Fakultäten berechnen

unter Mitarbeit von Jake Adams

Fakultäten werden üblicherweise beim Berechnen von Wahrscheinlichkeiten und Permutationen verwendet oder bei der möglichen Reihenfolge von Ereignissen. ^{[1]
X
Forschungsquelle} Eine Fakultät wird durch das Zeichen $!$ angegeben und es bedeutet, dass man alle Zahlen von dieser Zahl nach unten zählend miteinander multipliziert. Wenn du einmal verstanden hast, was eine Fakultät ist, ist sie leicht zu berechnen, besonders mithilfe eines wissenschaftlichen Taschenrechners.

Methode 1

Methode 1 von 3:

Eine Fakultät berechnen

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1
Stelle fest, für welche Zahl du die Fakultät berechnest. Eine Fakultät wird durch eine positive ganze Zahl und ein Ausrufezeichen angegeben.
- Wenn du zum Beispiel die Fakultät von 5 berechnen musst, wirst du $5!$ sehen.
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2
Schreibe die Zahlenreihe auf, die multipliziert werden soll. Bei einer Fakultät werden einfach die natürlichen Zahlen miteinander multipliziert, die der Reihe nach von dieser Zahl aus nach unten gezählt werden bis zur 1. ^{[2]
X
Forschungsquelle} Formelhaft gesprochen, ist $n!=n(n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1$ , wobei $n$ jeder positiven ganzen Zahl entspricht. ^{[3]
X
Forschungsquelle}
- Wenn du zum Beispiel $5!$ berechnest, rechnest du $5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)$ oder einfacher geschrieben: $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ .
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3
Multipliziere die Zahlen miteinander. Du kannst eine Fakultät schnell mithilfe eines wissenschaftlichen Taschenrechners berechnen, der eine Taste mit dem Zeichen $x!$ haben sollte. Wenn du mit der Hand rechnest, suche zuerst nach Paaren aus Faktoren, die wenn sie miteinander multipliziert werden 10 ergeben. ^{[4]
X
Forschungsquelle} Natürlich kannst du auch die 1 ignorieren, weil jede Zahl mit 1 multipliziert wieder die Zahl ergibt.
- Wenn du zum Beispiel rechnest $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$ , dann ignoriere die 1 und berechne zuerst $5\cdot 2=10$ . Jetzt musst du nur noch $4\cdot 3=12$ ausführen. Da $10\cdot 12=120$ weißt du, dass $5!=120$ .
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Eine Fakultät vereinfachen

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1
Bestimme den Ausdruck, den du vereinfachst. Er wird häufig als Bruch angegeben sein.
- Vielleicht musst du zum Beispiel ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ vereinfachen.
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2
Schreibe die Faktoren jeder Fakultät auf. Da die Fakultät $n!$ ein Faktor jeder Fakultät ist, die größer als das ist, musst du zum Vereinfachen nach Faktoren Ausschau halten, die du streichen kannst. ^{[5]
X
Forschungsquelle} Das lässt sich leicht machen, wenn du jeden Term aufschreibst.
- Wenn du zum Beispiel ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ vereinfachst, schreibe es um zu ${\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$ .
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3
Streiche alle Terme, die im Zähler und im Nenner vorkommen. ^{[6]
X
Forschungsquelle} Das vereinfacht die übrigen Zahlen, die du multiplizieren musst.
- Da $5!$ zum Beispiel ein Faktor von $7!$ ist, kannst du $5!$ im Zähler und Nenner streichen:
  ${\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}\cdot 6\cdot 7}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}={\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$
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4
Führe die Berechnung durch. Vereinfache soweit möglich. So erhältst du den endgültigen, vereinfachten Ausdruck.
- Zum Beispiel:
  ${\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}$
  $={\frac {42}{24}}$
  $={\frac {7}{4}}$
  Also ist ${\frac {7!}{5!\cdot 4!}}$ vereinfacht ${\frac {7}{4}}$ .
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Einfache Fakultäten lösen

