Cómo encontrar puntos de inflexión

En el cálculo, un punto de inflexión es un punto en una curva en donde la pendiente cambia de signo. ^{[1]
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Fuente de investigación} Se utiliza en diversas disciplinas, entre ellas la ingeniería, la economía y la estadística, para determinar los cambios fundamentales en los datos. Recordar qué es la concavidad y la forma como afecta la inflexión te permitirá encontrar los puntos de inflexión en una curva con unas cuantas ecuaciones simples.

Método 1

Método 1 de 5:

Repasar la concavidad y la inflexión

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Distingue entre concavidad hacia arriba y hacia abajo. Si quieres comprender los puntos de inflexión, es necesario que distingas entre ambas. Son fáciles de distinguir por sus nombres. ^{[2]
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Fuente de investigación}
- Una función cóncava hacia abajo es una función en la que ningún segmento de línea que una dos puntos en el gráfico llega más arriba que él. Intuitivamente, el gráfico tiene forma de colina.
- Por otro lado, una función cóncava hacia arriba es una función en donde ningún segmento de línea que una dos puntos en el gráfico llega más abajo que el gráfico. Tiene forma de U.
- En el gráfico anterior, la curva roja es cóncava hacia arriba y la curva verde es cóncava hacia abajo.
- En general, las funciones tienen intervalos cóncavos hacia arriba y hacia abajo. Los puntos de inflexión existen cuando una función cambia de concavidad.
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Identifica las raíces de una función. La raíz de una función es el punto en el que la función equivale a cero. En el gráfico anterior, se puede observar que las raíces de la parábola verde se encuentran en $x=-1$ y $x=3$ . Estos son los puntos en los que la función cruza el eje x . ^{[3]
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Fuente de investigación}
- Una función también puede tener varias raíces.
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Busca la inflexión en el lugar en donde la función cambie de concavidad. ¿Recuerdas que hay una diferencia entre concavidad hacia arriba y hacia abajo? La zona en donde cambia la concavidad se conoce como el "punto de inflexión", que es lo que intentas encontrar. ^{[4]
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Fuente de investigación}
- Es fácil ver este punto en un gráfico.
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Método 2

Método 2 de 5:

Encontrar las derivadas de una función

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Diferencia. Antes de poder encontrar un punto de inflexión, será necesario que encuentres las derivadas de la función. Las derivadas de las funciones básicas pueden encontrarse en cualquier texto de cálculo. Será necesario que las aprendas antes de poder pasar a tareas más complejas. ^{[5]
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Fuente de investigación} Las primeras derivadas se denotan como $f^{{\prime }}(x)$ o ${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}x}}$ .
- Imagina que debes encontrar el punto de inflexión de la función a continuación:
  - $f(x)=x^{3}+2x-1$
- Usa la regla de la potencia:
  - ${\begin{aligned}f^{\prime }(x)&=3x^{3-1}+2x^{1-1}\\&=3x^{2}+2\end{aligned}}$
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Vuelve a diferenciar. La segunda derivada es la derivada de la derivada y se denota como $f^{\prime \prime }(x)$ o ${\frac {{\mathrm {d}}^{{2}}f}{{\mathrm {d}}x^{{2}}}}$ .
- ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(2)(3)x^{2-1}\\&=6x\end{aligned}}$
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Haz que la segunda derivada equivalga a 0 y resuelve la ecuación que resulte. La respuesta será un posible punto de inflexión. ^{[6]
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Fuente de investigación}
- ${\begin{aligned}6x&=0\\x&=0\end{aligned}}$
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Método 3

Método 3 de 5:

Encontrar un punto de inflexión

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Revisa si la segunda derivada cambia de signo en el punto candidato. Si el signo de la segunda derivada cambia al pasar a través del candidato a punto de inflexión, hay un punto de inflexión. Si no cambia de signo, no hay un punto de inflexión. ^{[7]
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Fuente de investigación}
- No olvides que estás buscando cambios en los signos, no vas a encontrar el valor. En las expresiones más complicadas, es posible que la sustitución no sea deseable, pero prestar mucha atención a los signos suele brindar la respuesta con mucha mayor rapidez. Por ejemplo, en lugar de evaluar los números de inmediato, podrías fijarte en determinados términos y juzgar si son positivos o negativos.
- En el ejemplo, $f^{\prime \prime }(x)=6x$ . Luego, reemplazar una $x$ negativa produce una $f^{\prime \prime }(x)$ negativa, en tanto que reemplazar una $x$ positiva produce una $f^{\prime \prime }(x)$ positiva. Por ende, $x=0$ es un punto de inflexión de la función $f(x)=x^{3}+2x-1$ . No era necesario resolver realmente para los valores elegidos.
2
Vuelve a reemplazarlo en función original. ^{[8]
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Fuente de investigación}
- $f(0)=(0)^{3}+2(0)-1=-1$
La coordenada del punto de inflexión se denota como $(x,f(x))$ . En este caso, $(0,-1)$ , como se graficó anteriormente. Por ende, esos números constituyen el punto de inflexión. ^{[9]
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Fuente de investigación}

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Método 4

Método 4 de 5:

