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Eine Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten lösen

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unter Mitarbeit von JohnK Wright V

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Wenn du beginnst, Algebra zu lernen, werden dir Gleichungen begegnen, die eine Variable auf einer Seite haben, später wirst du auch oft Gleichungen sehen, die auf beiden Seiten Variablen haben. Die wichtigste Regel beim Lösen solcher Gleichungen, die du dir merken musst, ist dass du, was auch immer du auf einer Seite tust, auch auf der anderen machen musst. Unter Anwendung dieser Regel ist es ein Leichtes, Variablen zu verschieben, sodass du sie isolieren und mithilfe der Grundrechenarten ihren Wert finden kannst.

Methode 1

Methode 1 von 3:

Gleichungen mit einer Variable auf beiden Seiten lösen

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1
Wende wenn nötig das Distributivgesetz an. Das Distributivgesetz besagt, dass $a(b+c)=ab+ac$ . ^{[1]
X
Forschungsquelle} Diese Regel ermöglicht es dir, Klammern aufzulösen, indem du jeden Term in der Klammer mit der Zahl außerhalb der Klammern multiplizierst. ^{[2]
X
Forschungsquelle}
- Wenn deine Gleichung zum Beispiel $2(10-2x)=4(2x+2)$ ist, wendest du das Distributivgesetz an, um die Terme in der Klammer mit der Nummer außerhalb der Klammer zu multiplizieren:
  $2(10-2x)=4(2x+2)$
  $20-4x=8x+8$
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2
Löse die Variable auf einer Seite der Gleichung auf. Um die Variable zu streichen, führst du die gegenteilige Operation von der aus, die in der Gleichung angegeben ist. Wenn der Term zum Beispiel in der Gleichung subtrahiert wird, löst du ihn auf, indem du ihn addierst. Wenn der Term in der Gleichung addiert wird, streichst du ihn, indem du ihn subtrahierst. Gewöhnlich ist es einfacher, die Variable mit dem kleineren Koeffizienten aufzulösen. ^{[3]
X
Forschungsquelle}
- In der Gleichung $20-4x=8x+8$ zum Beispiel streichst du den Term $-4x$ indem du $4x$ addierst:
  $20-4x+4x=8x+8$ .
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3
Halte die Gleichung im Gleichgewicht. Was auch immer du auf einer Seite der Gleichung tust, musst du auch auf der anderen Seite machen. Wenn du addierst oder subtrahierst, um die Variable auf einer Seite der Gleichung zu streichen, musst du auch auf der anderen Seite addieren oder subtrahieren. ^{[4]
X
Forschungsquelle}
- Wenn du zum Beispiel $4x$ auf der einen Seite der Gleichung addiert hast, um die Variable zu streichen, musst du auch $4x$ zu der anderen Seite der Gleichung addieren:
  $20-4x+4x=8x+8+4x$
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4
Vereinfache die Gleichung, indem du gleichartige Terme zusammenlegst. Du solltest nun die Variable auf einer Seite der Gleichung haben.
- Zum Bespiel:
  $20-4x+4x=8x+8+4x$
  $20=12x+8$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/06\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/06\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Verschiebe die Konstanten auf eine Seite der Gleichung, wenn notwendig. Du willst die Variable auf der einen Seite und die Konstante auf der anderen Seite haben. Um die Konstante auf eine Seite zu verschieben, addierst oder subtrahierst du von beiden Seiten der Gleichung, um den Term auf einer Seite aufzulösen. ^{[5]
X
Forschungsquelle}
- Um zum Beispiel die Konstante $+8$ auf der Seite der Variable zu streichen, subtrahierst du 8 von beiden Seiten der Gleichung:
  $20=12x+8$
  $20-8=12x+8-8$
  $12=12x$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/dc\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/dc\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

6
Löse den Koeffizienten der Variable auf. Dazu führst du die entgegengesetzte Operation von jener aus, die in der Gleichung angegeben ist. Normalerweise heißt das, zu dividieren, um einen Koeffizienten zu löschen, der mit einer Variable multipliziert wird. ^{[6]
X
Forschungsquelle} Denke daran, dass du, was auch immer du auf einer Seite der Gleichung tust, auch auf der anderen Seite machen musst.
- Um zum Beispiel den Koeffizienten 12 aus der Gleichung zu löschen,würdest du auf jeder Seite der Gleichung durch 12 dividieren:
  $12=12x$
  ${\frac {12}{12}}={\frac {12x}{12}}$
  $1=x$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b3\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b3\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

