確率の計算 方法

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確率という言葉を聞いたことがある人は多いかもしれませんが、確率の意味と確率を計算する方法を知っていますか？確率とは、宝くじに当たる、サイコロで6の目が出るなど、特定の事象が起こる割合のことです。確率は、ある事象が起こる数を起こりうるすべての事象の数で割れば簡単に求められます。ここでは、確率の計算方法を例題を使って段階的に説明します。

方法 1
方法 1 の 3:

ランダムに1つの事象が起こる確率を求める

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  1. ある事象が起こるか起こらないかのどちらかである場合に限って確率を計算できます。ある事象と正反対の事象が同時に起こりうる場合、確率を求めることはできません。相互に排他的な事象の例は、サイコロを振って5の目が出る、競馬で特定の馬が勝つなどの事象です。これは、それぞれ5の目が出るか出ないか、特定の馬が勝つか勝たないかのどちらかです。 [1]

    例： 「サイコロを1回振ったときに、5と6の両方の目が出る」というような事象の確率を求めることはできません。

  2. たとえば、サイコロを1回振ったときに3の目が出る確率を求める場合、ある事象は「3の目が出ること」であり、サイコロの目は6つあるので、起こりうるすべての事象の数は「6」になります。したがって、この例では、起こりうるすべての事象は6つあり、その中の1つの事象が起こる確率を求めることになります。 次の2つの例を考えましょう。
    • 例題1 ：「1週間のうちランダムに1つの曜日を選ぶとき、その曜日が土曜日か日曜日である確率を求めよ」この場合は、「その曜日が土曜日か日曜日である」ということが「ある事象」で、起こりうるすべての事象の数は1週間の日数である「7」です。
    • 例題2 ：「青玉4個、赤玉5個、白玉11個が入っている瓶の中からランダムに1個取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めよ」この場合は、「赤玉を取り出す」ことが「ある事象」で、起こりうるすべての事象の数は、瓶に入っている玉の数である「20」です。
  3. こうすると、ある1つの事象が起こる確率を求めることができます。サイコロを1回振ったときに3の目が出る確率を求める場合、3の目はサイコロに1つしかないため、ある事象が起こる場合の数は「1」であり、起こりうるすべての事象の数は「6」になります。したがって、計算式は1÷6、確率は1/6、0.166、16.6%などと表すことができます。 上に挙げた2つの例題の解き方を考えましょう。 [2]
    • 例題1 ：「1週間のうちランダムに1つの曜日を選ぶとき、その曜日が土曜日か日曜日である確率を求めよ」土曜日と日曜日は合わせて2日なので、ある事象が起こる場合の数は「2」であり、起こりうるすべての事象の数は「7」になります。したがって、計算式は2÷7、確率は2/7、0.285、28.5%などと表すことができます。
    • 例題2 ：「青玉4個、赤玉5個、白玉11個が入っている瓶の中からランダムに1個取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めよ」赤玉は5個入っているため、ある事象が起こる場合の数は「5」であり、起こりうるすべての事象の数は「20」になります。したがって、計算式は5÷20＝5/20、確率は1/4、0.25、25%などと表すことができます。
  4. 起こりうるすべての事象の確率は、合計で1、または100％にならなければいけません。起こりうるすべての事象の確率を足して100％にならない場合は、計算式に間違いがあるか、起こりうる事象が抜けている可能性があります。計算式を見直して、起こりうる事象が抜けていないか確認しましょう。 [3]
    • たとえば、サイコロを1回振ったときに3の目が出る確率は 1/6ですが、サイコロを振ったときに他の目が出る確率もそれぞれ1/6です。したがって、1/6＋1/6＋1/6＋1/6＋1/6＋1/6＝6/6となり、100％です。

    ポイント： たとえば、サイコロの例で「4の目が出る」という事象が抜けていた場合は、起こりうるすべての事象の確率の和は5/6 、すなわち83%となり、間違っていることがわかります。

  5. 0はその事象が起こる可能性がないことを意味しており、不可能な事象の確率は0になります。確率が0になることは稀ですが、絶対にないわけではありません。 [4]
    • たとえば、2020年の成人の日が日曜日になる確率を求める場合、成人の日は1月の第2月曜日と決まっているので、確率は0になります。
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方法 2
方法 2 の 3:

ランダムに複数の事象が起こる確率を求める

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  1. 複数の事象が起こる確率を求める場合は、事象ごとに分けて確率を計算しましょう。例として、サイコロを2回振って5の目が連続して出る確率を考えます。1回目にサイコロを振ったときに5の目が出る確率は1/6、2回目にサイコロを振ったときに5の目が出る確率も1/6です。最初に振ったサイコロの結果は、2回目のサイコロの目に影響を及ぼしません。 [5]

    ポイント： サイコロを2回振って5の目が連続して出る確率を求める例では、最初に振ったサイコロの結果が2回目のサイコロの目に影響を及ぼさないため、これらの事象は「独立事象」と呼ばれます。

