een waarde die handig uitkomt.
-
Kies een tweede punt Q op de lijn. Q hoort hierbij op korte afstand van de P te liggen. In ons voorbeeld ligt Q in het punt met x=3, terwijl P in het punt met x=1 ligt.
-
Vind de helling tussen P en Q. De helling tussen P en Q wordt dan (het verschil in y-waarde van P en Q)/(het verschil in x-waarde P en Q). We refereren aan dit verschil in x-waarden van P en Q als H. In dit geval is H gelijk aan 3-1=2.
-
Maak de waarde van H kleiner. In andere woorden, breng Q dichter bij P op de x-as en bereken vervolgens nogmaals de helling tussen P en Q. Doe dit herhaaldelijk waarbij elke keer de afstand tussen P en Q wordt verkleind. Na dit een paar keer te hebben berekend moet het duidelijk worden dat de helling een bepaalde waarde nadert. Zolang H>0 zal de helling deze waarde nooit bereiken, maar slechts benaderen. We zeggen dan dat de helling de limiet nadert .
- De waarde waar de helling naartoe beweegt als H de 0 nadert is de limiet. Dit is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de kromme. De raaklijn is een rechte lijn die wordt gedefinieerd als een parallel aan de parabool over een oneindig korte afstand. De helling van de raaklijn is daarom de helling van de parabool/kromme als H een oneindig kleine afstand wordt op de lijn.
- De vergelijking voor het vinden van de raaklijn is de afgeleide van de vergelijking van de verplaatsingsfunctie, zoals in deel één.
-
Gebruik afgeleiden om de helling te vinden als H een oneindig klein interval op de lijn voorstelt. De afgeleide van een vergelijking vind je door "x N , is N*x N-1 " toe te passen op elke term van de oorspronkelijke vergelijking.Advertentie
Tips
- Verplaatsing is net zoiets als afstand, maar dan in een bepaalde richting, waardoor verplaatsing een vector en snelheid een scalaire grootheid is. Verplaatsing kan negatief zijn terwijl afstand alleen maar positief kan zijn.
- Om de versnelling te vinden (de verandering van snelheid over tijd), gebruik dan de methode in deel één om de afgeleide te vinden van je verplaatsingsfunctie. Neem daarvan vervolgens weer de afgeleide. Dit geeft je vervolgens de vergelijking voor het vinden van de versnelling op een gegeven moment in de tijd – het enige dat je hoeft te doen is de tijdswaarde in deze tweede afgeleide in te voeren.
- De vergelijking die y (verplaatsing) relateert aan x (tijd) kan heel eenvoudig zijn, zoals bijv. y= 6x + 3. In dit geval is de helling constant en is het niet noodzakelijk om een afgeleide van de helling te vinden. Deze is gelijk aan 6, volgens de lineaire vergelijking y = mx + b.
Advertentie
Bronnen
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
