Unduh PDF
Unduh PDF
Bentuk akar adalah sebuah pernyataan aljabar yang memiliki tanda akar kuadrat (atau akar pangkat tiga atau yang lebih tinggi). Bentuk ini sering kali dapat menggambarkan dua angka yang bernilai sama walaupun sekilas tampak berbeda (contohnya, 1/(akar(2) - 1) = akar(2)+1). Oleh karena itu, dibutuhkan sebuah "rumusan standar" untuk bentuk macam ini. Jika ada dua pernyataan, keduanya dalam rumusan standar, yang tampak berbeda, keduanya tidak sama. Para ahli matematika sepakat bahwa rumusan standar bentuk kuadrat memenuhi syarat sebagai berikut:
- Menghindari penggunaan pecahan
- Tidak menggunakan pangkat pecahan
- Menghindari penggunaan bentuk akar pada penyebut
- Tidak mengandung perkalian dua bentuk akar
- Angka di bawah akar tidak bisa diakarkan lagi
Salah satu penggunaan praktis dari hal ini adalah dalam ujian pilihan berganda. Ketika Anda menemukan jawaban, tetapi jawaban Anda tidak sama dengan pilihan yang ada, cobalah untuk menyederhanakannya menjadi rumusan standar. Karena para pembuat soal biasanya menuliskan jawaban dalam rumusan standar, lakukan hal yang sama pada jawaban Anda untuk menyamakan dengan jawaban mereka. Di dalam soal esai, perintah seperti "sederhanakan jawaban Anda" atau "sederhanakan semua bentuk akar" berarti siswa harus menjalankan langkah-langkah berikut sampai memenuhi rumusan standar seperti di atas. Langkah ini juga bisa dipakai dalam menyelesaikan persamaan meskipun beberapa jenis persamaan lebih mudah diselesaikan dalam rumusan tidak standar.
-
Sederhanakan semua akar yang mengandung bilangan kuadrat sempurna. Bilangan kuadrat sempurna adalah hasil perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri, contohnya 81, yang merupakan hasil perkalian 9 x 9. Untuk menyederhanakan bilangan kuadrat sempurna, hilangkan saja tanda akar dan tuliskan nilai akar kuadrat dari bilangan tersebut.
- Sebagai contoh, 121 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 11 x 11 sama dengan 121. Jadi, Anda bisa menyederhanakan akar(121) menjadi 11, dengan menghilangkan tanda akar.
- Untuk mempermudah langkah ini, Anda harus mengingat dua belas bilangan kuadrat sempurna pertama: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
-
Sederhanakan semua akar yang mengandung bilangan pangkat tiga sempurna. Bilangan pangkat tiga sempurna adalah hasil perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri dua kali, misalnya 27, yang merupakan hasil perkalian 3 x 3 x 3. Untuk menyederhanakan bentuk akar bilangan pangkat tiga sempurna, hilangkan saja tanda akar dan tuliskan nilai akar pangkat tiga dari bilangan tersebut.
- Sebagai contoh, 343 adalah bilangan pangkat tiga sempurna karena merupakan hasil perkalian 7 x 7 x 7. Jadi, akar pangkat tiga dari 343 adalah 7.
Iklan
Atau mengubah sebaliknya (kadang-kadang bisa membantu), tetapi jangan mencampurkannya dalam pernyataan yang sama seperti akar(5) + 5^(3/2). Kita akan mengasumsikan bahwa Anda ingin menggunakan bentuk akar dan kita akan menggunakan simbol akar(n) untuk akar kuadrat dan akar^3(n) untuk akar pangkat tiga.
-
Ambil satu pangkat pecahan dan ubah menjadi bentuk akar, misalnya x^(a/b) = akar pangkat b dari x^a .
- Jika pangkat akar ada dalam bentuk pecahan, ubah menjadi bentuk biasa. Misalnya akar pangkat (2/3) dari 4 = akar(4)^3 = 2^3 = 8.
-
Ubah pangkat negatif menjadi bentuk pecahan, misalnya x^-y = 1/x^y
- Rumus ini hanya berlaku untuk pangkat konstan dan rasional. Jika Anda berhadapan dengan bentuk seperti 2^x, jangan diubah, bahkan jika soal mengindikasikan bahwa x bisa bilangan pecahan atau negatif.
-
Gabungkan suku yang sama dan sederhanakan bentuk rasional yang dihasilkan.Iklan
Rumusan standar mengharuskan bentuk akar dalam bilangan bulat.
-
Perhatikan bilangan di bawah tanda akar apakah masih mengandung pecahan. Jika masih, ...
-
Ganti menjadi pecahan yang terdiri dari dua akar dengan menggunakan identitas akar(a/b) = akar(a)/akar(b).
