कैसे एक बहुपद की घात (Degree of a Polynomial) पता करें

सहयोगी लेखक द्वारा Grace Imson, MA

एक बहुपद (Polynomial) का अर्थ होता है बहुत सारे पद। कोई भी बहुपद अलग-अलग व्यंजकों (expressions) को दर्शाता है जैसे स्थिरांक (constants), चर (variables), तथा घातांक (exponents)। उदाहरण के लिए x - 2 भी वैसा ही एक बहुपद है जैसे 25 । किसी भी बहुपद की घात (degree) पता करने के लिए हमें इसके पदों की सबसे बड़ी घातांक पता करनी होती है। ^{[१]
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रिसर्च सोर्स} अगर आप अलग-अलग स्थितियों में किसी भी बहुपद की घात पता करना चाहते हैं तो इस लेख में दिये गये सुझावों का पालन करें।

विधि 1

विधि 1 का 3:

एक चर या इससे कम वाले बहुपद

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बहुपद में स्थित सभी समान पदों को आपस में जोड़ें। यदि ये पहले से ही जुड़े हुये हैं तो यह आपके लिए अच्छा है। मान लेते हैं कि आप समीकरण 3x ² - 3x ⁴ - 5 + 2x + 2x ² - x को हल करना चाहते हैं। सबसे पहले x ² , x, तथा स्थिरांक को जोड़ें। आपको 5x ² - 3x ⁴ - 5 + x प्राप्त होगा।
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2
सभी स्थिरांक तथा गुणांक को हटा दें: किसी भी बहुपद में स्थिरांक वह मान होते हैं जो किसी भी पद से से जुड़े नहीं होते जैसे 3 या फिर 5। गुणांक (coefficients) वो होते हैं जो पदों से जुड़े होते हैं। बहुपद की घात पता करने के लिए आप इन स्थिरांक तथा गुणांक को नजरअंदाज कर दें या फिर इनको पेंसिल से काट दें। उदाहरण के लिए 5x ² का गुणांक 5 होगा। क्योंकि घात गुणांक पर निर्भर नहीं होती है इसलिए यहाँ पर आपको इसकी आवश्यकता नहीं होगी।
- समीकरण 5x ² - 3x ⁴ - 5 + x में से सभी स्थिरांक तथा गुणांक हटाने पर आपको x ² - x ⁴ + x प्राप्त होगा।
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बड़ी घातांक से शुरु करते हुये सभी पदों को घटते क्रम में लिखें: इस तरह से लिखने को बहुपद को "स्टैंडर्ड फॉर्म" (standard form) ^{[२]
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रिसर्च सोर्स} में लिखना भी कहा जाता है। सबसे बड़ी घातांक वाला पद सबसे पहले लिखा जायेगा तथा सबसे छोटी घातांक वाला पद सबसे अंत में लिखा जायेगा। इस तरह से आप पता कर पायेंगे कि सबसे बड़ी घातांक वाला पद कौन सा है। हमार पिछले उदाहरण में -x ⁴ + x ² + x बचेगा।
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किसी भी घातांक की वैल्यू उसकी पावर कहलाती है। हमारे उदाहरण -x ⁴ + x ² + x में पहले पद की पावर 4 है। क्योंकि आपने पदों को घातांक के घटते क्रम में व्यवस्थित किया हुआ है इसलिए सबसे पहले पद की घातांक सबसे बड़ी होगी।
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सबसे पहले पद की घातांक का मान आपके बहुपद की घात होगी: आप अपने इस बहुपद की घात = 4 लिख सकते हैं। या फिर आप अपना उत्तर ऐसे: घात (3x ² - 3x ⁴ - 5 + 2x + 2x ² - x) = 4 भी लिख सकते हैं। अब आपने अपना उत्तर पता कर लिया है। ^{[३]
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रिसर्च सोर्स}
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अगर आपका बहुपद केवल स्थिरांक ही है जैसे 15 या फिर 55 तो इसकी घात शून्य होगी। इसको आप ऐसे भी समझ सकते हैं कि आपका यह स्थिरांक एक ऐसे पद से जुड़ा हुआ है जिसकी घातांक शून्य है। यहाँ पर यह समझना आवश्यक है कि किसी भी शून्य घातांक वाले पद का मान 1 होता है। उदाहरण के लिए यदि आपका स्थिरांक 15 है तो इसको ऐसे भी माना जा सकता है 15x ⁰ जोकि 15 x 1, या 15 होगा। इससे यह भी सिद्ध हो गया कि स्थिरांक की घात 0 होती है।

