Загрузить PDF
Загрузить PDF
Эта статья посвящена разложению на множители многочлена третьей степени. Мы расскажем, как это сделать с помощью метода группировки и через свободный член.
Шаги
-
Разбейте многочлен на два составляющих многочлена (на две группы). Разложите многочлен на две группы и работайте с каждой из них отдельно. [1] X Источник информации
- Например, возьмем многочлен: x 3 + 3x 2 - 6x - 18 = 0. Разобьем его на группы (x 3 + 3x 2 ) и (- 6x - 18)
-
Найдите общий множитель в каждой группе.
- Для (x 3 + 3x 2 ) общим множителем будет x 2
- Для (- 6x - 18) общий множитель -6.
-
Вынесите общие множители за скобки (упрощение).
- Выносим x 2 за скобки первого двучлена и получаем: x 2 (x + 3).
- Выносим -6 за скобки второго двучлена и получаем: -6(x + 3).
-
Если в упрощенных группах есть один и тот же многочлен, то можно сложить общие знаменатели и умножить на такой многочлен. [2] X Источник информации
- В нашем случае получим: (x + 3)(x 2 - 6).
-
Найдите решение каждого из полученных двучлена (множителя). Если у вас переменная x 2 , то помните, что возможен как положительный, так и отрицательный ответ. [3] X Источник информации
- В нашем примере x = -3 и x = √6.
Реклама
-
Приведите многочлен к виду: ax 3 +bx 2 +cx +d. [4] X Источник информации
- Для примера будем рассматривать многочлен: x 3 - 4x 2 - 7x + 10 = 0.
-
Найдите все множители «d».Свободный член «d» — член без переменной «x» (член, не содержащий неизвестного).
- Множители — числа, которые при перемножении дают рассматриваемое число. В нашем случае множители 10, или «d»: 1, 2, 5 и 10.
-
Найдите один множитель, который является решением многочлена. То есть нужно выбрать множитель, при котором многочлен равен 0, если этот множитель подставить вместо «x».
- Начнем с 1. Подставляя «1» вместо «x», получим:
(1) 3 - 4(1) 2 - 7(1) + 10 = 0 - Решение: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
- Так как 0 = 0, то x = 1 является корнем исходного многочлена.
- Начнем с 1. Подставляя «1» вместо «x», получим:
-
Сделаем упрощение. Если x = 1, то можно упростить исходный многочлен без изменения его значения.
- «x = 1» — это то же самое, что и «x - 1 = 0» или «(x - 1)». Мы просто перенесли 1 в левую часть равенства.
-
Вынесите корень за скобки начального многочлена. «(x - 1)» — это наш корень многочлена. Попытаемся вынести его за скобки. Работайте с каждым членом многочлена отдельно.
- Можно ли вынести (x - 1) из x 3 ? Нет. Но можно взять («занять») -x 2 из второго члена; и тогда можно вынести наш корень за скобки: x 2 (x - 1) = x 3 - x 2 .
- Можно ли вынести (x - 1) из оставшейся части второго члена? Нет. Для этого необходимо взять что-то из третьего члена. Нужно взять 3x из -7x. Это даст: 3x(x - 1) = -3x 2 + 3x.
- Так как мы взяли 3x из -7x, то нашим третьим членом будет теперь -10x, а свободным членом 10. Можно вынести корень (х - 1)? Да! -10(x - 1) = -10x + 10.
- Таким образом, мы переделали члены нашего многочлена для того, чтобы вынести (x - 1) за скобки исходного многочлена. Наш переделанный многочлен выглядит следующим образом: x 3 - x 2 - 3x 2 + 3x - 10x + 10 = 0, но это то же самое, что и x 3 - 4x 2 - 7x + 10 = 0.
-
Продолжим разлагать многочлены через свободный член. Вынесите (x - 1) из членов, полученных в шаге 5:
- x 2 (x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0. Этот многочлен можно упростить через вынесение (х - 1) за общие скобки: (x - 1)(x 2 - 3x - 10) = 0.
- Здесь разложите (x 2 - 3x - 10). Это приведет к (x + 2)(x - 5).
-
Корнями начального многочлена будут корни его разложенного варианта. Это можно проверить, напрямую подставив каждый корень в исходный многочлен.
- (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0. Корнями будут: 1, -2, и 5.
- Подставьте -2 в исходный многочлен: (-2) 3 - 4(-2) 2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Подставьте 5 в исходный многочлен: (5) 3 - 4(5) 2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Реклама
Советы
- Кубический многочлен является произведением трех многочленов первой степени или произведением одного многочлена первой степени и неразлагаемого многочлена второй степени. В последнем случае — после нахождения многочлена первой степени — используется деление для получения многочлена второй степени.
- Все кубические многочлены с рациональными действительными корнями можно разложить. Кубические многочлены вида x^3 + x + 1, у которых иррациональные корни, нельзя разложить на многочлены с целыми (рациональными) коэффициентами. Хотя такой многочлен может быть разложен по кубической формуле, он не разлагается как целый многочлен. [5] X Источник информации
Реклама
Источники
- ↑ http://web.math.ucsb.edu/~vtkala/2016/S/4B/FactoringCubicPolynomials.pdf
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-polynomials-2409.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-solving.html
- ↑ https://www.dummies.com/education/math/pre-calculus/factoring-four-or-more-terms-by-grouping/
- ↑ https://kipkis.com/Factor_a_Cubic_Polynomial
Реклама