- Jangan menggunakan identitas ini jika penyebutnya negatif, atau jika dalam bentuk variabel yang mungkin bernilai negatif. Dalam kasus ini, sederhanakan pecahan terlebih dahulu.
-
Sederhanakan tiap bilangan kuadrat sempurna dari hasil. Artinya, ubah akar(5/4) menjadi akar(5)/akar(4), lalu sederhanakan menjadi akar(5)/2.
-
Gunakan cara penyederhanaan lain seperti menyederhanakan pecahan yang rumit , menggabungkan suku yang sama, dll.Iklan
-
Memfaktorkan bentuk akar tidak sempurna menjadi faktor-faktor prima. Faktor adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan lain membentuk sebuah angka -- misalnya, 5 dan 4 adalah dua faktor dari 20. Untuk memecah bentuk akar tidak sempurna, tuliskan semua faktor dari bilangan tersebut (atau sebanyak mungkin, jika bilangannya terlalu besar) sampai Anda menemukan sebuah kuadrat sempurna.
- Misalnya, cobalah cari semua faktor dari 45: 1, 3, 5, 9, 15, dan 45. 9 adalah faktor dari 45 dan juga sebuah kuadrat sempurna (9=3^2). 9 x 5 = 45.
-
Hilangkan semua pengali yang merupakan kuadrat sempurna dari dalam tanda akar. 9 adalah kuadrat sempurna karena merupakan hasil perkalian 3 x 3. Keluarkan 9 dari tanda akar dan ganti dengan 3 di depan tanda akar, menyisakan 5 di dalam tanda akar. Jika Anda "memasukkan" 3 kembali ke dalam tanda akar, kalikan dengan dirinya sendiri sehingga menjadi 9, dan jika dikalikan dengan 5 menjadi 45 kembali. 3 akar 5 adalah cara sederhana untuk menyatakan akar 45.
- Artinya, akar(45) = akar(9*5) = akar(9)*akar(5) = 3*akar(5).
-
Mencari kuadrat sempurna dalam variabel. Akar kuadrat dari a kuadrat adalah |a| . Anda bisa menyederhanakan ini menjadi hanya "a" jika variabel yang diketahui bernilai positif. Akar kuadrat dari a pangkat 3 jika dipecah menjadi akar kuadrat dari a kuadrat dikali a -- ingat bahwa angka pangkat dijumlahkan jika kita mengalikan dua bilangan pangkat, jadi a kuadrat dikali a sama dengan a pangkat tiga.
- Oleh karena itu, kuadrat sempurna di dalam bentuk a pangkat tiga adalah a kuadrat.
-
Keluarkan variabel yang mengandung kuadrat sempurna dari dalam tanda akar. Sekarang, keluarkan a kuadrat dari tanda akar dan ganti menjadi |a| . Bentuk sederhana dari akar a pangkat 3 adalah |a| akar a.
-
Gabungkan suku yang sama dan sederhanakan semua bentuk akar dari hasil perhitungan.Iklan
-
Rumusan standar mengharuskan penyebut dalam bilangan bulat (atau polinomial jika mengandung variabel) sebisa mungkin.
- Jika penyebut terdiri dari satu suku di bawah tanda akar, seperti [...]/akar(5), maka kalikan pembilang dan penyebut dengan akar tersebut untuk mendapatkan [...]*akar(5)/akar(5)*akar(5) = [...]*akar(5)/5.
- Untuk akar pangkat tiga atau yang lebih tinggi, kalikan dengan akar pangkat yang sesuai sehingga penyebut menjadi rasional. Jika penyebutnya adalah akar^3(5), kalikan pembilang dan penyebut dengan akar^3(5)^2.
- Jika penyebut terdiri dari penjumlahan atau pengurangan dua akar kuadrat seperti akar(2) + akar(6), kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya, yaitu bentuk yang sama tetapi dengan tanda lawannya. Maka [...]/(akar(2) + akar(6)) = [...](akar(2)-akar(6))/(akar(2) + akar(6))(akar(2)-akar(6)). Kemudian gunakan rumus identitas selisih dua kuadrat [(a+b)(a-b) = a^2-b^2] untuk merasionalkan penyebut, untuk menyederhanakan (akar(2) + akar(6))(akar(2)-akar(6)) = akar(2)^2 - akar(6)^2 = 2-6 = -4.