7
Überprüfe deine Arbeit. Um sicher zu stellen, dass deine Antwort richtig ist, setzt du deine Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein. Liefert die Gleichung ein richtiges Ergebnis, ist deine Lösung richtig.
- Wenn zum Beispiel $1=x$ ist, setzt du 1 für die Variable in der Gleichung ein und rechnest:
  $2(10-2x)=4(2x+2)$
  $2(10-2(1))=4(2(1)+2)$
  $2(10-2)=4(2+2)$
  $20-4=8+8$
  $16=16$
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Methode 2

Methode 2 von 3:

Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen

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1
Isoliere eine Variable in einer Gleichung. Das ist vielleicht bereits geschehen. Wenn nicht wendest du die Gesetze der Algebra an, um die Variable auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Denke daran, dass du, was auch immer du auf einer Seite der Gleichung tust, auch auf der anderen Seite machen musst.
- Bei der Gleichung $y+1=x-1$ zum Beispiel würde man, um die Variable $y$ zu isolieren, 1 von beiden Seiten subtrahieren:
  $y+1=x-1$
  $y+1-1=x-1-1$
  $y=x-2$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cc\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cc\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Setze den Wert der isolierten Variable in die andere Gleichung ein. Vergewissere dich, dass du den gesamten Term für die Variable einsetzt. Das wird dir eine Gleichung mit nur einer Variable liefern, was dir ermöglicht, sie mit dieser einen Variable zu lösen. ^{[7]
X
Forschungsquelle}
- Wenn deine erste Gleichung $2x=20-2y$ lautet und du in der zweiten Gleichung ermittelt hast, dass $y=x-2$ , würdest du in der ersten Gleichung $x-2$ für $y$ einsetzen:
  $2x=20-2y$
  $2x=20-2(x-2)$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/65\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/65\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Löse die Gleichung für die Variable. Dazu verschiebst du die Variable auf eine Seite der Gleichung. Dann verschiebst du die Konstanten auf eine Seite der Gleichung. Dann isolierst du die Variable durch Multiplikation oder Division.
- Zum Beispiel:
  $2x=20-2(x-2)$
  $2x=20-2x+4$
  $2x=24-2x$
  $2x+2x=24-2x+2x$
  $4x=24$
  ${\frac {4x}{4}}={\frac {24}{4}}$
  $x=6$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c6\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c6\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

4
Löse die Gleichung, um die verbleibende Variable zu ermitteln. Dazu setzt du den Wert der Variable, die du bereits gelöst hast, in eine der Gleichungen ein. So erhältst du eine Gleichung mit nur einer Variablen. Löse die Gleichung unter Verwendung der Regeln der Algebra, um die Variable zu finden. Du kannst beide der Gleichungen verwenden, um die verbleibende Variable herauszufinden.
- Wenn du zum Beispiel ermittelt hast, dass $x=6$ , kannst du 6 für $x$ in die zweite Gleichung einsetzen:
  $y=x-2$
  $y=(6)-2$
  $y=4$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/ac\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-12-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-12-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/ac\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-12-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-12-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

5
Überprüfe deine Arbeit. Setze die Werte für beide Variablen in eine der Gleichungen ein. Liefert die Gleichung ein richtiges Ergebnis, sind deine Lösungen richtig.
- Hast du zum Beispiel herausgefunden, dass $x=6$ und $y=4$ , setzt du diese wieder in die ursprüngliche Gleichung ein und löst sie:
  $2x=20-2y$
  $2(6)=20-2(4)$
  $12=20-8$
  $12=12$
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Methode 3

Methode 3 von 3:

