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Ein Vektor ist ein geometrisches Projekt, das eine Richtung und eine Größe hat. Er kann als Strecke mit einem Anfangspunkt an dem einen und einem Pfeil am anderen Ende dargestellt werden, sodass die Länge der Strecke die Größe des Vektors ist und der Pfeil die Richtung des Vektors anzeigt. Die Normierung eines Vektors ist eine geläufige Übung in der Mathematik und findet auch in der Computergrafik Anwendung.
Vorgehensweise
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Definiere einen Einheitsvektor. Der Einheitsvektor eines Vektors A ist der Vektor mit demselben Startpunkt und der Richtung A, aber mit einer Länge von 1 Einheit. Es kann mathematisch bewiesen werden, dass es nur einen einzigen Einheitsvektor für jeden gegebenen Vektor A gibt.
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Definiere die Normierung eines Vektors. Das ist der Vorgang, um den Einheitsvektor eines gegebenen Vektors A zu ermitteln.
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Definiere einen gebundenen Vektor. Ein gebundener Vektor im kartesischen Raum hat seinen Anfangspunkt am Ursprung des Koordinatensystems, ausgedrückt als (0,0) in zwei Dimensionen. Das ermöglicht dir, einen Vektor ausschließlich in Bezug auf seinen Endpunkt zu bestimmen.
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Beschreibe die Notation eines Vektors. Indem man sich auf gebundene Vektoren beschränkt, ist A = (x, y), wobei das Koordinatenpaar (x,y) die Position des Endpunktes für Vektor A angibt.Werbeanzeige
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Ermittle die bekannten Werte. Von der Definition des Einheitsvektors wissen wir, dass der Anfangspunkt und die Richtung des Einheitsvektors dieselben sind wie bei dem gegebenen Vektor A. Außerdem wissen wir, dass die Länge des Einheitsvektors 1 ist.
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Bestimme den unbekannten Wert. Die einzige Variable, die wir berechnen müssen, ist der Endpunkt des Einheitsvektors.Werbeanzeige
- Finde den Endpunkt für den Einheitsvektor von Vektor A = (x,y). Aus der Proportionalität von ähnlichen Dreiecken weißt du, dass jeder Vektor, der dieselbe Richtung hat wie Vektor A, einen Endpunkt (x/c, y/c) für ein beliebiges c haben wird. Außerdem weißt du, dass die Länge des Einheitsvektors 1 ist. Demnach ist nach dem Satz des Pythagoras [x^2/c^2 + y^2/c^2]^(1/2) = 1 -> [(x^2 + y^2)/c^2]^(1/2) -> (x^2 + y^2)^(1/2)/c = 1 -> c = (x^2 + y^2)^(1/2). Daher ist der Einheitsvektor u des Vektors A = (x,y) gegeben als u = (x/(x^2 + y^2)^(1/2), y/(x^2 + y^2)^(1/2))
- Lasse den Vektor A einen Vektor mit seinem Anfangspunkt am Ursprung und Endpunkt bei (2,3) sein, sodass A = 2,3). Berechne den Einheitsvektor u = (x/(x^2 + y^2)^(1/2), y/(x^2 + y^2)^(1/2)) = (2/(2^2 + 3^2)^(1/2), 3/(2^2 + 3^2)^(1/2)) = (2/(13^(1/2)), 3/(13^(1/2))). Folglich wird A = (2,3) normiert zu u = (2/(13^(1/2)), 3/(13^(1/2))).
- Verallgemeinere die Gleichung zur Normierung eines Vektors im Raum beliebiger Dimensionen. Ein Vektor A (a, b, c, …), u = (a/z, b/z, c/z, …) wobei z = (a^2 + b^2 + c^2 …)^(1/2).
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