आर्टिकल डाउनलोड करें
आर्टिकल डाउनलोड करें
एक द्विघात समीकरण (quadratic equation) या किसी पैराबोला (parabola) का शीर्ष (vertex) उस समीकरण का उच्चतम या निम्नतम बिंदु होता है। पैराबोला के लिए यह प्लेन ऑफ सिमैट्री (plane of symmetry) पर भी स्थित होता है, अर्थात् वह स्थिति जिसमें पैराबोला के बांयी ओर का पूरा भाग दांयी ओर मिरर इमेज (mirror image) बनाता हुआ प्रतीत होता है। अगर आप किसी द्विघात समीकरण का शीर्ष पता करना चाहते हैं तो वर्टेक्स फॉर्मूला अपनाकर या फिर वर्ग को पूरा कर यह ज्ञात कर सकते हैं।
चरण
-
a, b, तथा c का मान ज्ञात करें: एक द्विघात समीकरण में पद इस तरह होते हैं: x 2 पद = a, x पद = b, तथा स्थिरांक पद (constant term) = c । ध्यान दें कि स्थिरांक वह पद होता है जिसमें चर (variable) न हों। इस उदाहरण में हम समीकरण y = x 2 + 9x + 18 को हल करेंगे। इस समीकरण में a = 1, b = 9, तथा c = 18 है। [१] X रिसर्च सोर्स
-
शीर्ष का x-मान निकलने के लिए वर्टेक्स फॉर्मूले का उपयोग करें: एक शीर्ष किसी समीकरण का एक्सिस ऑफ सिमैट्री भी होता है। किसी द्विघात समीकरण के शीर्ष के x-मान को निकालने का फॉर्मूला x = -b/2a होता है। x का मान निकालने के लिए a तथा b की वैल्यू इस फॉर्मूले में रखें। यह इस तरह होगा:
- x = -b/2a
- x = -(9)/(2)(1)
- x = -9/2
-
y-मान निकालने के लिए x-मान को समीकरण में रखें: अब क्योंकि आपको x-मान पता है तो इसे फॉर्मूले में रखें तथा y का मान निकालें। किसी द्विघात फंक्शन का शीर्ष निकालने के लिए आप (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)] फॉर्मूले का प्रयोग कर सकते हैं। इस को ऐसे भी समझा जा सकता है कि y का मान पता करने के लिए x का मान ज्ञात करें और इसे फॉर्मूले में रखें। आईये देखें कि आप इसे कैसे कर सकते हैं:
- y = x 2 + 9x + 18
- y = (-9/2) 2 + 9(-9/2) +18
- y = 81/4 -81/2 + 18
- y = 81/4 -162/4 + 72/4
- y = (81 - 162 + 72)/4
- y = -9/4
-
क्रमानुसार x तथा y का मान लिखें: अब आपको पता है कि x = -9/2, तथा y = -9/4 है। इन्हें क्रमानुसार इस तरह जोड़े में लिखें: (-9/2, -9/4)। अर्थात् हमारे समीकरण का शीर्ष (-9/2, -9/4) है। अगर आपको यह पैराबोला ग्राफ पर बनाना हो तो यह बिंदु सबसे निम्न बिंदु होगा, क्योंकि x 2 पद पॉजिटिव है।
-
अपने समीकरण को लिखें: द्विघात समीकरण का शीर्ष पता करने के लिए हम एक अन्य तरीके का प्रयोग करते हैं जिसे हम वर्ग को पूरा करना कहते हैं। इस तरीके से जब हम अंत में पहुँचते हैं तो हमें समीकरण में x का मान वापिस वास्तविक समीकरण में रखने की जगह सीधे ही x तथा y कॉर्डिनेट मिल जाते हैं। मान लेते हैं कि आप इस समीकरण को हल कर रहे हैं: x 2 + 4x + 1 = 0 [२] X रिसर्च सोर्स
-
