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이차방정식의 꼭짓점 구하는 방법

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공동 작성자 David Jia

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이차방정식 의 꼭짓점은 이차방정식을 그래프로 그렸을 때 나타나는 포물선의 가장 높거나 가장 낮은 지점을 의미한다. 또한 포물선은 꼭짓점을 중심축으로 했을 때 대칭, 즉 중심축의 왼쪽과 오른쪽의 그래프가 거울상을 이루기 때문에 이차방정식의 꼭짓점을 찾는 것은 아주 중요하다고 할 수 있다. 그렇다면 어떤 방법으로 구할 수 있을까? 이 글을 통해 꼭짓점 공식과 완전제곱식의 두 가지 방법을 배워보도록 하자.

방법 1

방법 1 의 2:

꼭짓점 공식으로 구하기

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$x^{2}$ 의 계수 = a, $x$ 의 계수 = b , 상수항 = c 이다. 위 그림을 예로 들어 우리에게 주어진 식을 ' $y=x^{2}+9x+18$ 라고 하자. 이 경우, $a$ = 1 , $b$ = 9 , $c$ = 18 임을 알 수 있다. ^{[1]
X
출처 검색하기}
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2
공식을 이용해 꼭짓점의 x값 구하기. 꼭짓점은 대칭축을 형성하는 점이다. 이차방정식의 꼭짓점의 x값을 구하는 공식은 $x={\frac {-b}{2a}}$ 이므로 좀 전에 구한 값을 대입해 x 를 구한다. a와 b에 값을 대입하되 과정을 쓰는 것을 잊지 않도록 한다:
- $x={\frac {-b}{2a}}$
- $x={\frac {-(9)}{(2)(1)}}$
- $x={\frac {-9}{2}}$
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3
x값을 이차방정식에 대입하기. 이제 y값을 구하기 위해 x값을 주어진 이차방정식에 대입하자. 따라서 꼭짓점 공식을 y값까지 포함시켜 써보자면 $(x,y)=\left[({\frac {-b}{2a}}),f({\frac {-b}{2a}})\right]$ 와 같은 형태로 나타날 것이다. 즉, y값을 구하기 위해서는 공식을 사용해 먼저 꼭짓점의 $x$ 값을 찾아야 한다. 아래에 과정을 적어놓았으니 참고하도록 한다:
- $y=x^{2}+9x+18$
- $y={\frac {(-9)}{(2)}}^{2}+9{\frac {(-9)}{(2)}}+18$
- $y={\frac {81}{4}}-{\frac {81}{2}}+18$
- $y={\frac {81}{4}}-{\frac {162}{4}}+{\frac {72}{4}}$
- $y={\frac {(81-162+72)}{4}}$
- $y={\frac {-9}{4}}$
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$x$ 값과 $y$ 값을 순서쌍 형태로 적기. 이제 $x={\frac {-9}{2}}$ , $y={\frac {-9}{4}}$ 와 같이 꼭짓점의 좌표를 구했으니 순서쌍의 형태로 쓰기만 하면 끝난다. 즉, $({\frac {-9}{2}},{\frac {-9}{4}})$ 처럼 쓰면 된다. 우리가 계산한 이차방정식의 꼭짓점은 $({\frac {-9}{2}},{\frac {-9}{4}})$ 이며, 만약 포물선 그래프를 그리고 싶다면 방금 구한 꼭짓점이 최소값을 지닌 점이 될 것이다. $x^{2}$ 은 무조건 양수이기 때문에 꼭짓점이 최대값으로 나오지 않을 것이다.

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방법 2

방법 2 의 2:

완전제곱식으로 구하기

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주어진 식을 완전제곱꼴로 바꾸는 것 역시 이차방정식의 꼭짓점을 구하는 방법이다. 이 방법을 사용하면 완전제곱식을 만들었을 때 곧바로 꼭짓점의 x 및 y좌표를 알 수 있을 것이다. 완전제곱식으로 바꾸는 것이 어려울 수는 있지만 x좌표를 먼저 구해서 함수에 대입해 y좌표를 구하는 번거로운 계산을 할 필요가 없다는 이점이 있다. 이번에는 다음 식이 주어졌다고 가정하고 완전제곱식을 만들어보자: $x^{2}+4x+1=0$ . ^{[2]
X
출처 검색하기}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/17\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/17\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

