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Aunque el símbolo de la raíz cuadrada, de apariencia compleja, pueda asustar a todo aquel que se enfrente a un problema matemático, en realidad las operaciones con raíces cuadradas no son tan difíciles de resolver como parecen a primera vista. Las operaciones sencillas con raíces cuadradas normalmente se pueden resolver con la misma facilidad que una multiplicación o una división sencilla. La mayoría de las operaciones complejas con raíces cuadradas, sin embargo, requieren algo más de esfuerzo, pero con el método adecuado, también se pueden resolver fácilmente. Empieza ya a practicar resolviendo operaciones con raíces cuadradas para adquirir esta nueva habilidad matemática "radical".
Pasos
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Eleva un número al cuadrado multiplicándolo por sí mismo. Para entender las raíces cuadradas, es mejor empezar con los cuadrados. Los cuadrados son muy sencillos. Para elevar un número al cuadrado solo tienes que multiplicarlo por sí mismo. Por ejemplo, 3 al cuadrado es lo mismo que 3 × 3 = 9, y 9 al cuadrado es lo mismo que 9 × 9 = 81. Los cuadrados se escriben marcando un pequeño "2" arriba y a la derecha del número elevado al cuadrado, como en estos ejemplos: 3 2 , 9 2 , 100 2 y así sucesivamente.
- Prueba a elevar al cuadrado unos cuantos números más por ti mismo para experimentar con este concepto. Recuerda que elevar un número al cuadrado consiste, simplemente, en multiplicarlo por sí mismo. Incluso puedes hacerlo con números negativos. Si lo haces, la respuesta será siempre positiva. Por ejemplo, -8 2 = -8 × -8 = 64 .
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Para resolver una raíz cuadrada, debes hallar el inverso del cuadrado. El símbolo de raíz cuadrada (&# 8730;, también llamado "radical") significa básicamente lo opuesto al símbolo 2 . Cuando veas un radical, debes preguntarte a ti mismo: "¿Qué número puedo multiplicar por sí mismo para obtener el número que hay dentro del radical?". Por ejemplo, si ves √(9), debes hallar aquel número que, elevado al cuadrado, sea igual a nueve. En este caso, la respuesta es tres , porque 3 2 = 9.
- Para ver otro ejemplo, hallemos la raíz cuadrada de 25 (√(25)). Esto quiere decir que debemos hallar aquel número que, elevado al cuadrado, sea igual a 25. Dado que 5 2 = 5 × 5 = 25, se puede decir que √(25) = 5 .
- También puedes pensar en este proceso como "deshacer" un cuadrado. Por ejemplo, si queremos calcular √(64), la raíz cuadrada de 64, empecemos pensando en 64 como 8 2 . Dado que el símbolo de raíz cuadrada, básicamente, anula el cuadrado, se puede decir que √(64) = √(8 2 ) = 8 .
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Conoce la diferencia entre los cuadrados perfectos e imperfectos. Hasta el momento, los resultados de las operaciones con raíces cuadradas que hemos visto han sido números redondos. Sin embargo, no siempre es así. De hecho, las operaciones con raíces cuadradas a veces pueden tener resultados muy largos y con decimales. Los números enteros (números que no son fracciones ni decimales) con raíces cuadradas, se llaman "cuadrados perfectos". Todos los ejemplos mostrados arriba (9, 25 y 64) son cuadrados perfectos porque cuando calculamos sus raíces cuadradas, obtenemos números enteros (3, 5 y 8).
- Por otra parte, los números cuyas raíces cuadradas no son números enteros son cuadrados imperfectos . Cuando calculas la raíz cuadrada de alguno de estos números, normalmente obtienes un decimal o una fracción. A veces, los decimales resultantes complican bastante la operación. Por ejemplo, √(13) = 3.605551275464...
