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La variable centrée réduite ou z-score vous permet de dire à combien d'écarts-types, en dessus ou en dessous de la moyenne, se situe un échantillon d'une série de données [1] X Source de recherche . Pour trouver la variable centrée réduite d'un élément de l'échantillon, vous aurez besoin de trouver la moyenne, la variance et l'écart-type de votre échantillon. Ensuite, vous devrez faire la différence entre la valeur de cet élément et la moyenne de l'échantillon, puis diviser ce résultat par l'écart-type du même échantillon. Si vous suivez les étapes suivantes, vous verrez que calculer la variable centrée réduite n'est pas si difficile qu'il y paraît. Certes, cela fait beaucoup de calculs, mais ils sont simples.
Étapes
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Observez de près votre échantillon. Pour calculer une moyenne arithmétique concernant un échantillon, il faut connaître un certain nombre d'informations sur les éléments le composant [2] X Source de recherche .
- Sachez combien votre échantillon contient d'éléments. Admettons que nous ayons à étudier un échantillon de 5 palmiers.
- Sachez ce que représentent les nombres de la série. On dira ici qu'il s'agit de la hauteur des palmiers.
- Repérez rapidement l'amplitude de ces valeurs. Sont-elles concentrées entre deux valeurs extrêmes rapprochées ou, au contraire, étalées entre deux valeurs extrêmes éloignées ?
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Groupez les valeurs que vous voulez étudier. Pour pouvoir vous lancer dans les calculs, il faut en premier lieu connaître toutes les valeurs des éléments de votre échantillon [3] X Source de recherche .
- La moyenne exprime la grandeur qu'aurait chacun des éléments de votre échantillon s'ils étaient tous identiques.
- Pour le calcul de la moyenne, rien de plus simple : vous additionnez toutes les valeurs de votre échantillon, somme que vous divisez ensuite par la taille de l'échantillon.
- En mathématiques, on a coutume d'appeler n la taille de l'échantillon. Dans le cas choisi, on a 5 palmiers donc n = 5.
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Additionnez toutes les hauteurs des palmiers de l'échantillon. C'est la première étape avant le calcul de la moyenne arithmétique [4] X Source de recherche .
- Prenons un échantillon de 5 palmiers, dont les hauteurs sont : 7 m, 8 m, 8 m, 7,5 m et 9 m.
- 7 + 8 + 8 + 7,5 + 9 = 39,5 : telle est la somme de toutes les hauteurs de l'échantillon.
- Vérifiez que vous avez les bons nombres et fait les bons calculs.
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Divisez cette somme par la taille de l'échantillon (n). Vous obtiendrez ainsi la taille moyenne d'un palmier [5] X Source de recherche .
- Dans notre échantillon, on a les hauteurs suivantes : 7, 8, 8, 7,5 et 9 m, soit 5 palmiers. Ainsi, n = 5.
- La somme des hauteurs est de 39,5 m. Vous devez diviser cette somme par 5 pour avoir la taille moyenne d'un palmier.
- 39,5/5 = 7,9.
- La taille moyenne d'un palmier est de 7,9 m. En mathématiques, le plus souvent, la moyenne est symbolisée par x̄. Ici, x̄ = 7,9.
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Trouvez la variance. La variance est une mesure qui indique de quelle manière la série statistique se disperse autour de sa moyenne [6] X Source de recherche .
- Cette mesure permet de savoir si vos données sont proches ou non, les unes des autres (dispersion).
- Un échantillon avec une petite variance contient des données très proches de la moyenne dudit échantillon.
- Un échantillon avec une grande variance contient des données assez éloignées de la moyenne dudit échantillon.
- Cette variance est souvent utilisée pour comparer entre elles deux séries de données ou deux échantillons.
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Soustrayez de chaque donnée étudiée la moyenne. Vous aurez ainsi une idée de la dispersion de vos données par rapport à la moyenne [7] X Source de recherche .
- Si on reprend notre échantillon de palmiers (7, 8, 8, 7,5 et 9 mètres), on a calculé que la moyenne était de 7,9 m.
- 7 - 7,9 = - 0,9, 8 - 7,9 = 0,1, 8 - 7,9 = 0,1, 7,5 - 7,9 = - 0,4 et 9 - 7,9 = 1,1,
- Vérifiez ces calculs pour voir s'il n'y a pas d'erreurs. En effet, de ces résultats, vont dépendre les calculs suivants.
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Élevez au carré tous ces résultats. Vous aurez besoin de chacune de ces valeurs pour calculer la variance de votre échantillon [8] X Source de recherche .
- Précédemment, nous avions soustrait de chaque donnée de l'échantillon (7, 8, 8, 7,5 et 9) la moyenne (7,9), ce qui nous avait donné : - 0,9, 0,1, 0,1, - 0,4 et 1,1.
- (-0,9) 2 = 0,81 (0,1) 2 = 0,01 (0,1) 2 = 0,01 (-0,4) 2 = 0,16 et (1,1) 2 = 1,21
- À ce stade, on a les valeurs suivantes : 0,81 0,01 0,01 0,16 et 1,21
- Vérifiez ces calculs avant d'aller plus loin
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Faites-en la somme. C'est ce qu'on appelle « la somme des carrés » [9] X Source de recherche .
