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Une équation comportant une valeur absolue est une équation presque comme les autres, sauf qu'elle contient une expression un peu particulière : une valeur absolue de l'inconnue. La valeur absolue de est notée et est toujours positive (0 est une exception, car il n'est ni positif ni négatif). La résolution d'une telle équation obéit aux règles classiques de l'algèbre, mais la différence tient au fait qu'il faut ici résoudre deux équations. Ce n'est cependant pas très compliqué.
Étapes
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Comprenez bien ce qu'est une valeur absolue. Sur le plan purement mathématique, il a été posé que : . Selon cette formule si est positif, alors sa valeur absolue est , mais si est négatif, alors sa valeur absolue est . Comme le produit de deux nombres négatifs est positif, alors la valeur absolue de est positive [1] X Source de recherche .
- C'est ainsi que l'on a |9| = 9 et |-9| = -(-9) = 9.
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Comprenez bien ce qu'est graphiquement une valeur absolue. Sur une droite numérique (graduée), la valeur absolue d'un nombre représente sa distance au 0 et comme telle, elle est forcément positive [2] X Source de recherche . La valeur absolue d'une valeur s'écrit avec deux traits verticaux, un de chaque côté de la valeur :
. Une valeur absolue est toujours positive [3] X Source de recherche .- C'est ainsi que et . Vous le savez - 3 et 3 sont à égale distance du 0, l'un à gauche, l'autre à droite.
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Isolez la valeur absolue à gauche de l'équation. C'est une équation normale et donc il vous faut isoler la valeur absolue contenant l'inconnue à gauche. Les constantes (valeurs numériques) iront à droite [4] X Source de recherche . Comme une valeur absolue est forcément positive, si, une fois l'équation arrangée, vous avez à droite une valeur négative, vous pouvez tout de suite conclure que votre équation n'a pas de solution [5] X Source de recherche .
- Vous devez résoudre l'équation suivante :
. Soustrayez 3 de chaque côté afin d'isoler la valeur absolue :
Publicité - Vous devez résoudre l'équation suivante :
. Soustrayez 3 de chaque côté afin d'isoler la valeur absolue :
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Présentez l'équation avec la constante positive. Une équation impliquant une valeur absolue de l'inconnue a deux racines. Dans un premier temps, il faut enlever la valeur absolue, la mettre à égalité avec la constante, puis faire les calculs [6] X Source de recherche .
- Reprenons l'exemple de l'équation . Premier cas : est positif, l'équation à résoudre est .
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Trouvez la solution de l'équation. Pour la résolution, appliquez à chacun des membres les mêmes opérations de façon à isoler l'inconnue . Vous obtenez la première solution de l'équation.
- La résolution est la suivante :
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- La résolution est la suivante :
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Présentez l'équation avec la constante négative. Ici, il faut enlever la valeur absolue, la mettre à égalité avec l'opposée de la constante, puis faire comme précédemment les calculs [7] X Source de recherche .
- Deuxième cas : dans l'équation , est négatif, l'équation à résoudre est .
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Trouvez la solution de l'équation. Pour la résolution, appliquez à chacun des membres les mêmes opérations de façon à isoler l'inconnue . Vous obtenez la seconde solution de l'équation.
- La résolution est la suivante :
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.
Publicité - La résolution est la suivante :
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Vérifiez la justesse de la première solution. Une fois l'équation résolue, vous devez vérifier que vous ne vous êtes pas trompé et pour cela, vous allez remplacer dans l'équation de départ par les valeurs trouvées [8] X Source de recherche . Pour commencer, remplacez dans l'équation de départ par la solution obtenue avec l'équation positive : l'équation doit être vérifiée, les deux membres doivent être égaux.
- Nous avons précédemment trouvé que la première solution était
, remplacez dans l'équation de départ
par
, puis faites les calculs :
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.
- Nous avons précédemment trouvé que la première solution était
, remplacez dans l'équation de départ
par
, puis faites les calculs :
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Vérifiez la justesse de la seconde solution. Ce n'est pas parce que la première solution est vérifiée que la seconde l'est automatiquement. Il vous faut donc opérer avec la seconde solution de la même façon qu'avec la première.
- Nous avons précédemment trouvé que la seconde solution était
, remplacez dans l'équation de départ
par
, puis faites les calculs :
;
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;
.
- Nous avons précédemment trouvé que la seconde solution était
, remplacez dans l'équation de départ
par
, puis faites les calculs :
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Présentez vos solutions. Certes, nous avons pris une équation qui présentait deux solutions (que nous avons bien pris soin de vérifier), mais ce n'est pas toujours le cas. Avec certaines équations, vous n'aurez qu'une seule solution ou… aucune !
- Comme et , alors les solutions de l'équation sont vérifiées. L'ensemble des solutions ( ) de l'équation contient donc deux solutions : .
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Conseils
- Une valeur absolue est représentée par deux traits verticaux, et non pas des parenthèses ou des accolades : soyez vigilant !
- Si une des solutions est un irrationnel (fraction), voyez si vous ne pouvez pas la réduire à sa plus simple expression.
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Références
- ↑ http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/SolveAbsValueEqns.aspx
- ↑ https://www.mathsisfun.com/numbers/absolute-value.html
- ↑ http://www.varsitytutors.com/high_school_math-help/solving-absolute-value-equations
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solveabs.htm
- ↑ http://www.varsitytutors.com/high_school_math-help/solving-absolute-value-equations
- ↑ http://www.purplemath.com/modules/solveabs.htm
- ↑ https://fr.khanacademy.org/math/algebra/absolute-value-equations-functions/absolute-value-equations/v/absolute-value-equations
- ↑ http://www.varsitytutors.com/high_school_math-help/solving-absolute-value-equations
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