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Memoriza los 10 o 12 primeros cuadrados imperfecto. Como, probablemente habrás visto, hallar la raíz cuadrada o los cuadrados perfectos puede ser bastante fácil. Dado que estas operaciones son tan sencillas, merece la pena dedicar algo de tiempo a memorizar las raíces cuadradas de los primeros diez o doce cuadrados perfectos. En el futuro, tendrás que utilizar estos números con bastante frecuencia, así que dedicar algo de tiempo a memorizarlos acabará ahorrándote trabajo y tiempo a la larga. Los doce primeros cuadrados perfectos son:
- 1 2 = 1 × 1 = 1
- 2 2 = 2 × 2 = 4
- 3 2 = 3 × 3 = 9
- 4 2 = 4 × 4 = 16
- 5 2 = 5 × 5 = 25
- 6 2 = 6 × 6 = 36
- 7 2 = 7 × 7 = 49
- 8 2 = 8 × 8 = 64
- 9 2 = 9 × 9 = 81
- 10 2 = 10 × 10 = 100
- 11 2 = 11 × 11 = 121
- 12 2 = 12 × 12 = 144
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Simplifica las raíces cuadradas despejando los cuadrados perfectos cuando sea posible. Calcular la raíz cuadrada de un cuadrado imperfecto, a veces puede ser algo difícil, especialmente si no utilizas la calculadora (en las siguientes secciones, encontrarás trucos para facilitar este proceso). Sin embargo, muchas veces es posible simplificar los números que hay dentro de una raíz cuadrada para poder trabajar mejor con ellos. Para hacerlo, solo tienes que descomponer el número que haya bajo el radical en factores, calcular la raíz cuadrada de todos los factores que sean cuadrados perfectos y escribir el resultado fuera del radical. Esto es más fácil de lo que parece. ¡Continúa leyendo para obtener más información! [1] X Fuente de investigación
- Supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada de 900. A primera vista, puede parecer muy difícil. Sin embargo, si descomponemos 900 en factores. Los factores son los números que se pueden multiplicar entre sí para obtener otro número. Por ejemplo, dado que puedes obtener 6 multiplicando 1 × 6 y 2 × 3, los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
- En lugar de trabajar con la cifra 900, lo cual sería bastante extraño y complicado, escribamos 900 como 9 × 100. Ahora, dado que el 9, que es un cuadrado perfecto, está separado del 100, podemos calcular su raíz cuadrada aparte. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). En otras palabras, √(900) = 3√(100) .
- Podemos simplificar aún más estos dos pasos dividiendo 100 entre los factores 25 y 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Por lo tanto, se puede decir que √(900) = 3(10) = 30 .
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Utiliza números imaginarios para calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Piensa: ¿qué número, multiplicado por sí mismo, es igual a -16? No es ni 4, ni -4, ya que al elevar cualquiera de estos números al cuadrado el resultado es positivo (16). De hecho, no hay forma de escribir la raíz cuadrada de -16 ni de ningún otro número negativo con números ordinarios. En estos casos, tenemos que utilizar números imaginarios (normalmente en forma de letras o símbolos) en lugar de la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo, se suele utilizar la variable "i" para representar la raíz cuadrada de -1. Por norma general, la raíz cuadrada de un número negativo siempre será o incluirá un número imaginario.
- Ten en cuenta que, aunque los números imaginarios no se pueden representar con cifras ordinarias, se pueden manejar como números ordinarios de muchas formas. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número negativo se puede elevar al cuadrado para obtener dicho número negativo, al igual que sucedería con cualquier otra raíz cuadrada: i 2 = -1 .
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Expresa la operación con raíces cuadradas en forma de división larga. Aunque este proceso puede requerir algo de tiempo, es posible resolver raíces cuadradas de cuadrados imperfectos y complejos sin usar la calculadora. Para hacerlo, utilizaremos un método de resolución (o "algoritmo) parecido, pero no exactamente igual, al que se usa para calcular una división larga básica. [2] X Fuente de investigación
- Empieza escribiendo el problema con raíces cuadradas en forma de división larga. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada de 6,45, que, evidentemente, no es un cuadrado perfecto. Primero, escribiremos un símbolo radical corriente (√) y anotaremos el número justo debajo. Después, trazaremos una línea sobre el número, de forma que quede encerrado en una pequeña "caja", como si fuera una división larga. Una vez hecho esto, tendremos un símbolo de raíz cuadrada ("√") con una larga cola y un 6,45 escrito justo debajo.
- Más adelante, tendremos que escribir números sobre la operación, así que asegúrate de dejar suficiente espacio.
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Agrupa los dígitos en pares. Para empezar a resolver la operación, agrupa los dígitos del número que hay bajo el signo radical en pares, empezando por la coma o el punto del decimal. Si quieres, puedes hacer pequeñas marcas (puntos, rayas, comas, etc.) entre cada par para separarlos bien.
- Siguiendo con el ejemplo, separaremos 6,45 en pares de la siguiente forma: 6-,45-00 . Ten en cuenta que aún debe quedar un dígito a la izquierda.