x 2 पद के मान से समीकरण के प्रत्येक पद को भाग करें: हमारे इस उदाहरण में x 2 पद का मान 1 है, अतः आप इस स्टैप को छोड़ सकते हैं। 1 से भाग करने पर समीकरण में कोई परिवर्तन नहीं आयेगा और सभी मान वैसे ही रहेंगे। हाँलांकि यदि हमें 0 से भाग करना हो तो सब कुछ बदल जायेगा।
-
स्थिरांक को समीकरण के दांयी ओर लेकर जायें: स्थिरांक वह पद होता है जिसमें कोई चर नहीं होता है। हमारे उदाहरण में यह "1" है। दोनों तरफ 1 घटा कर "1" को समीकरण की दूसरी ओर लेकर जायें। आईये देखें आप यह कैसे करेंगे: [३] X रिसर्च सोर्स
- x 2 + 4x + 1 = 0
- x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
- x 2 + 4x = - 1
-
समीकरण के बांयी ओर वर्ग को पूरा करें: ऐसा करने के लिए (b/2) 2 पता करें और प्राप्त उत्तर को समीकरण के दोनों ओर जमा करें। क्योकि इस समीकरण में b-पद "4x" है इसलिए b के स्थान पर "4" रखें।
- (4/2) 2
= 2 2
= 4। अब, समीकरण के दोनों ओर 4 जोड़ें जिससे आपको यह प्राप्त होगा:
- x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
- x 2 + 4x + 4 = 3
- (4/2) 2
= 2 2
= 4। अब, समीकरण के दोनों ओर 4 जोड़ें जिससे आपको यह प्राप्त होगा:
-
समीकरण के बांयी ओर के गुणक निकालें: अब आप देखेंगे कि x 2 + 4x + 4 एक पूर्ण वर्ग है। अतः इसे पुनः इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x + 2) 2 = 3
-
इस प्रारूप (format) को x तथा y कॉर्डिनेट पता करने के लिए उपयोग करें: आप (x + 2) 2 को शून्य के बराबर रखकर x कॉर्डिनेट ज्ञात कर सकते हैं। इसलिए जब (x + 2) 2 = 0 होगा तो x कॉर्डिनेट क्या होगा? +2 को बैंलेस करने के लिए x कॉर्डिनेट -2 होना चाहिए। अतः आपका x कॉर्डिनेट -2 होगा। आपका y कॉर्डिनेट समीकरण के दूसरी ओर स्थित स्थिरांक होगा। अर्थात् y = 3। आप यहाँ पर x कॉर्डिनेट पता करने के लिए शॉर्टकट का भी प्रयोग कर सकते हैं। आपको बस कोष्ठक में दिये हुये मान का विपरीत लेना है अर्थात् यदि जमा का निशान है तो आपको उसी संख्या के साथ घटा का निशान लेना है और यदि घटा का निशान है तो आपको जमा का निशान लेना है। अतः समीकरण x 2 + 4x + 1 का शीर्ष (-2, 3) होगा।
सलाह
- a, b, तथा c का मान ध्यानपूर्वक ज्ञात करें।
- अपने किये हुए काम को पुनः जाँचें। ऐसा करने से आप यह भी देख पायेंगे कि आपने क्या किया है तथा यदि कोई गलती हुई है तो उसे सुधारने का मौका भी मिल जायेगा।
- सही उत्तर प्राप्त करने के लिए क्रमानुसार गणितीय ऑपरेटर्स का प्रयोग करें।
चेतावनी
- अपना काम देखें तथा पुनः चैक करें!
- a, b, तथा c का मान ध्यानपूर्वक ज्ञात करें। अगर आप गलती करेंगे तो आपका अंतिम उत्तर सही नहीं आयेगा।
- आवश्यकता से अधिक प्रयास न करें, प्रैक्टिस करने से आप सरलता से हल कर पायेंगे।
चीजें जिनकी आपको आवश्यकता होगी
- ग्राफ पेपर या कंप्यूटर स्क्रीन
- कैलकुलेटर
