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El teorema de Pitágoras te permite obtener la longitud del tercer lado de un triángulo rectángulo si conoces los valores de los otros dos. Su nombre proviene de Pitágoras, un matemático de la antigua Grecia. Este teorema establece que la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa: a 2 + b 2 = c 2 . [1] X Fuente de investigación Este teorema se puede demostrar de varias formas. En algunas de ellas se usan cuadrados, rectángulos y otros conceptos geométricos. Aquí verás dos de las demostraciones más comunes.
Pasos
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Dibuja cuatro triángulos rectángulos congruentes. Los triángulos congruentes son aquellos que tienen los tres lados iguales. Dibuja los dos lados (catetos) con una longitud a y b, y la hipotenusa con una longitud c. El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los dos lados de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa, por lo tanto, hay que demostrar que a 2 + b 2 = c 2 .
- Recuerda que el teorema de Pitágoras solo se aplica a triángulos rectángulos. [2] X Fuente de investigación
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Ordena los triángulos de modo que formen un cuadrado con los lados a+b . Colocando los triángulos de esta forma, formarán un cuadrado más pequeño (de color verde) dentro del cuadrado más grande que tiene cuatro lados iguales de longitud c , que es la misma que la hipotenusa de cada triángulo. La longitud de los lados del cuadrado más grande es igual a a+b . [3] X Fuente de investigación The larger square has sides of length a+b .
- Puedes rotar (girar) todo el dibujo 90 grados y quedará exactamente igual. Incluso puedes seguir girándolo las veces que quieras y seguirá siendo el mismo. Esto es posible solamente porque los ángulos de las esquinas son exactamente iguales.
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Reordena los mismos cuatro triángulos de modo que formen dos rectángulos iguales dentro del cuadrado más grande. Una vez más, el cuadrado más grande tendrá lados de longitud a+b , pero con esta nueva configuración habrá dos rectángulos (de color gris) del mismo tamaño y dos cuadrados más pequeños dentro del cuadrado más grande. El cuadrado más grande de los dos cuadrados pequeños (el rojo), tiene lados de longitud a , mientras que el más pequeño (el azul) tiene lados de longitud b . [4] X Fuente de investigación
- La hipotenusa de los triángulos originales ahora es la diagonal de los dos rectángulos que forman los triángulos.
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Observa que el área que no está formada por los triángulos es igual en ambos casos. En los dos casos tienes un cuadrado grande cuyos lados tienen una longitud de a+b . Dada esta condición, las áreas de ambos cuadrados grandes es la misma. Si observas ambos casos, verás que el área total del cuadrado verde es igual a la suma de las áreas azul y roja del segundo caso.
- En los dos casos, la superficie se cubre parcialmente con exactamente la misma área: cuatro cuadrados grises que no se superponen. Esto quiere decir que el área que queda fuera de los triángulos es igual en ambos casos.
- Por lo tanto, el área que ocupan los cuadrados azul y rojo debe ser igual que el área que ocupa el cuadrado verde.
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Haz que las áreas de los dos casos sean exactamente iguales entre sí. El área azul es a 2 , el área roja b 2 y el área verde c 2 . Ahora debes sumar las áreas de los cuadrados rojo y azul para obtener el área del cuadrado verde. Por lo tanto, área azul + área roja = área verde: a 2 + b 2 = c 2 . [5] X Fuente de investigación
- Con esto queda demostrado el teorema de Pitágoras.
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Dibuja un trapezoide de base a+b y lados a y b . Haz un bosquejo de un trapezoide con las siguientes medidas: lado izquierdo con altura a , lado derecho con altura a y una base de longitud a+b . Ahora simplemente une la parte de arriba del lado derecho y del lado izquierdo para completar el trapezoide.
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Divide el trapezoide en tres triángulos rectángulos, dos de los cuales serán congruentes. Divide la base del triángulo en los lados a y b de modo que se formen dos triángulos rectángulos de longitud a y b , y uno de longitud c . El tercer triángulo tendrá dos lados de longitud c y una hipotenusa de longitud d . [6] X Fuente de investigación
- Los dos triángulos más pequeños son congruentes (idénticos).
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Calcula el área del trapezoide usando la fórmula del área. El área de un trapezoide es: A = ½(b 1 + b 2 )h , donde b 1 es uno de los lados rectos del trapezoide, b 2 es el otro lado recto del trapezoide y h es la altura del trapezoide. [7] X Fuente de investigación En este trapezoide, b 1 es a , b 2 es b y h es a+b .
- El área del trapezoide es A = ½(a +b)(a+b) .
- Expandiendo los binomios , obtendrás: A = ½(a 2 + 2ab + b 2 ) .
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Calcula el área total sumando las áreas de los tres triángulos. El área de uno de los triángulos rectángulos es A = ½bh , donde b es la base del triángulo y h su altura. Este trapezoide quedó dividido en tres triángulos diferentes, por lo tanto, debes sumar las áreas de todos ellos. En primer lugar, calcula el área de cada uno y después súmalas a todas.
- Debido a que dos de los triángulos son idénticos, simplemente puedes multiplicar el área del primer triángulo por dos: 2A 1 = 2(½bh) = 2(½ab) = ab .
- El área del tercer triángulo es A 2 = ½bh = ½c*c = ½c 2 .
- El área total del trapezoide es A 1 + A 2 = ab + ½c 2 .
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Iguala las fórmulas de las áreas entre sí. Como ambas fórmulas son iguales al área total del trapezoide, puedes simplemente igualarlas entre sí. Una vez que las iguales, puedes reducir la ecuación a la forma más simple. [8] X Fuente de investigación
- ½(a 2 + 2ab + b 2 ) = ab + ½c 2 .
- Multiplica ambos lados por 2 para deshacerte del ½: (a 2 + 2ab + b 2 ) = 2ab + c 2 .
- Resta 2ab en ambos lados: a 2 + b 2 = c 2 .
- Finalmente, obtendrás la demostración que estás buscando: a 2 + b 2 = c 2 .
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Referencias
- ↑ http://www.mathsisfun.com/pythagoras.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/geometry/pythagorean-theorem-proof.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/geometry/pythagorean-theorem-proof.html
- ↑ http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/emt668.student.folders/headangela/essay1/pythagorean.html
- ↑ http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/emt668.student.folders/headangela/essay1/pythagorean.html
- ↑ http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/emt668.student.folders/headangela/essay1/pythagorean.html
- ↑ http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_trapezoid.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html
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