Загрузить PDF
Загрузить PDF
Подкоренное выражение – это алгебраическое выражение, которое находится под знаком корня (квадратного, кубического или более высокого порядка). Иногда значения разных выражений могут быть одинаковыми, например, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Упрощение подкоренного выражения призвано привести его к некоторой канонической форме записи. Если два выражения, которые записаны в канонической форме, по-прежнему различны, их значения не равны. В математике считается, что каноническая форма записи подкоренных выражений (а также выражений с корнями) соответствует следующим правилам:
- Если можно, избавьтесь от дроби под знаком корня
- Избавьтесь от выражения с дробным показателем
- Если можно, избавьтесь от корней в знаменателе
- Избавьтесь от операции умножения корня на корень
- Под знаком корня нужно оставить только те члены, из которых нельзя извлечь целочисленный корень
Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.
-
Упростите подкоренное выражение, которое является полным квадратом. Полный квадрат представляет собой число, которое является квадратом некоторого целого числа, например, 81 – это полный квадрат, потому что 9^2 = 9 х 9 = 81. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным квадратом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в квадрат получится подкоренное выражение).
- Например, 121 – это полный квадрат, потому что 11 х 11 = 121. Таким образом, √121 = 11 (то есть избавляемся от знака корня и записываем целое число).
- Чтобы облегчить вычисления, запомните следующие полные квадраты: 1 х 1 = 1, 2 х 2 = 4, 3 х 3 = 9, 4 х 4 = 16, 5 х 5 = 25, 6 х 6 = 36, 7 х 7 = 49, 8 х 8 = 64, 9 х 9 = 81, 10 х 10 = 100, 11 х 11 = 121, 12 х 12 = 144.
-
Упростите подкоренное выражение, которое является полным кубом. Полный куб представляет собой число, которое является кубом некоторого целого числа, например, 27 – это полный куб, потому что 3^3 = 3 х 3 X 3 = 27. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным кубом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в куб получится подкоренное выражение).
- Например, 343 – это полный куб, потому что 7 х 7 х 7 = 343. Таким образом, кубический корень из 343 равен 7.
Реклама
Преобразуйте выражение с дробным показателем в подкоренное выражение. Или, если нужно, преобразуйте подкоренное выражение в выражение с дробным показателем, но никогда не смешивайте такие выражения в одном уравнении, например, так: √5 + 5^(3/2). Допустим, вы решили работать с корнями; квадратный корень из n будем обозначать как √n, а кубический корень из n как куб√n.
-
Найдите выражение с дробным показателем и преобразуйте его в подкоренное выражение: х^(a/b) = корень b-й степени из x^a.
- Если степень корня представляет собой дробь, также избавьтесь от нее. Например, корень 2/3-й степени из 4 = (√4)^3 = 2^3 = 8.
-
Преобразуйте выражение с отрицательным показателем в соответствующее дробное выражение: х^(-y) = 1/х^у.
- Это относится только к постоянным, рациональным показателям. Когда член содержит переменную, например, 2^х, не трогайте его, даже если переменная «х» является дробной или отрицательной.
-
Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.Реклама
Согласно канонической форме записи корень из дроби нужно представить в виде деления корней из целых чисел.
-
Посмотрите на подкоренное выражение. Если оно представляет собой дробь, перейдите к следующему шагу.
-
Замените корень из дроби отношением двух корней согласно следующему тождеству: √(a/b) = √a/√b.
- Не пользуйтесь этим тождеством, если знаменатель отрицательный или включает переменную, которая может быть отрицательной. В этом случае сначала упростите дробь.
-
Упростите полные квадраты (если они есть). Например, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.
-
Выполните другие упрощения, например, упростите составные дроби , приведите подобные члены и так далее.Реклама
-
Разложите подкоренное число на множители. Множители – это некоторые числа, при перемножении которых получается исходное число. Например, 5 и 4 являются двумя множителями числа 20. Если из подкоренного числа нельзя извлечь целочисленный корень, разложите такое число на возможные множители и найдите среди них полный квадрат.
- Например, запишите все множители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 является множителем 45 (9 х 5 = 45) и полным квадратом (9 = 3^2).
-
Вынесите за знак корня множитель, который является полным квадратом. 9 представляет собой полный квадрат, потому что 3 х 3 = 9. Избавьтесь от 9 под знаком корня и запишите 3 перед знаком корня; под знаком корня останется 5. Если вы внесете число 3 под знак корня, оно будет умножено на себя и на число 5, то есть 3 х 3 х 5 = 9 х 5 = 45. Таким образом, 3√ 5 – это упрощенная форма записи √45.
- √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.
-
Найдите полный квадрат в подкоренном выражении с переменной. Запомните: √(a^2) = |а|. Такое выражение можно упростить до «а», но только если переменная принимает положительные значения. √(a^3) можно разложить на √а * √(а^2), потому что при перемножении одинаковых переменных их показатели складываются (а * а^2 = а^3).