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Busca el número más elevado cuyo cuadrado sea inferior o igual al primer grupo. Empieza con el primer número o par de la izquierda. Elige el número más elevado cuyo cuadrado sea menor o igual a la cifra de este grupo. Por ejemplo, si el grupo fuese 37, tendrías que elegir el 6, ya que 6 2 = 36 < 37 pero 7 2 = 49 > 37. Escribe este número sobre el primer grupo. Este es el primer dígito de la respuesta.
- Continuando con nuestro ejemplo, el primer grupo de 6-,45-00 es 6. El número más elevado cuyo cuadrado es menor o igual a 6 es el 2 , ya que 2 2 = 4 (pero 3 al cuadrado es igual a 9). Escribe un "2" sobre el 6, bajo el radical.
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Multiplica por dos el número que acabas de escribir y después escríbelo debajo y réstalo. Multiplica el primer dígito del resultado (el número que acabas de hallar) por dos. Escríbelo bajo el primer grupo y réstaselo para hallar la diferencia. Escribe el siguiente par de números junto al resultado de la resta. Para terminar, escribe el último dígito del doble del primer dígito del resultado a la izquierda y deja un espacio a su derecha.
- Siguiendo con nuestro ejemplo, empezaremos calculando el doble de 2, el primer dígito del resultado. 2 × 2 = 4. A continuación, substraeremos 4 de 6 (el primer "grupo"), obteniendo 2 como resultado. Después, escribiremos los dígitos del siguiente grupo (45) a la derecha, obteniendo 245. Para terminar, escribiremos otro 4 a la izquierda, dejando un pequeño espacio a la derecha, de la siguiente forma: 4_.
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Rellena el espacio vacío. A continuación, deberás añadir un dígito a la derecha del número que has escrito a la izquierda. Elige el número más elevado que, multiplicado por la nueva cifra, sea menor o igual al número escrito a la derecha. Por ejemplo, si la cifra de la derecha fuese 1700 y el número a la izquierda fuese 40_, tendrías que rellenar el espacio en blanco con un "4", ya que 404 × 4 = 1616 < 1700, mientras que 405 × 5 = 2025. El número calculado en este paso es el segundo dígito del resultado, así que puedes colocarlo bajo el radical.
- Siguiendo con nuestro ejemplo, debemos hallar el número para rellenar los espacios en blanco que hay en 4_ × _ para obtener la cifra más elevada posible que sea menor o igual a 245. En este caso, el resultado es 5 . 45 × 5 = 225, mientras que 46 × 6 = 276.
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Continúa con el proceso, utilizando los números de los espacios en blanco para completar la respuesta. Sigue resolviendo la operación con el método modificado para calcular divisiones largas hasta que empieces a obtener ceros al restar el número de abajo o hasta que consigas hallar el resultado con la precisión que desees. Cuando hayas terminado, los números con los que hayas rellenado los espacios en blanco en cada paso (más el primero número utilizado) serán los dígitos del resultado final.
- Continuando con nuestro ejemplo, deberemos restar 225 de 245 para obtener 20. A continuación bajaremos el siguiente par de dígitos, 00, para obtener 2000. Al calcular el doble de los números que hay bajo el radical, obtendremos 25 × 2 = 50. Al calcular el número adecuado para rellenar el espacio en blanco en 50_ × _ =/< 2,000, obtendremos 3 . Llegado este punto, tendremos "253" sobre el radical. Al repetir el proceso, obtendremos un 9, que será el siguiente dígito.
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Desplaza la coma del decimal del "dividendo" original. Para completar la respuesta, debes colocar la coma del decimal en el lugar adecuado. Afortunadamente, este paso es muy fácil. Solo tienes que colocarla a la altura de la coma decimal del número original. Por ejemplo, si el número bajo el radical fuese 49,8, solo tendrías que colocar la coma entre los números que haya sobre el 9 y el 8.
- En nuestro ejemplo, el número bajo el radical es 6,45, por lo que solo tendremos que colocar la coma a la misma altura en los números del resultado final, entre el 2 y el 5, obteniendo 2,539 .
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Halla cuadrados imperfectos por aproximación. Una vez que hayas memorizado los cuadrados perfectos, hallar las raíces cuadradas de los cuadrados imperfectos te resultará mucho más fácil. Dado que ya conoces, aproximadamente, una docena de cuadrados perfectos, cualquier número que caiga entre dos de esos cuadrados perfectos se podrá calcular por estimación. Para empezar, halla los dos cuadrados perfectos entre los que se encuentre tu número. Después, determina cuál de esos dos números es más cercano al tuyo.
