Загрузить PDF
Загрузить PDF
Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. То есть это такая точка, в которой система находится в идеальном равновесии независимо от того, как система повернута или вращается вокруг этой точки. Чтобы найти центр тяжести системы, необходимо определить массу основного объекта и массу тел, входящих в систему, найти точку отсчета и подставить эти значения в формулу.
Шаги
-
Определите вес основного объекта. Чтобы найти центр тяжести, сначала необходимо определить вес основного объекта. Например, рассмотрим качели-доску (качели-балансир) массой 12 кг. Таким образом, вес качелей равен 120 Н (Р=mg, где P – вес, m – масса, g – ускорение свободного падения, приблизительно равное 10 м/с2). Так как такие качели представляют собой симметричный объект, его центр тяжести находится точно по центру (когда на качелях никого нет). Но если на качелях сидят дети разной массы тела, задача усложняется. [1] X Источник информации
-
Определите дополнительные веса. Чтобы найти центр тяжести качелей с двумя детьми, необходимо определить вес каждого ребенка. Предположим, что масса тела первого ребенка равна 16 кг, а второго – 24 кг. Таким образом, вес первого ребенка равен 160 Н, а второго – 240 Н.Реклама
-
Выберите точку отсчета. Точкой отсчета является любая точка, которая находится на одном (любом) конце доски. Предположим, что длина доски равна 5 м. Поместите точку отсчета на левой стороне доски возле первого ребенка.
-
Измерьте расстояние от точки отсчета до центра основного объекта и до дополнительных тел. Допустим, дети сидят на расстоянии 50 см от каждого конца доски. До центра доски 2,5 м (5/2=2,5). Вот расстояния от точки отсчета до центра основного объекта и двух дополнительных тел:
- Центр доски находится на расстоянии 2,5 м от точки отсчета.
- Первый ребенок находится на расстоянии 0,5 м от точки отсчета.
- Второй ребенок находится на расстоянии 4,5 м от точки отсчета.
Реклама
-
Перемножьте вес каждого тела и его расстояние до точки отсчета. Так вы найдете момент силы для каждого тела. Вот как умножить расстояние до каждого тела на его вес:
- Доска: 120 Н х 5 м = 600 Н х м.
- Первый ребенок: 160 Н x 0,5 м = 80 Н х м.
- Второй ребенок: 240 Н x 4,5 м = 1080 Н x м.
-
Сложите найденные значения. Сложение: 600 + 80 + 1080 = 1760 Н х м. Суммарный момент равен 1760 Н x м.
-
Сложите веса всех объектов. Найдите сумму веса качелей, веса первого ребенка и веса второго ребенка. Сумма: 120 Н + 160 Н + 240 Н = 520 Н.
-
Разделите суммарный момент на суммарный вес. Так вы найдете расстояние от точки отсчета до центра тяжести системы. В нашем примере разделите 1760 Н х м на 520 Н.
- 1760 Н х м / 520 Н = 3,4 м
- Центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от точки отсчета или на расстоянии 3,4 м от левого конца доски, где находится точка отсчета.
Реклама
-
Нарисуйте схему системы и отметьте на ней центр тяжести. Если найденный центр тяжести находится вне системы объектов, вы получили неверный ответ. Возможно, вы измерили расстояния от разных точек отсчета. Повторите измерения.
- Например, если на качелях сидят дети, центр тяжести будет где-то между детьми, а не справа или слева от качелей. Также центр тяжести никогда не совпадет с точкой, где сидит ребенок.
- Эти рассуждения верны в двумерном пространстве. Нарисуйте квадрат, в котором поместятся все объекты системы. Центр тяжести должен находиться внутри этого квадрата.
-
Проверьте математические вычисления, если вы получили маленький результат. Если точка отсчета находится на одном конце системы, маленький результат помещает центр тяжести возле конца системы. Возможно, это правильный ответ, но в подавляющем большинстве случаев такой результат указывает на ошибку. Когда вы вычисляли моменты, вы перемножали соответствующие веса и расстояния? Если вместо умножения вы сложили веса и расстояния, вы получите гораздо меньший результат.