- Таким образом, в выражении а^3 полным квадратом является а^2.
-
Вынесите за знак корня переменную, которая является полным квадратом. Избавьтесь от a^2 под знаком корня и запишите «а» перед знаком корня. Таким образом, √(а^3) = а√а.
-
Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.Реклама
-
Согласно канонической форме знаменатель , если возможно, должен включать только целые числа (или многочлен в случае присутствия переменной).
- Если знаменатель представляет собой одночлен под знаком корня, например, [числитель]/√5, умножьте числитель и знаменатель на этот корень: ([числитель] * √5)/(√5 * √5) = ([числитель] * √5)/5.
- В случае кубического корня или корня большей степени умножьте числитель и знаменатель на корень с подкоренным выражением в соответствующей степени, чтобы рационализировать знаменатель. Если, например, в знаменателе находится куб√5, умножьте числитель и знаменатель на куб√(5^2).
- Если знаменатель является выражением в виде суммы или разности квадратных корней, таких как √2 + √6, умножьте числитель и знаменатель на сопряженное выражение, то есть выражение с обратным знаком между его членами. Например: [числитель]/(√2 + √6) = ([числитель] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Затем с помощью формулы разности квадратов ((а + b)(а - b) = а^2 - b^2) рационализируйте знаменатель: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2)^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
- Формулу разности квадратов можно также применять к выражению вида 5 + √3, потому что любое целое число является квадратным корнем из другого целого числа. Например: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3)^2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
- Этот метод можно применять к сумме квадратных корней, таких как √5 - √6 + √7. Если сгруппировать это выражение в виде (√5 - √6) + √7 и умножить его на (√5 - √6) - √7, вы не избавитесь от корней, а получите выражение вида а + b * √30, где «а» и «b» – одночлены без корня. Затем полученное выражение можно умножить на сопряженное: (а + b * √30)(а - b * √30), чтобы избавиться от корней. То есть если сопряженным выражением можно воспользоваться один раз, чтобы избавиться от некоторого количества корней, то им можно пользоваться сколько угодно раз, чтобы избавиться от всех корней.
- Этот метод также применим к корням более высоких степеней, например, к выражению «корень 4-й степени из 3 плюс корень 7-й степени из 9». В этом случае умножьте числитель и знаменатель на выражение, сопряженное выражению в знаменателе. Но здесь сопряженное выражение будет немного другим по сравнению с теми, которые описаны выше. Про этот случай можно почитать в учебниках по алгебре.
- Если знаменатель представляет собой одночлен под знаком корня, например, [числитель]/√5, умножьте числитель и знаменатель на этот корень: ([числитель] * √5)/(√5 * √5) = ([числитель] * √5)/5.
-
Упростите числитель после того, как вы избавились от корней в знаменателе. В числителе находится произведение исходного выражения и сопряженного выражения. Раскройте скобки , перемножив соответствующие члены. Приведите подобные члены и, если можно, упростите полученное выражение.
-
Если в знаменателе находится отрицательное целое число, умножьте числитель и знаменатель на -1, чтобы преобразовать это число в положительное.Реклама
Советы
- В интернете есть ресурсы, которые автоматически упрощают подкоренные выражения. Нужно просто ввести подкоренное выражение и нажать Enter, чтобы отобразить упрощенное выражение.
- К некоторым простым задачам описанные методы применить нельзя. В случае некоторых сложных задач эти методы нужно применить более одного раза. Шаг за шагом упрощайте полученные выражения, а затем проверьте, записан ли окончательный ответ в канонической форме, критерии которой приведены в самом начале данной статьи. Если ответ представлен в канонической форме, задача решена; в противном случае еще раз воспользуйтесь одним из описанных методов.
- Как правило, каноническая форма записи распространяется и на комплексные числа (i = √(-1)). Даже если комплексное число записано в виде i, а не корня, лучше избавиться от i в знаменателе.
- Некоторые из описанных здесь методов подразумевают работу с квадратными корнями. Общие принципы одинаковы для кубических корней или корней более высоких степеней, но к ним довольно сложно применить некоторые методы (в частности, метод рационализации знаменателя). Более того, поинтересуйтесь у преподавателя о правильной записи корней (куб√4 или куб√(2^2)).
- В некоторых разделах этой статьи понятие «каноническая форма» используется не совсем правильно; на самом деле мы должны говорить о «стандартной форме» записи. Разница заключается в том, что каноническая форма требует записывать либо 1 + √2, либо √2 +1; стандартная форма подразумевает, что оба выражения (1 + √2 и √2 +1) несомненно равны, даже если записаны по-разному. Здесь под «несомненно» имеются в виду арифметические (сложение коммутативно), а не алгебраические свойства (√2 является неотрицательным корнем из х^2-2).
- Если описанные методы кажутся неоднозначными или противоречат друг другу, выполните последовательные и однозначные математические действия, а ответ запишите так, как требует преподаватель или как принято в учебнике.
Реклама
Источники
Реклама