विधि 2

विधि 2 का 3:

कई चर वाले बहुपद

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1
व्यंजक लिखें: कई चरों वाले बहुपद की घात पता करना एक चर वाले बहुपद की तुलना में थोड़ा सा कठिन है। मान लेते हैं कि हम नीचे दिये गये समीकरण को हल करेंगे:
- x ⁵ y ³ z + 2xy ³ + 4x ² yz ²
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2
प्रत्येक पद में स्थित चरों के घातांक को जोड़ें: केवल पद में स्थित चरों की पावर को जोड़ें। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता यदि अापके इस पद में चर अलग-अलग हों। यहाँ पर यह ध्यान देना आवश्यक है कि यदि किसी चर की घातांक नहीं लिखी है जैसे x या y तो इसका अर्थ है कि इसकी घातांक एक है। नीचे हम बता रहे हैं कि आप तीनों पदों के लिए कैसे हल कर सकते हैं: ^{[४]
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रिसर्च सोर्स}
- x ⁵ y ³ z = 5 + 3 + 1 = 9
- 2xy ³ = 1 + 3 = 4
- 4x ² yz ² = 2 + 1 + 2 = 5
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इन तीन पदों की सबसे बड़ी घातांक 9 होगी। घटते क्रम में लगाने के बाद यह पहले पद के चरों की जोड़ने के बाद प्राप्त घातांक है।
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इस उदाहरण में 9 आपके बहुपद की घात होगी। आप अपना उत्तर ऐसे: घात (x ⁵ y ³ z + 2xy ³ + 4x ² yz ² ) = 9 भी लिख सकते हैं।

विधि 3

विधि 3 का 3:

परिमेय व्यंजक (Rational Expression)

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मान लेते हैं कि आप इस व्यंजक को हल कर रहे हैं: (x ² + 1)/(6x -2) ^{[५]
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रिसर्च सोर्स}
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किसी भी भिन्न वाले बहुपद की घात पता करने के लिए आपको गुणांक तथा स्थिरांक की आवश्यकता नहीं होती है। इसलिए अंश में से 1 तथा हर में से 6 और -2 को हटा दें। अब आपके पास x ² /x बचेगा।
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भिन्न के हर में स्थित चरों की घातांक को अंश के चरों की घातांक से घटायें: अंश के चर की घातांक 2 है तथा हर के चर की घातांक 1 है। इसलिए 2 में से 1 घटायें। 2-1 = 1।
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इस परिमेय व्यंजक की घात 1 है। आप इसे ऐसे भी लिख सकते हैं: घात [(x ² + 1)/(6x -2)] = 1

सलाह

यह सभी स्टैप आप क्रमानुसार अपने मन में कर सकते हैं। इसे आपको कागज पर करने की आवश्यकता नहीं है। हाँलांकि पहली बार करते समय यदि आप इसे कागज पर करते हैं तो आपकी गलतियों की संभावना कम होगी।
नियमानुसार शून्य पद वाले बहुपद की घात नकारात्मक अनन्तता (negative infinity) मानी जाती है।
अंतिम चरण में पद x को x ¹ लिखा जा सकता है तथा एक गैर-शून्य स्थिरांक जैसे 7 को 7 x ⁰ लिखा जा सकता है।

[१]

[२]

[३]

[४]

[५]

लॉग इन

कैसे एक बहुपद की घात (Degree of a Polynomial) पता करें

चरण

एक चर या इससे कम वाले बहुपद

कई चर वाले बहुपद

परिमेय व्यंजक (Rational Expression)

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