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Die Steigung einer Linie ist ein Maß dafür, wie schnell sie sich ändert. In der Analysis wird die Steigung für Geraden – wo die Steigung dir verrät, wie steil sie nach oben oder unten geht – aber auch für Kurven verwendet und ist als die „Ableitung“ einer Funktion bekannt. Wofür du sie auch verwendest, versuche, dir die Steigung als die „Änderungsrate“ eines Graphen vorzustellen: Wenn du x größer machst, mit welcher Rate verändert sich dann y ? Das ist eigentlich alles, was die Steigung ist.
Vorgehensweise
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Verwende die Steigung, um die Steilheit und Richtung einer Funktion zu bestimmen. Die Steigung einer Gleichung zu bestimmen ist einfach, solange die Gleichung linear ist. Diese Methode funktioniert nur unter folgenden Voraussetzungen:
- Es sind keine Exponenten vorhanden
- Es gibt nur zwei Variablen, keine davon als Bruchteil (also z.B. nicht: )
- Die Gleichung lässt sich auf die Form vereinfachen, wobei m und b Konstanten sind (Zahlen wie 3, 10, -12, ). [1] X Forschungsquelle
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Finde die Zahl vor dem x, normalerweise als m bezeichnet, um die Steigung zu bestimmen. Sollte deine Gleichung bereits die richtige Form haben, , musst du einfach nur die Zahl an der m Position verwenden. Das ist deine Steigung! Achte darauf, dass die Zahl immer mit der Variable multipliziert wird, in diesem Fall mit x . Wenn du dir unsicher bist, schaue dir folgende Beispiele an:
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- Steigung = 2
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- Steigung = -1
-
- Steigung = [2] X Forschungsquelle
-
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Stelle die Gleichung so um, dass eine Variable isoliert ist, sollte die Steigung nicht so offensichtlich sein. Du kannst deine Gleichung addieren, subtrahieren usw., um eine Variable zu isolieren, normalerweise y . Denke nur immer daran, dass egal was du auf einer Seite der Gleichung machst (wie z.B. 5 addieren), du das auch auf der anderen Seite machen musst. Dein Ziel ist eine Gleichung der Form . Hier ein Beispiel:
- Finde die Steigung von
- Bringe die Gleichung in die Form
:
- Bestimme die Steigung:
- Steigung = m = 4 [3] X Forschungsquelle
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Verwende einen Graphen und zwei Punkte, um die Steigung ohne die Funktionsgleichung zu bestimmen. Wenn du einen Graphen und eine Funktion gegeben hast, aber keine Gleichung, kannst du die Steigung trotzdem relativ einfach bestimmen. Du benötigst dazu nur zwei Punkte auf der Funktion, die du dann in die Gleichung einsetzen kannst. Während du die Steigung bestimmst, behalte folgende Informationen im Kopf, damit du nicht auf den falschen Weg gerätst:
- Positive Steigungen steigen auf dem Graphen nach rechts hin an.
- Negative Steigungen fallen auf dem Graphen nach rechts hin ab.
- Größere Steigungen sind steiler. Kleinere Steigungen steigen langsamer an.
- Perfekt horizontale Geraden haben eine Steigung von Null.
- Perfekt vertikale Geraden haben überhaupt keine Steigung. Ihre Steigung ist „unbestimmt“. [4] X Forschungsquelle
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Finde zwei Punkte und stelle sie in einer einfachen (x,y) Form dar. Nutze den Graphen (oder die Fragestellung), um die x- und y-Koordinaten zweier Punkte auf dem Graphen zu bestimmen. Das können zwei beliebige Punkte sein, durch die die Gerade verläuft. Nehmen wir z.B. an, die Gerade in dieser Methode verläuft durch die Punkte (2,4) und (6,6). [5] X Forschungsquelle
- Bei jedem Zahlenpaar ist die x-Koordinate die erste Zahl und die y-Koordinate kommt nach dem Komma.
- Jede x-Koordinate auf der Gerade hat eine zugehörige y-Koordinate.
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Benenne die entsprechenden Zahlenpaare der Punkte x 1 , y 1 , x 2 , y 2 . Wenn wir unser Beispiel mit den Punkten (2,4) und (6,6) fortführen und die x- und y-Koordinaten von jedem Punkt benennen, sieht das am Ende so aus:
- x 1 : 2
- y 1 : 4
- x 2 : 6
- y 2 : 6 [6] X Forschungsquelle
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Setze deine Punkte in die Formel zur Berechnung der Steigung aus zwei Punkten ein. Folgende Formel wird verwendet, um die Steigung einer Gerade aus zwei Punkten zu bestimmen: . Setze einfach deine vier Punkte ein und vereinfache:
- Ausgangspunkte: (2,4) and (6,6).
- Einsetzen in die Gleichung:
- Vereinfachen der Lösung:
- = Steigung [7] X Forschungsquelle
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Verstehe, wie die Formel funktioniert. Die Steigung einer Geraden gibt an, wie sehr die Gerade im Verlauf (also nach „rechts“ hin) ansteigt oder abfällt („Anstieg über den Verlauf“). Der „Anstieg/Abfall“ der Gerade ist nichts anderes als der Unterschied zwischen den y-Werten (denke daran, die Y-Achse verläuft von unten nach oben) und der „Verlauf“ der Gerade ist der Unterschied zwischen den x-Werten (die X-Achse verläuft von links nach rechts).
