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Die Ableitung einer Polynom-Funktion kann helfen die Steigung zu bestimmen. Um ein Polynom abzuleiten musst du nur die Koeffizienten jeder Variablen mit dem dazugehörigen Exponenten multiplizieren, jeden Exponenten um einen Grad vermindern und alle Konstanten weglassen. Wenn du wissen willst wie man das in ein paar einfachen Schritten erklären kann, lies weiter.
Vorgehensweise
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Suche die variablen und konstanten Terme in der Gleichung heraus. Ein variabler Term ist jeder Term, der eine Variable enthält und ein konstanter Term ist jeder Term, der nur aus einer Zahl ohne Variable besteht. Suche die variablen und konstanten Terme in dieser Polynom-Funktion: y = 5x 3 + 9x 2 + 7x + 3- Die variablen Terme sind 5x 3 , 9x 2 und 7x
- Der konstante Term ist 3.
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Multipliziere die Koeffizienten jeder Variablen mit ihren dazugehörigen Exponenten. Diese Produkte sind die neuen Koeffizienten der abgeleiteten Gleichung. Sobald du die Produkte hast, schreibe sie vor die entsprechenden Variablen. Hier siehst du wie es geht:
- 5x 3 = 5 x 3 = 15
- 9x 2 = 9 x 2 = 18
- 7x = 7 x 1 = 7
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Vermindere jeden Exponenten um einen Grad. Um dies zu tun ziehe einfach 1 ab von jedem Exponenten in jedem variablen Term. Hier siehst du wie es geht:
- 5x 3 = 5x 2
- 9x 2 = 9x 1
- 7x = 7
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Ersetze die alten Koeffizienten und Exponenten durch ihre neuen Gegenstücke. Um das Ableiten des Polynoms zu beenden ersetze einfach die alten Koeffizienten durch die neuen Koeffizienten und ersetze die alten Exponenten durch ihre um eins verminderten Werte. Die Ableitung einer Konstanten ist 0, also kannst du die 3, den konstanten Term, weglassen aus dem Endergebnis.
- 5x 3 wird zu 15x 2
- 9x 2 wird zu 18x
- 7x wird zu 7
- Die Ableitung des Polynoms y = 5x 3 + 9x 2 + 7x + 3 ist y = 15x 2 + 18x + 7
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Bestimme den Wert der neuen Funktion für einen bestimmten x-Wert. Um den Wert von "y" für ein gegebenes "x" zu bestimmen, ersetze alle "x" in der Gleichung mit dem gegebenen Wert für "x" und vereinfache den Ausdruck. Wenn du zum Beispiel den Wert der Gleichung an der Stelle x = 2 bestimmen willst, setze einfach 2 an Stelle von jedem x in die Gleichung ein. Hier siehst du wie es geht:
- 2 --> y = 15x 2 + 18x+ 7 = 15 x 2 2 + 18 x 2 + 7 =
- y = 60 + 36 + 7 = 103
- Der Wert der Gleichung an der Stelle x = 2 ist 103.
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Tipps
- Das ist die sogenannte Potenzregel der Differentialrechnung. Sie besagt: d/dx[ax n ]=nax n-1
- Um unbestimmte Integrale von Polynomen zu bestimmen, gehst du genauso vor, nur umgekehrt. Angenommen deine Funktion ist 12x 2 + 4x 1 +5x 0 + 0. Dann addierst du einfach 1 zu jedem Exponenten und teilst durch den neuen Exponenten. Das Ergebnis ist 4x 3 + 2x 2 + 5x 1 + C, wobei C eine Konstante ist, da du nicht weißt, was der Wert der Konstanten ist.
- Vergiss nicht, dass die Definition der Ableitung lim für h->0 von [f(x+h)-f(x)]/h ist.
- Vergiss nicht, dass diese Methode nur funktioniert, wenn der Exponent eine Konstante ist. Zum Beispiel ist d/dx x^x nicht x(x^(x-1))=x^x, sondern x^x(1+ln(x)). Die Potenzregel gilt nur für x^n mit konstantem n.
- Wenn du negative oder gebrochene Exponenten hast, keine Sorge! Hier gilt die gleiche Regel. Wenn du zum Beispiel x -1 hast, wird es zu -x -2 und x 1/3 wird zu (1/3)x -2/3 .
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