-
Исправьте ошибку, если вы нашли несколько центров тяжести. Каждая система имеет только один центр тяжести. Если вы нашли несколько центров тяжести, скорее всего, вы не сложили все моменты. Центр тяжести равен отношению «суммарного» момента к «суммарному» весу. Не нужно делить «каждый» момент на «каждый» вес: так вы найдете положение каждого объекта.
-
Проверьте точку отсчета, если ответ отличается на некоторое целое значение. В нашем примере ответ равен 3,4 м. Допустим, вы получили ответ 0,4 м или 1,4 м, или другое число, оканчивающееся на «,4». Это потому, что в качестве точки отсчета вы выбрали не левый конец доски, а точку, которая расположена правее на целую величину. На самом деле, ваш ответ верен, независимо от того, какую точку отсчета вы выбрали! Просто запомните: точка отсчета всегда находится в положении x = 0. Вот пример:
- В нашем примере точка отсчета находилась на левом конце доски и мы нашли, что центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от этой точки отсчета.
- Если в качестве точки отсчета выбрать точку, которая расположена на расстоянии 1 м вправо от левого конца доски, вы получите ответ 2,4 м. То есть центр тяжести находится на расстоянии 2,4 м от новой точки отсчета, которая, в свою очередь, находится на расстоянии 1 м от левого конца доски. Таким образом, центр тяжести находится на расстоянии 2,4 + 1 = 3,4 м от левого конца доски. Получился старый ответ!
- Примечание: при измерении расстояния помните, что расстояния до «левой» точки отсчета отрицательные, а до «правой» – положительные.
-
Расстояния измеряйте по прямым линиям. Предположим, на качелях два ребенка, но один ребенок намного выше другого, или один ребенок висит под доской, а не сидит на ней. Проигнорируйте такую разницу и измерьте расстояния по прямой линии доски. Измерение расстояний под углами приведет к близким, но не совсем точным результатам.
- В случае задачи с качелями-доской помните, что центр тяжести находится между правым и левым концами доски. Позже вы научитесь вычислять центр тяжести более сложных двумерных систем.
Реклама
Советы
- Чтобы найти расстояние, на которое должен переместиться ребенок, чтобы сбалансировать качели-доску относительно точки опоры, используйте формулу: (перемещаемый вес)/(общий вес) = (расстояние движения центра тяжести)/(расстояние движения веса). Эту формулу можно переписать так: расстояние, на которое должен переместиться ребенок = (расстояние между центром тяжести и точкой опоры х вес ребенка)/(общий вес). Поэтому первому ребенку нужно переместиться на -0,9*160/520 = -0,28 м или -28 см (к концу доски), а второму ребенку нужно переместиться на -0,9*520/240 = -1,95 м или -195 см (к концу доски).
- Если нужно найти центр тяжести двумерного объекта, используйте формулу Xcg = ΣxW/W, чтобы найти центр тяжести вдоль оси X, и Ycg = ΣyW/ΣW, чтобы найти центр тяжести вдоль оси Y. Точка, в которой они пересекаются, является центром тяжести.
- Определение центра тяжести общего распределения масс: (∫ r dW/∫ dW), где dW – дифференциал веса, r – радиус-вектор, а интегралы должны интерпретироваться как интегралы Стилтьеса по всему телу. Но эти интегралы могут быть выражены как более общие интегралы (по плотности) Римана или Лебега для распределений, допускающих функцию плотности. Начиная с этого определения, все свойства центра тяжести (включая те, которые описаны в этой статье) могут быть получены из свойств интегралов Стилтьеса.
Реклама
Предупреждения
- Не пытайтесь применить описанные здесь методы, не поняв теорию. В противном случае вы получите неверный результат.
Реклама
Реклама