  2. 最初の事象の結果で2番目の事象が起こる確率が変わる場合は、「従属事象」の確率を求める必要があります。たとえば、52枚1組のトランプから1枚ずつ2回引く場合、最初に1枚引くと、2回目に引くときに残っているトランプは51枚です。したがって、2つの従属事象の2回目の確率を計算する場合は、起こりうるすべての事象の数から1を引く必要があります。 [6]
    • 例題1 ：「52枚1組の普通のトランプから、ランダムに1枚ずつ2回引いたとき、2枚ともクローバーを引く確率を求めよ」1組のトランプにクローバーは13枚あるため、1枚目のトランプがクローバーである確率は13/52、または1/4です。
      • トランプの束からクローバーが1枚引かれたため、2枚目のトランプがクローバーである確率は12/51です。これは、最初の事象の結果が2番目の事象に影響するためです。最初にクローバーの3を引いてトランプの束に戻さなければ、残っているクローバーの枚数は最初より1枚少なく、トランプの枚数も1枚少なくなっています（52枚ではなく51枚）。
    • 例題2 ：「青玉4個、赤玉5個、白玉11個が入っている瓶の中からランダムに1個ずつ3回取り出すとき、最初に赤玉、次に青玉、最後に白玉を取り出す確率を求めよ」
      • 最初に赤玉を取り出す確率は5/20または1/4です。瓶の中の玉は1個減り、19個になっていますが、青玉の数は変わっていないため、2回目に青玉を取り出す確率は4/19です。そして、瓶の中の玉は2個減っているため、3回目に白玉を取り出す確率は11/18です。
  3. 独立事象でも従属事象でも、さらに事象が2つでも3つでも10でも、最終的な確率を求めるには各事象の確率をかけましょう。こうすると、複数の事象が起こる確率を求めることができます。サイコロを2回振って5の目が連続して出る確率を求める場合、各事象の確率はどちらも1/6です。したがって、計算式は1/6×1/6＝1/36、確率は1/36、0.027、2.7%などと表すことができます。 [7]
    • 例題1 ：「52枚1組の普通のトランプから、ランダムに1枚ずつ2回引いたとき、2枚ともクローバーを引く確率を求めよ」この場合、最初の事象が起こる確率は13/52、2番目の事象が起こる確率は12/51です。したがって、計算式は13/52×12/51＝12/204＝1/17、確率は1/17、0.058、5.8%などと表すことができます。
    • 例題2 ：「青玉4個、赤玉5個、白玉11個が入っている瓶の中からランダムに1個ずつ3回取り出すとき、最初に赤玉、次に青玉、最後に白玉を取り出す確率を求めよ」この場合、最初の事象が起こる確率は5/20、2番目の事象が起こる確率は4/19、3番目の事象が起こる確率は11/18です。したがって、計算式は5/20×4/19×11/18＝44/1368＝0.032、確率は0.032、または3.2%と表すことができます。
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方法 3
方法 3 の 3:

オッズから確率を求める

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  1. オッズは、ある事象が起こる確率とある事象が起こらない確率を比率で表したものです。たとえば、上の例題2に戻って考えましょう。色玉が20個入っている瓶から白玉（11個）を取り出す確率を求める場合、オッズとはこの事象が起こる確率に対して、この事象が起こらない確率の比のことです。瓶の中には白玉が11個と白ではない色玉が9個入っているので、オッズは11：9となります。
    • ここで、「11」は白玉を取り出す確率を表し、「9」は白玉ではない色玉を取り出す確率を表しています。
    • したがって、11：9は白玉を取り出すオッズを表します。
  2. オッズを確率に変換するのは簡単です。まず、オッズを2つの事象、つまり「白玉（11個）を取り出す」事象と「白玉ではない色玉（9個）を取り出す」事象に分けましょう。これらの値を合計し、起こりうるすべての事象の数を求めます。求められた値を分母として確率を求めましょう。
    • 白玉を取り出すという事象の数は11であり、白玉ではない色玉を取り出すという事象の数は9です。したがって、起こりうるすべての事象の数は、11＋9＝20です。
  3. これまでの結果、起こりうるすべての事象の数が20、白玉を取り出すという事象の数が11とわかったので、1つの事象が起こる確率を計算する方法で、白玉を取り出す確率を求めることができます。11（ある事象が起こる場合の数）を20（起こりうるすべての事象の数）で割り、確率を求めましょう。
    • この例で白玉を取り出す確率は11/20なので、計算式は11÷20＝0.55、確率は0.55、または55%と表すことができます。
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ポイント

  • スポーツ競技のギャンブルのブックメーカーが作成するオッズは、ある事象が起こる確率（勝つ確率）が左に、その事象が起こらない確率（負ける確率）が右に記されています。わかりにくいかもしれませんが、スポーツ競技のギャンブルをするつもりなら覚えておくと良いでしょう。
  • 確率の表記には、分数、少数、パーセント（百分率）、割合などがよく使われます。
  • 数学者は、ある事象が起こる確率を表すために通常「相対度数」という言葉を使います。これは、ある事象が起こることが100％保証されていないためです。たとえば、硬貨1枚を100回投げ上げて落ちたときの結果は、表と裏がそれぞれきっちり50回ずつではないでしょう。この点に考慮して「相対度数」という言葉が使われています。 [8]
  • ある事象が起こる確率は、常に正の数でなければなりません。結果が負の数になった場合は、計算を見直しましょう。
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出典

  1. ↑ https://www.theproblemsite.com/reference/mathematics/probability/mutually-exclusive-outcomes
  2. ↑ https://www.mathplanet.com/education/pre-algebra/probability-and-statistic/probability-of-events
  3. ↑ https://www.mathsisfun.com/probability_line.html
  4. ↑ https://www.probabilisticworld.com/not-all-zero-probabilities/
  5. ↑ https://www.wyzant.com/resources/lessons/math/statistics_and_probability/probability/further_concepts_in_probability
  6. ↑ https://www.mathplanet.com/education/pre-algebra/probability-and-statistic/probability-of-events
  7. ↑ https://www.intmath.com/counting-probability/8-independent-dependent-events.php
  8. ↑ https://www.bbc.com/bitesize/guides/zsrq6yc/revision/3

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