Resolver problemas

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Revisa los candidatos. A menudo, cuando $x=0$ , es fácil asumir que esto implica que no hay puntos de inflexión. Sin embargo, cuando $x=0$ , de todos modos hay un punto de inflexión. No olvides que 0 puede graficarse y, por ende, si obtienes 0 como respuesta, implica que hay 1 punto de inflexión. ^{[10]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si obtienes una respuesta en donde $x=0$ , probarías los subintervalos haciendo un gráfico de $(-infinito,0)$ y $(0,infinito)$ . Por ende, el punto de inflexión se encuentra en 0.
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Incluye puntos en los que la derivada sea indefinida. Al resolver para encontrar un punto de inflexión, debes buscar ocasiones en las que la segunda derivada sea 0 y en las que sea indefinida. Si únicamente buscas ocasiones en las que la segunda derivada sea 0, es probable que obtengas la respuesta incorrecta. ^{[11]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si tu tarea es encontrar si $h(x)=x^{2}+4x$ tiene un punto de inflexión o no, considerarás $h^{\prime \prime }$ , NO $h^{\prime }$ . Esto se debe a que $h^{\prime \prime }$ es la segunda derivada, en tanto que $h^{\prime }$ es el punto mínimo relativo (el cual no buscas en este caso).
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Analiza la segunda derivada en lugar de la primera. Al encontrar puntos de inflexión, siempre debes considerar la segunda derivada. Si consideras la primera, obtendrás en cambio los extremos de la función como respuesta. ^{[12]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si los posibles puntos de inflexión son $x=-1$ y $x=7$ , probarías los valores de x en $(-infinito,-1),(-1,7)$ y $(7,infinito)$ . Esto te indicará que la segunda derivada tiene puntos de inflexión en $x=-1$ Y TAMBIÉN en $x=7$ .
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Método 5

Método 5 de 5:

Usar una calculadora científica

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Dirígete a la sección "Plots" ("Gráficos"). En la mayor parte de las calculadoras científicas, para ello deberás presionar el botón "diamante" o "segundo" y luego F1. Esto debe conducirte a los gráficos de Y, en donde puedes ingresar hasta 7 valores. ^{[13]
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Fuente de investigación}
- Esto aplica para las calculadoras TI-84 y TI-89, aunque es posible que no sea exactamente igual en los modelos más antiguos.
2
Ingresa la función en "y1". Borra las funciones restantes que haya en tus gráficos de Y y luego escribe la función en la calculadora después del signo de igual. No olvides conservar todos los paréntesis que involucre la función de forma que la respuesta sea correcta. ^{[14]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, la función podría ser $y1=x^{3}-9/2x^{2}-12x+3$ .
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Haz clic en "Graph" ("Graficar"). En la mayor parte de las calculadoras, este será el botón "diamante" o "segundo". Luego, presiona F3. Si es necesario que ajustes la ventana de la calculadora, presiona el botón "diamante" o "segundo" y luego F2. Después, selecciona "Standard zoom" ("Acercamiento estándar"). ^{[15]
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Fuente de investigación}
- No te preocupes si la pantalla aún no muestra todo el gráfico, ya que podrás ajustarlo.
4
Haz ajustes a la ventana hasta poder ver todo el gráfico. Al abrir la ventana para graficar, quizás no puedas ver toda la curva del gráfico. De ser así, presiona los botones "diamante" o "segundo". Luego, abre F2 para volver a hacer un acercamiento. Puedes incrementar y reducir el eje mínimo y máximo para determinar en dónde encajará el gráfico dentro de la ventana. ^{[16]
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Fuente de investigación}
- Quizás debas regresar a ajustarlo varias veces debido a que puede ser difícil determinar la ubicación exacta del gráfico.
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Presiona "Math" ("Matemática") y luego "Inflection" ("Inflexión"). Presiona el botón "diamante" o "segundo" y luego selecciona F5 para abrir "Math". En el menú desplegable, selecciona la opción que diga "Inflection". ^{[17]
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Fuente de investigación}
- Así es como (adivinaste) le indicas a la calculadora que calcule puntos de inflexión.
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Coloca el cursor en el límite inferior y superior de la inflexión. La calculadora te mostrará un mensaje que diga "Lower?" ("¿Inferior?"). Mueve las flechas de la calculadora hasta que el cursor se encuentre a la izquierda del punto de inflexión (deberás saber vagamente en dónde se encuentra en el gráfico). Luego, la calculadora te preguntará "Upper?" ("¿Superior?"). Mueve el cursor de forma que se encuentre a la derecha del punto de inflexión. Luego, presiona "Enter" ("Entrar"). ^{[18]
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Fuente de investigación}
- Así es como le indicarás a la calculadora que haga un estimado en cuanto a la ubicación del punto de inflexión. ¡Ahora tienes la respuesta!
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Consejos

Asimismo, puedes encontrar la tercera derivada de una función, hacer que equivalga a cero y encontrar los puntos de inflexión de este modo. Sin embargo, no suele ser deseable encontrar derivadas de este tipo con expresiones más complicadas.
Todas las funciones lineales no tienen puntos de inflexión. Esto se debe a que las funciones lineales no cambian de pendiente (esta es igual en todo el gráfico) y, por ende, no hay ningún punto en el que esto ocurra.

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