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Verstehe unterschiedliche Fragestellungen. Die Gleichung für die Steigung lautet . Sie kann aber auch mit dem griechischen Buchstaben „Δ“, genannte „delta“, geschrieben werden. Delta bedeutet die „Differenz von“. Die Gleichung für die Steigung kann also auch als Δy/Δx dargestellt werden. Δy/Δx bedeutet „Differenz von y/Differenz von x“ und ist nichts anderes als die ursprüngliche Gleichung . „Bestimme Δy/Δx von“ ist also das gleiche wie: „Finde die Steigung von“. [8] X ForschungsquelleWerbeanzeige
Methode 3
Methode 3 von 3:
Verwende Differentialrechnung, um die Steigung einer Kurve zu bestimmen
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Schaue dir noch einmal an, wie du die Ableitungen von bestimmten Gleichungen bildest. Ableitungen geben dir die Änderungsrate (oder Steigung) eines „einzelnen Punkts auf der Funktion“ an. Diese Funktion kann eine Kurve oder eine Gerade sein – ganz egal. Sieh sie als Veränderung der Funktion zu einem beliebigen Zeitpunkt an, nicht als Steigung des gesamten Graphen. Wie du die Ableitung bildest, hängt von der Art der Funktion ab, die du gegeben hast. Wenn du dir noch einmal anschauen möchtest, wie du die Ableitung häufig vorkommender Funktionen bildest, lies dir folgende Links durch:
- Ableitungen berechnen.
- Sehr einfache Ableitungen, jene für die elementarsten Exponentialfunktionen, können mit einer einfachen Abkürzung bestimmt werden (Artikel in Englisch). Diese verwenden wir auch für diese Methode.
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Verstehe, welche Fragestellungen eine Berechnung der Steigung mit Hilfe der Ableitung verlangen. Du wirst nicht immer explizit danach gefragt werden, die Ableitung oder Steigung einer Kurve zu berechnen. Du könntest z.B. auch nach der „Änderungsrate am Punkt (x,y)“ gefragt werden. Oder du sollst die Gleichung für die Steigung des Graphen bestimmen, was einfach nur bedeutet, dass du die Ableitung ziehen musst. Zuletzt kann auch nach der „Steigung der Tangente an (x,y)“ gefragt werden. Auch das bedeutet einfach nur, dass du die Steigung an einem bestimmten Punkt (x,y) bestimmen sollst.
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Finde die Ableitung deiner Funktion. Du benötigst den Graphen gar nicht unbedingt, solange du die Funktion oder Gleichung für deinen Graphen hast. Für dieses Beispiel verwenden wir die Funktion von oben, . Indem wir der Methode aus The_Shortcut_sub diesem Link folgen (in Englisch) , können wir die Ableitung dieser einfachen Funktion bestimmen:
- Ableitung:
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Setze deinen Punkt in die Ableitungsgleichung ein, um deine Steigung zu bekommen. Die Ableitung einer Funktion gibt dir die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt. In anderen Worten, f’(x) ist die Steigung der Funktion an jedem Punkt (x,f(x)). Für unsere vorliegende Aufgabe bedeutet das:
- Was ist die Steigung der Funktion am Punkt (4,2)?
- Ableitung der Funktion:
- Einsetzen von x:
- Bestimme die Steigung:
- Die Steigung von am Punkt (4,2) ist 22.
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Wenn möglich, überprüfe dein Ergebnis anhand des Graphen. Nicht alle Punkte in Analysis haben eine Steigung. Analysis beschäftigt sich mit komplexen Funktionen und schwierigen Graphen und nicht alle Punkte haben eine Steigung, oder existieren überhaupt auf jedem Graphen. Wann immer es dir möglich ist, überprüfe dein Ergebnis für die Steigung mit Hilfe eines grafischen Taschenrechners. Wenn das nicht möglich ist, zeichne die Tangente mit Hilfe deines Punktes und der Steigung (denke daran - „Anstieg über den Verlauf“) und überprüfe, ob deine Lösung realistisch aussieht.
- Eine Tangente hat dieselbe Steigung wie die Kurve an dem entsprechenden Punkt. Um sie zu zeichnen, gehe deine Steigung nach oben (positiv) oder nach unten (negativ). In unserem Fall also 22 nach oben. Dann gehe eins nach rechts (positiv) oder links (negativ) und zeichne einen Punkt. Verbinde die Punkte (4,2) und (26,3) für deine Tangente.
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Referenzen
- ↑ http://www.numbertheory.org/book/cha1.pdf
- ↑ https://www.ixl.com/math/grade-8/find-the-slope-of-a-graph
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://www.virtualnerd.com/algebra-1/linear-equation-analysis/slope-rate-of-change/slope-examples/slope-from-graph
- ↑ http://www.mathwarehouse.com/algebra/linear_equation/slope-of-a-line.php
- ↑ http://cs.selu.edu/~rbyrd/math/slope/
- ↑ http://cs.selu.edu/~rbyrd/math/slope/
- ↑ https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/implicitdiffdirectory/ImplicitDiff.html
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