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1
Betrachte den Ausdruck 8!.
- Wenn du einen wissenschaftlichen Taschenrechner verwendest, drücke auf die Taste $8$ , gefolgt von der Taste $x!$ .
- Wenn du mit der Hand rechnest, schreibe die zu multiplizierenden Faktoren auf:
  $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$
- Streiche die 1:
  $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}$
- Ziehe die $5\cdot 2$ heraus:
  $(5\cdot 2)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3$
  $=(10)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3$
- Ordne alle anderen leicht zu multiplizierenden Zahlen in Gruppen an und multipliziere dann die Produkte miteinander:
  $(10)(4\cdot 3)(7\cdot 6)(8)$
  $=(10)(12)(42)(8)$
  $=(120)(336)$
  $=40320$
  Also ist $8!=40,320$ .
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2
Vereinfache den Ausdruck: ${\frac {12!}{6!3!}}$ .
- Schreibe die Faktoren der beiden Fakultäten auf:
  ${\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)(1\cdot 2\cdot 3)}}$
- Streiche Terme, die Zähler und Nenner gemeinsam haben:
  ${\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot }}7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}})(1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}$
- Führe die Berechnung aus:
  ${\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}$
  $={\frac {665,280}{6}}$
  $=110,880$
  Der Ausdruck ${\frac {12!}{6!3!}}$ lässt sich also vereinfachen zu $110,880$ .
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/ba\/Do-Factorials-Step-10.jpg\/v4-460px-Do-Factorials-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/ba\/Do-Factorials-Step-10.jpg\/v4-728px-Do-Factorials-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Probiere folgende Aufgabe. Du hast 6 Gemälde, die du gerne in einer Reihe auf deiner Wand präsentieren möchtest. Auf wie viele verschiedene Arten kannst du die Gemälde anordnen?
- Da du dir verschiedene Arten ansiehst, auf die du Gegenstände anordnen kannst, kannst du die Aufgabe einfach lösen, indem du die Fakultät der Anzahl an Gegenständen herausfindest.
- Die Zahl der möglichen Anordnungen für 6 Gemälde, die in einer Reihe angeordnet werden, kann gefunden werden, indem man $6!$ löst.
- Wenn du einen wissenschaftlichen Taschenrechner verwendest, drücke auf die Taste $6$ gefolgt von der Taste $x!$ .
- Wenn du mit der Hand rechnest, schreibe die Faktoren auf, die multipliziert werden sollen:
  $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$
- Streiche die 1:
  $6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}$
- Ziehe $5\cdot 2$ heraus:
  $(5\cdot 2)6\cdot 4\cdot 3$
  $=(10)6\cdot 4\cdot 3$
- Ordne alle anderen leicht zu multiplizierenden Zahlen zunächst in Gruppen an und multipliziere dann die Produkte miteinander:
  $(10)(4\cdot 3)(6)$
  $=(10)(12)(6)$
  $=(120)(6)$
  $=720$
  6 Gemälde können also auf 720 unterschiedliche Arten aufgehängt werden.
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4
Probiere folgende Aufgabe. Du hast 6 Gemälde. Du würdest gerne 3 davon in einer Reihe an deiner Wand aufhängen. Auf wie viele verschiedene Arten kannst du 3 der Gemälde anordnen?
- Da du 6 unterschiedliche Gemälde hast, aber nur 3 davon auswählst, musst du nur die ersten drei Zahlen der Reihe für die Fakultät von 6 multiplizieren. Du kannst auch die Formel ${\frac {n!}{(n-r)!}}$ verwenden, wobei $n$ der Anzahl der Gegenstände entspricht, aus denen du auswählst, und $r$ der Anzahl an Gegenständen, die du verwendest. Diese Formel lässt sich nur anwenden, wenn du keine Wiederholungen hast (ein Gegenstand nicht mehr als einmal ausgewählt werden kann) und die Reihenfolge keine Rolle spielt (das heißt, wenn du herausfinden willst, auf wie viele unterschiedliche Arten Sachen angeordnet werden können). ^{[7]
  X
  Forschungsquelle}
- Die Anzahl der möglichen Anordnungen für 3 Gemälde, die aus 6 Gemälden ausgewählt und in einer Reihe aufgehängt werden, kann gefunden werden, indem du ${\frac {6!}{(6-3)!}}$ berechnest.
- Führe die Subtraktion im Nenner durch:
  ${\frac {6!}{(6-3)!}}$
  $={\frac {6!}{3!}}$
- Schreibe die Faktoren jeder Fakultät auf:
  ${\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}}$
- Streiche Terme, die sowohl im Nenner, als auch im Zähler vorkommen:
  ${\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot {\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}{\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}$
- Führe die Berechnung aus: $6\cdot 5\cdot 4=120$
  3 Gemälde, die aus 6 ausgewählt werden, können also auf 120 unterschiedliche Arten in einer Reihe aufgehängt werden.
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Tipps

1! =1, in jedem Fall.
Obwohl es ein wenig der Intuition widerspricht, kannst du davon ausgehen, dass 0! = 1, außer es ist anders angegeben.
Fakultäten werden eingesetzt, um verknüpfte Aufgaben zu lösen, übe diese Fertigkeit also.
Denke daran, deine Arbeit zu überprüfen.

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