- Cara ini juga berlaku juga untuk penyebut seperti 5 + akar(3) karena semua bilangan bulat adalah akar dari bilangan bulat lain. [1/(5 + akar(3)) = (5-akar(3))/(5 + akar(3))(5-akar(3)) = (5-akar(3))/(5^2-akar(3)^2) = (5-akar(3))/(25-3) = (5-akar(3))/22]
- Cara ini juga berlaku untuk penjumlahan akar seperti akar(5)-akar(6)+akar(7). Jika Anda mengelompokkannya menjadi (akar(5)-akar(6))+akar(7) dan mengalikannya dengan (akar(5)-akar(6))-akar(7), jawabannya belum dalam bentuk rasional, tetapi masih dalam bentuk a+b*akar(30) di mana a dan b sudah dalam bilangan rasional. Kemudian ulangi proses tadi dengan konjugat a+b*akar(30) dan (a+b*akar(30))(a-b*akar(30)) akan menjadi rasional. Pada intinya, jika Anda bisa menggunakan trik ini untuk menghilangkan satu tanda akar pada penyebut, Anda bisa mengulanginya berkali-kali untuk menghilangkan semua tanda akar.
- Cara ini juga bisa dipakai pada penyebut yang mengandung akar pangkat yang lebih tinggi seperti akar pangkat empat dari 3 atau akar pangkat tujuh dari 9. Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut. Sayangnya, kita tidak bisa langsung mendapatkan konjugat dari penyebut tersebut dan caranya pun sulit. Kita bisa menemukan jawabannya pada buku aljabar mengenai teori bilangan, tetapi saya tidak akan masuk ke situ.
- Jika penyebut terdiri dari satu suku di bawah tanda akar, seperti [...]/akar(5), maka kalikan pembilang dan penyebut dengan akar tersebut untuk mendapatkan [...]*akar(5)/akar(5)*akar(5) = [...]*akar(5)/5.
-
Saat ini penyebutnya sudah dalam bentuk rasional, tetapi pembilangnya terlihat kacau balau. Sekarang yang harus Anda lakukan adalah mengalikannya dengan konjugat dari penyebut. Lanjutkan dan kalikan seperti kita biasa mengalikan polinomial. Periksalah apakah ada suku yang bisa dihilangkan, disederhanakan, atau digabungkan, jika mungkin.
-
Jika penyebutnya adalah sebuah bilangan bulat negatif, kalikan pembilang dan penyebut dengan -1 untuk menjadikannya positif.Iklan
Tips
- Anda bisa mencari secara daring situs-situs yang bisa membantu menyederhanakan bentuk akar. Langsung ketik persamaan dengan tanda akar, dan setelah menekan Enter , jawabannya akan muncul.
- Untuk soal yang lebih sederhana, mungkin Anda tidak akan memakai semua langkah di dalam artikel ini. Untuk soal yang lebih rumit, Anda mungkin perlu memakai beberapa langkah lebih dari sekali. Gunakan langkah yang "sederhana" beberapa kali, dan periksalah apakah jawaban Anda sudah sesuai dengan kriteria rumusan standar yang kita bahas di awal. Jika jawaban Anda sudah dalam rumusan standar, berarti Anda sudah selesai; tetapi bila belum, Anda bisa mengecek salah satu dari langkah di atas untuk membantu Anda menyelesaikannya.
- Sebagian besar acuan tentang "rumusan standar yang dianjurkan" untuk bentuk akar juga berlaku pada bilangan kompleks (i = akar(-1)). Meskipun pernyataan mengandung "i" ketimbang bentuk akar, sebisa mungkin hindari penyebut yang masih mengandung i.
- Beberapa petunjuk pada artikel ini mengasumsikan semua bentuk akar dalam bentuk kuadrat. Prinsip-prinsip umum yang sama berlaku pada akar pangkat yang lebih tinggi, meskipun beberapa bagian (terutama merasionalkan penyebut) bisa jadi cukup sulit dikerjakan. Putuskan sendiri bentuk apa yang Anda inginkan, seperti akar^3(4) atau akar^3(2)^2. (Saya sendiri tidak ingat bentuk seperti apa yang biasanya disarankan dalam buku pelajaran).
- Beberapa petunjuk dalam artikel ini menggunakan kata "rumusan standar" untuk menggambarkan "bentuk biasa". Perbedaan adalah rumusan standar hanya menerima bentuk 1+sqrt(2) or sqrt(2)+1 dan menganggap bentuk lain sebagai tidak standar; bentuk biasa mengasumsikan bahwa Anda, selaku pembaca, cukup pintar untuk bisa melihat "kesamaan" dari dua bilangan ini meskipun keduanya tidak identik dalam penulisan ('sama' maksudnya dalam sifat aritmetikanya (komutatif penjumlahan), bukan sifat aljabarnya (akar(2) adalah akar non-negatif dari x^2-2)). Kami berharap para pembaca bisa memaklumi kecerobohan kecil dalam pemakaian terminologi ini.
- Jika ada petunjuk yang terlihat ambigu atau bertentangan, lakukan semua langkah yang tidak ambigu dan konsisten, lalu pilih bentuk mana yang lebih seperti yang Anda inginkan.
Iklan
Referensi
Tentang wikiHow ini
Halaman ini telah diakses sebanyak 411.682 kali.
Iklan