Beispielaufgaben lösen

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1
Versuche dich an dieser Aufgabe mit einer Variable unter Verwendung des Distributivgesetzes: $5(x+4)=6x-5$ .
- Wende das Distributivgesetz an, um die Klammern aufzulösen:
  $5(x+4)=6x-5$
  $5x+20=6x-5$
- Streiche das $5x$ auf der linken Seite der Gleichung, indem du $5x$ auf beiden Seiten subtrahierst:
  $5x+20=6x-5$
  $5x+20-5x=6x-5-5x$
  $20=x-5$
- Isoliere die Variable, indem du 5 auf jeder Seite der Gleichung addierst:
  $20=x-5$
  $20+5=x-5+5$
  $25=x$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3f\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-14-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-14-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3f\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-14-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-14-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

2
Versuche, diese Aufgabe mit einem Bruch zu lösen: $-7+3x={\frac {7-x}{2}}$ .
- Löse den Bruch auf. Dazu multiplizierst du jede Seite der Gleichung mit dem Nenner des Bruches:
  $-7+3x={\frac {7-x}{2}}$
  $2(-7+3x)=2({\frac {7-x}{2}})$
  $-14+6x=7-x$
- Löse das $-x$ auf der rechten Seite der Gleichung auf, indem du $x$ auf jeder Seite der Gleichung addierst:
  $-14+6x=7-x$
  $-14+6x+x=7-x+x$
  $-14+7x=7$
- Verschiebe die Konstanten auf eine Seite der Gleichung, indem du auf jeder Seite 14 addierst:
  $-14+7x=7$
  $-14+7x+14=7+14$
  $7x=21$
- Streiche den Koeffizienten, indem du beide Seiten der Gleichung durch 7 teilst:
  $7x=21$
  ${\frac {7x}{7}}={\frac {21}{7}}$
  $x=3$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/55\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-15-Version-2.jpg\/v4-460px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-15-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/55\/Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-15-Version-2.jpg\/v4-728px-Solve-Equations-with-Variables-on-Both-Sides-Step-15-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}

3
Versuche, dieses Gleichungssystem zu lösen: $9x+15=12y;9y=9x+27$
- Isoliere die Variable $y$ in der zweiten Gleichung:
  $9y=9x+27$
  $9y=9(x+3)$
  ${\frac {9y}{9}}={\frac {9(x+3)}{9}}$
  $y=x+3$
- Setze $x+3$ für $y$ in die erste Gleichung ein:
  $9x+15=12y$
  $9x+15=12(x+3)$
- Wende das Distributivgesetz an, um die Klammern aufzulösen:
  $9x+15=12x+36$
- Streiche die Variable auf der linken Seite der Gleichung, indem du $9x$ auf jeder Seite subtrahierst:
  $9x+15=12x+36$
  $9x+15-9x=12x+36-9x$
  $15=3x+36$
- Verschiebe die Konstanten auf eine Seite, indem du 36 auf jeder Seite subtrahierst:
  $15=3x+36$
  $15-36=3x+36-36$
  $-21=3x$
- Streiche den Koeffizienten, indem du jede Seite durch 3 dividierst:
  $-21=3x$
  ${\frac {-21}{3}}={\frac {3x}{3}}$
  $-7=x$
- Löse die Gleichung für $y$ , indem du den Wert von $x$ in eine der beiden Gleichungen einsetzt:
  $9y=9x+27$
  $9y=9(-7)+27$
  $9y=-63+27$
  $9y=-36$
  ${\frac {9y}{9}}={\frac {-36}{9}}$
  $y=-4$
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Mathematiklehrer

Dieser Artikel wurde unter Mitarbeit von JohnK Wright V erstellt. JohnK Wright V ist ein zertifizierter Mathelehrer an der Bridge Builder Academy in Plano, Texas. Er verfügt über mehr als 20 Jahre Lehrerfahrung und ist ein von Texas SBEC zertifizierter Mathelehrer für die Klassen 8-12. Er hat an sechs verschiedenen Schulen unterrichtet und dabei Voralgebra, Algebra 1, Geometrie, Algebra 2, Vorkalkül, Statistik, mathematisches Denken und mathematische Modelle mit Anwendungen unterrichtet. Er hat Mathematik an der Southeastern Louisiana studiert und hat einen Bachelor in Wissenschaft von der University of the State of New York (jetzt Excelsior University) und einen Master in Computer Information Systems von der Boston University. Dieser Artikel wurde 29.488 Mal aufgerufen.

Kategorien: Mathematik

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