계산기를 사용한다면 어떤 숫자의 세제곱근이든 버튼을 누르면 바로 찾을 수 있습니다. 하지만 계산기가 없거나 친구들을 놀라게하고 싶다면 손으로 직접 계산해봅시다. 처음엔 힘들지만 연습하면 비교적 쉽계 계산할 수 있습니다. 간단한 산수와 세제곱 숫자에 대한 수학을 기억해두면 도움이 될 것입니다.
단계
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문제를 만드세요. 세제곱근을 구하는 것은 아주 긴 나눗셈 문제를 푸는 것과 비슷합니다. 첫번째 단계는 적절한 형식으로 문제를 만드는 것입니다. [1] X 출처 검색하기
- 세제곱근을 찾고 싶은 숫자를 적으세요. 소숫점을 시작으로 해서 세 그룹으로 나눠서 숫자를 적으세요. 예시로 10의 세제곱근을 구해보도록 하겠습니다. 10을 10. 000 000 으로 적어주세요. 추가로 적은 0들은 답을 정확하게 구하는 데 도움이 될 것입니다.
- 세제곱근 기호를 숫자 위에 그려넣으세요. 이는 아주 긴 숫자를 나눗셈할 때 나눗셈 기호와 같은 역할을 합니다. 기호의 생김새만 다를 뿐입니다.
- 소숫점을 작대기 윗부분에 놓아주세요. 원래 숫자의 소숫점 바로 위에 놓으면 됩니다.
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한 자릿수 숫자들의 세제곱근은 알고 있으세요. 이 숫자들을 계산에 사용할 것입니다. 다음을 참고하세요:
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답의 첫 숫자를 찾으세요. 세제곱을 했을 때 제시된 숫자와 가장 근접한 가장 큰 숫자를 고르세요. [2] X 출처 검색하기
- 위에서, 첫 번째 그룹의 세개의 숫자는 10입니다. 10보다 작은 가장 큰 세제곱은 8이고, 2가 8의 세제곱근입니다.
- 2를 숫자 10 위 작대기 위에 써 넣으세요. 숫자 10 아래 인 8을 적고 선을 긋고 긴 나눗셈을 할 때처럼 뺄셈을 하세요. 값은 2가 나옵니다.
- 뺄셈을 하고 나면 답의 첫 숫자를 구한 것입니다. 이 한자리 숫자가 충분히 정확한 결과값인지를 결정해야 합니다. 대부분의 경우는 그렇지 않을 것입니다. 한자리 숫자를 세제곱을 해서 확인을 해보고 원했던 값에 충분히 근접한지 결정해보세요. 여기서 는 8이지만 10에 그다지 가깝지 않음으로 계속해야 합니다.
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다음 숫자를 찾기 위해 세팅을 하세요. 나머지에 다음 그룹의 세 개의 숫자를 적고 왼쪽에 작은 수직선을 그으세요. 이는 세제곱근의 그 다음 숫자를 찾기 위한 기본 숫자가 될 것입니다. 이 예시에서는 숫자 2000이 만들어져야 합니다. 직전 뺄셈에서 나온 나머지 2와 세 개의 0으로 이루어진 다음 그룹이 합쳐지기 때문입니다. [3] X 출처 검색하기
- 수직선의 왼쪽에는 세개의 각기 다른 숫자의 합인 다음 나눗수를 풀 것입니다. 3개의 비어있는 밑줄을 긋고 더하기 기호를 사이에 써서 이 숫자들을 위한 공간을 만들어주세요.
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다음 나눗수의 첫부분을 찾으세요. 나눗수의 첫부분을 찾기 위해서, 300에 루트 위에 있는 숫자를 제곱해주세요. 이 경우, 루트 위에 있는 숫자가 2이기 때문에, 2^2 는 4가 되고 4*300=1200 입니다. 첫 부분에 1200이라고 적어주세요. 이 단계에서의 나눗수는 1200과 다음에 나오는 수가 될 것입니다. [4] X 출처 검색하기
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세제곱근 문제를 풀기위한 다음 숫자를 찾아보세요. 1200-몇인 나눗수와 곱하고 나머지인 2000을 뺄 수 있는 숫자를 골라야 합니다. 2 곱하기 1200은 2400이기 때문에 2000보다 큰 수임으로 1밖에 되지 않습니다. 1을 루트 위 다음 공간에 적어주세요. [5] X 출처 검색하기
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나머지 나눗수를 찾으세요. 이 단계에서의 나눗수는 세가지 부분으로 나눠져 있습니다. 첫 부분은 1200이고 이미 찾았습니다. 2개를 더 찾아서 나눗수를 완성해야 합니다. [6] X 출처 검색하기
- 루트 위에 있는 각 두 숫자에 각각 3과 10을 곱하세요. 이 문제의 경우에는, 3*10*2*1이 될 것이고 이는 60입니다. 이 숫자를 이미 찾아 놓은 1200에 더해주면 1260이 됩니다.
- 마지막으로 마지막 숫자에 제곱을 더하세요. 이 예시의 경우, 마지막 숫자는 1이었으므로, 1^2는 여전히 1입니다. 전체 나눗수는 결론적으로 1200+60+1이어서 1261입니다. 이 숫자를 수직으로 그은 선 왼쪽에 적어주세요.
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곱하고 빼주세요. 이 문제의 해답을 찾기 위한 단계는 답의 마지막 숫자를 곱하면서 끝납니다. 이 경우 마지막 숫자인 1을 방금 계산해낸 나눗수 1261과 곱해주세요. 1*1261=1261. 이 숫자를 2000 아래 적어서 빼주면, 739가 남습니다.