양변을 $x^{2}$ 의 계수로 나누기. 이 식에서 $x^{2}$ 의 계수는 1이기 때문에 이 과정을 건너뛰어도 상관없다. 1로 양변을 나눠도 똑같기 때문이다. 하지만 양변을 0으로 나눠야한다면 모든 것이 바뀔 것이다.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/17\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/17\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
상수항을 우변으로 넘기기. 상수항은 계수가 없는 항이며 위 식에서는 1 에 해당한다. 이제 이 값을 우변으로 넘기도록 한다. 넘기는 방법은 양변에서 1 을 빼는 방식으로 한다. ^{[3]
X
출처 검색하기}
- $x^{2}+4x+1=0$
- $x^{2}+4x+1-1=0-1$
- $x^{2}+4x=-1$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e8\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e8\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
좌변을 완전제곱식으로 바꾸기. $({\frac {b}{2}})^{2}$ 를 찾은 후 그 결과를 양변에 더해주어야 한다. 식을 보면 $4x$ 가 b이기 때문에 $b$ 에 4 를 넣는다.
- $({\frac {4}{2}})^{2}=2^{2}=4$ . 이제 4 를 양변에 더해준다:
  - $x^{2}+4x+4=-1+4$
  - $x^{2}+4x+4=3$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a1\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a1\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

이제 좌변의 $x^{2}+4x+4$ 가 완전제곱식임을 알 수 있을 것이다. 그리고 이 식은 $(x+2)^{2}=3$ 과 동일하다.
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f6\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f6\/Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Vertex-of-a-Quadratic-Equation-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

이 형식을 통해 $x$ 와 $y$ 좌표 구하기. 이제 $(x+2)^{2}$ = 0으로 놓고 $x$ 좌표를 구하면 된다. 이 식에서 좌변을 $(x+2)^{2}=0$ 으로 만들기 위해서는 $x$ 의 값이 무엇이 되어야 할까? 정답은 - 2 이다. - 2 를 +2 에 더하면 0이 될 것이고 따라서 좌변은 0이 될 것이다. 그러면 y좌표는 무엇일까? y좌표는 더 쉽게 구할 수 있다. 단순히 원래 식의 우변 값을 적으면 된다. 우리가 구한 식의 우변은 3이므로 $y=3$ 이 된다. 만약 x값을 더 빠르게 구하고 싶으면 제곱식 안에 있는 상수에 -1을 곱하기만 하면 된다. 결론적으로 이 식의 꼭짓점은 $x^{2}+4x+1=(-2,-3)$ 가 됨을 알 수 있다.

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팁

a, b, c의 값을 정확히 쓰도록 하자.
항상 과정을 쓰도록 하자. 과정을 쓰는 것은 스스로 문제를 풀면서 검산을 하는 것과 같다. 게다가채점하는 사람 입장에서도 당신이 어떻게 답을 유도했는지 쉽게 확인할 수 있다.
이 글에서 설명한 공식과 방법을 제대로 적용시켰다면 무조건 정답을 얻을 것이다.

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경고

과정을 보이고 검산하자!
a,b,c의 값이 각각 어떤 것인지 정확히 알고 적는 것이 중요하다. 만약 모른다면 오답을 얻을 수도 있다.
이 방법들은 연습이 필요하니 답을 구하지 못했다고 스트레스받지 말아라.

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필요한 것

컴퓨터의 그래프 툴 혹은 그래프를 그릴 수 있는 공책.
계산기

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출처

이 위키하우에 대하여

공동 작성자 :

학업튜터

이 글은 공동 작성자 David Jia . 데이빗 지아는 학업 지도 교사이며 캘리포니아 주 로스 엔젤레스 소재 개인 과외업체인 LA Math Tutoring의 창업자이다. 10년 간의 교사 경력을 바탕으로 데이빗은 모든 연령과 학년의 학생들에게 다양한 과목을 지도할 뿐만 아니라 대학진학 상담과 SAT, ACT, ISEE 등의 시험 준비도 제공한다. 데이빗은 SAT에서 수학 800점 만점과 영어 690점으로 마이애미대학에서 디킨슨 장학금을 받았다. 그는 이 대학에서 경영학 학사학위를 받았다. 데이빗은 또한 Larson Texts, Big Ideas Learning, Big Ideas Math와 같은 교과서 발행사의 온라인 강의도 하고 있다. 조회수 68,706회

글 카테고리: 수학

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