- Por ejemplo, supongamos que tenemos que hallar la raíz cuadrada de 40. Como ya hemos memorizado los cuadrados perfectos, sabemos que 40 se encuentra entre 6 2 y 7 2 , o entre 36 y 49. Como 40 es mayor que 6 2 , su raíz cuadrada será mayor que 6, y como es menor que 7 2 , su raíz cuadrada será menor que 7. 40 está algo más cerca de 36 que de 49, por lo que es probable que la respuesta esté algo más cerca de 6. En los siguientes pasos, nos aproximaremos a un resultado más preciso.
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Calcula la raíz cuadrada por tanteo con una precisión de una décima. Una vez que hayas averiguado los cuadrados perfectos entre los que se encuentra el número, solo tendrás que tantear cifras hasta que estés satisfecho con el valor obtenido. Cuanto más lejos vayas, más preciso será el resultado. Para empezar, elige una décima para colocar tras la coma. La cifra elegida no tiene por qué ser correcta, pero ahorrarás tiempo si utilizas el sentido común buscando una cifra que se aproxime al resultado.
- En nuestro ejemplo, una aproximación razonable para calcular la raíz cuadrada de 40 puede ser 6,4 , ya que, gracias a los pasos anteriores, sabemos que es probable que el resultado se encuentre más cerca de 6 que de 7.
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Multiplica el número aproximado por sí mismo. A continuación, calcula el cuadrado del número elegido. A no ser que tengas mucha suerte, es probable que no obtengas el número original a la primera, sino un resultado algo más alto o más bajo. Si el resultado es una cifra demasiado alta, prueba otra vez con un número ligeramente menor (y viceversa si es una cifra demasiado baja).
- Multiplica 6,4 por sí mismo, obteniendo 6,4 × 6,4 = 40,96 , un resultado ligeramente más alto que el valor original.
- A continuación, dado que el resultado es mayor que el número original, probaremos a calcular el cuadrado de un número una décima más bajo que el anteriormente utilizado, obteniendo 6,3 × 6,3 = 39,69 . Esta cifra es ligeramente más baja que la original, lo cual quiere decir que la raíz cuadrada de 40 se encuentra en algún punto entre 6,3 y 6,4 . Además, dado que 39,69 se encuentra más cerca de 40 que 40,96, sabemos que la raíz cuadrada de 40 estará más cerca de 6,3 que de 6,4.
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Continúa probando todas las aproximaciones necesarias. Llegado este punto, si estás satisfecho con el resultado, puedes utilizar alguna de las primeras cifras que hayas tanteado como valor aproximado. Sin embargo, si quieres conseguir un resultado más preciso, solo tienes que tantear cifras para el lugar de las centésimas, obteniendo un valor situado entre las dos primeras aproximaciones. Si sigues con este proceso, puedes hallar un resultado con tres, cuatro o tantos decimales como quieras, dependiendo de la precisión que quieras alcanzar.
- Siguiendo con nuestro ejemplo, elegiremos 6,33 como valor aproximado de dos decimales. Multiplica 6,33 por sí mismo, obteniendo 6,33 × 6,33 = 40,0689. Dado que este valor es ligeramente mayor que el número original, probaremos con una cifra un poco menor, como 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Esta cifra se encuentra ligeramente por debajo del número original, por lo que sabemos que la raíz cuadrada exacta está entre 6,33 y 6,32 . Si quisiéramos, podríamos continuar con el mismo proceso para obtener un resultado cada vez más preciso.
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Consejos
- Para obtener el resultado rápidamente, utiliza la calculadora. La mayoría de las calculadoras modernas pueden calcular rápidamente raíces cuadradas. Normalmente, solo tienes que introducir el número y presionar el botón con el símbolo de raíz cuadrada. Para hallar la raíz cuadrada de 841, por ejemplo, puedes presionar las teclas: 8, 4, 1, (√), obteniendo como respuesta 39 .
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Referencias
Acerca de este wikiHow
Resumen del artículo
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Para resolver un problema con una raíz cuadrada debes tener en cuenta que el objetivo es encontrar un número tal que, al multiplicarlo por sí mismo, dé como resultado el número que está bajo la raíz cuadrada. Para recordar rápidamente las raíces más sencillas, aprende de memoria los primeros 10 o 12 cuadrados perfectos. Así podrás reconocer la raíz cuadrada de números como 9, 25, 49 o 121. De ser posible, desglosa el número que está bajo la raíz en cuadrados perfectos individuales. Por ejemplo, √(900) se puede desglosar en √(9) × √(100) y √(100) se puede desglosar en √(25) × √(4), reduciendo el problema a √(9) × √(25) × √(4), o 3 x 5 x 2, que da como resultado 30.
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