- Pour notre exemple, on a : 0,81 0,01 0,01 0,16 et 1,21.
- 0,81 + 0,01 + 0,01 + 0,16 + 1,21 = 2,2
- La somme des carrés est donc de 2,2
- Vérifiez ce calcul avant d'aller plus loin.
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Divisez la somme des carrés par (n-1). Souvenez-vous : n est la taille de l'échantillon (nombre d'éléments qui le composent). En faisant ce calcul, vous obtenez la variance [10] X Source de recherche .
- Pour notre échantillon (7, 8, 8, 7,5 et 9 m), la somme des carrés était de 2,2
- Il y a 5 éléments dans l'échantillon, ce qui fait que n = 5.
- n - 1 = 4
- La somme des carrés étant de 2,2, on a une variance de : 2,2 / 4.
- 2,2 / 4 = 0,55
- La variance de notre échantillon est de 0,55.
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Vous devez avoir la valeur de la variance. Elle est nécessaire au calcul de l'écart-type de l'échantillon que vous étudiez [11] X Source de recherche .
- La variance est une mesure qui indique la dispersion des données d'une série statistique autour de la moyenne de la série.
- L'écart-type mesure la dispersion des données de votre échantillon autour de la moyenne.
- Pour notre échantillon, la variance était de 0,55.
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Prenez la racine carrée de la variance. Ce calcul vous donne l'écart-type [12] X Source de recherche .
- Pour notre échantillon, la variance était de 0,55.
- √0,55 = 0,741619848709566. Il est très fréquent d'obtenir des valeurs avec beaucoup de décimales. Généralement, on arrondit au centième ou au millième pour l'écart-type. Ici, on arrondira à 0,74.
- En arrondissant, l'écart-type de notre échantillon est de 0,74
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Refaites vos calculs de la moyenne, de la variance, puis de l'écart-type (qui dépend des deux premiers). Ainsi, vous serez sûr d'avoir le bon écart-type.
- Inscrivez noir sur blanc tous les calculs.
- Ainsi, s'il y en a, vous pourrez voir où il y a eu erreur(s).
- Si, lors de vos vérifications de la moyenne, de la variance et de l'écart-type, vous trouvez des valeurs différentes, reprenez tous vos calculs depuis le début.
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Servez-vous de la formule suivante pour calculer la variable centrée réduite : z = X - μ / σ. Elle permet de calculer, pour chaque élément d'un échantillon, son variable centrée réduite [13] X Source de recherche .
- Le variable centrée réduite est une mesure qui permet de savoir l'écart à la moyenne d'une donnée d'un échantillon en matière d'écarts-types.
- Dans la formule, X représente la valeur que vous voulez tester. Ainsi, si vous voulez tester la dispersion de la valeur 7,5 (de notre échantillon) par rapport à la moyenne, vous devez, dans la formule, remplacer X par 7,5.
- Dans la formule, μ représente la moyenne. La moyenne de la hauteur des palmiers de notre échantillon est de 7,9
- Dans la formule, σ représente l'écart-type. L'écart-type du même échantillon est de 0,74.
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Dans la formule, on commence par faire la soustraction de la valeur de la donnée étudiée à la moyenne. C'est la première étape du calcul du variable centrée réduite [14] X Source de recherche .
- Pour notre échantillon, nous allons calculer la variable centrée réduite du palmier de 7,5 m de haut. On commence par calculer sa distance par rapport à la moyenne de 7,9.
- Vous devez faire : 7,5 - 7,9,
- 7,5 - 7,9 = - 0,4.
- Vérifiez que vous avez la bonne moyenne et que la soustraction est correcte avant d'aller plus loin.
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Divisez ensuite ce résultat (X - μ) par l'écart-type (σ). Vous aurez ainsi la variable centrée réduite du palmier de 7,5 m de haut [15] X Source de recherche .
- Parmi tous les palmiers de notre échantillon, nous cherchons la variable centrée réduite de celui de 7,5 m.
- On a déjà calculé la différence X - μ et on a trouvé - 0,4.
- Nous vous rappelons que l'écart-type de notre échantillon de palmiers est de 0,74.
- - 0,4 / 0,74 = - 0,54
- Pour ce palmier, la variable centrée réduite est de - 0,54.
- Ce variable centrée réduite de - 0,54 indique que la hauteur du palmier de 7,5 m est inférieure de 0,54 fois l'écart-type par rapport à la moyenne des hauteurs des palmiers de l'échantillon.
- Les variable centrée réduites sont aussi bien positifs que négatifs.
- Un variable centrée réduite négatif indique la valeur de votre élément est inférieure à la moyenne, tandis qu'un variable centrée réduite positif indique une valeur supérieure à la moyenne.
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Références
- ↑ http://www.statisticshowto.com/how-to-calculate-a-variable centrée réduite/
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
- ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
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- ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/Teaching/MATH1101/Descriptives/variability.html
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- ↑ https://statistics.laerd.com/statistical-guides/standard-score-2.php
- ↑ https://statistics.laerd.com/statistical-guides/standard-score-2.php
- ↑ https://statistics.laerd.com/statistical-guides/standard-score-2.php
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