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좀 더 정확하게 계산을 해볼지에 대해서 생각해보세요. 각 단계에서 뺄셈이 끝날 때마다, 답이 충분히 정확한지에 대해서 생각해보아야 합니다. 10의 세제곱근은 첫 뺄셈 이후에는 2여서 엄청 정확하지는 않았습니다. 지금은 두번째 뺄셈을 진행하고 나니 2.1이 되었습니다. [7] X 출처 검색하기
- 얼마나 정확한지는 2.1을 세제곱 해서 2.1*2.1*2.1 나오는 숫자인 9.261로 확인해볼 수 있습니다.
- 나온 결과가 충분히 정확하다고 생각되면 여기서 멈춰도 됩니다. 만약 더 정확한 답을 원한다면 한 라운드를 더 해보면 됩니다.
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다음 라운드를 통해서 다음 나눗수를 찾아보세요. 이 경우, 더 연습하고 더 정확한 답을 찾기 위해서 다음과 같이 한 라운드 더 반복해보세요: [8] X 출처 검색하기
- 다음 그룹에 속해있는 3개 숫자를 내려주세요. 이 경우, 세 개의 0이 될 것이고 이는 나머지였던 739 뒤에 붙어서 739,000이 됩니다.
- 300을 지금 현재 루트 바로 위에 있는 숫자의 제곱에 곱하는 것으로 시작합니다. 이는 이고, 132,300입니다.
- 다음 숫자가 될 숫자를 132,300과 곱하되 이 숫자는 739,000보다 작아야 합니다. 5가 적절한 숫자가 됩니다. 5*132,300=661,500이기 때문입니다. 숫자 5를 루트 위 다음 공간에 적어주세요.
- 루트 위에 있는 전 숫자를 찾으면 21이고 여기에 3을 곱하고, 방금 찾은 마지막 숫자인 5를 곱해주고, 10을 곱해주세요. 이렇게 하면 가 나옵니다.
- 마지막 숫자를 제곱하세요. 가 나옵니다.
- 나눗수의 부분들을 더해서 132,300+3,150+25=135,475 가 나오게 됩니다.
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나눗수를 구한 숫자와 곱해주세요. 다음 라운드에서 나눗수를 계산하고 난 다음에는 세제곱근을 위해 구하게 된 숫자는 한 자리가 더 늘게 됩니다. 다음처럼 해보세요:
- 나눗수를 마지막으로 구한 숫자와 곱해주세요. 135475*5=677,375.
- 빼주세요. 739,000-677,375=61,625.
- 2.15라는 답이 충분히 정확한지 생각해보세요. 세제곱을 해서 가 나오게 됩니다.
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최종 답안을 적으세요. 루트 위에 있는 결과가 세제곱근이고 3개의 자릿수까지 정확하게 나왔습니다. 이 예시에서는 10의 세제곱근은 2.15입니다. 2.15^3=9.94를 계산해서 확인해 보세요. 이는 10에 가까운 숫자가 나옵니다. 만약 더 정확한 숫자가 필요하다면 원하는 만큼 라운드를 계속 진행하세요.광고
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세제곱 숫자들을 사용해서 어느 숫자들 사이에 위치하는지 확인해 보세요. 세제곱근을 찾아야 할 때는, 완전 세제곱을 활용해서 가장 가까운 숫자를 찾아서, 찾고자 하는 숫자를 넘어가지 않도록 하세요.
- 예를 들어, 만약 600의 세제곱근을 찾고 싶다면, 세제곱 표를 이용하거나 기억을 더듬어서 와 를 기억해내세요. 600의 세제곱근은 8과 9 사이의 숫자가 될 것입니다. 512와 729를 최소와 최대 숫자로 경계를 설정하고 답을 찾아보면 됩니다.
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다음 숫자를 예측해보세요. 첫번쨰 숫자는 확실하게 아는 세제곱 숫자로부터 도출해냈습니다. 다음 숫자는 0과 9사이의 숫자들 가운데 어떤 두 숫자 경계에 타겟 숫자가 위치하는지 예측해보세요.
- 위에서 풀어보던 예제의 경우, 600은 512와 729 사이의 가운데 위치한 숫자입니다. 그렇기에 다음 숫자로 5를 골라보세요.
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세제곱을 해서 예측을 확인해 보세요. 타겟 숫자에서 얼마나 가까운지 확인하기 위해서 지금 예측한 숫자를 곱해보세요.
- 이 예제에서는 로 곱해보세요.
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필요한대로 예측한 숫자를 조정하세요. 마지막으로 예측했던 숫자를 세제곱해서, 결과가 타겟 숫자와 비교해서 어디쯤에 위치하는지 확인해 보세요. 만약 결과가 타겟 숫자보다 크다면, 예측한 숫자를 1이나 그 이상 줄여야 합니다. 만약 결과가 타겟 숫자보다 작다면, 타겟 숫자보다 예측한 숫자가 커질 때까지 위로 올려봐야 합니다.
- 예를 들어, 이 예제에서는 는 타겟 숫자인 600보다 큽니다. 그렇기 때문에 예측을 8.4로 줄여야 합니다. 이 숫자를 세제곱해서 타겟 숫자와 비교해보세요. 그러면 가 나올 것입니다. 이는 타겟 숫자보다 작습니다. 그러므로 600의 세제곱근은 8.4보다는 크고 8.5보다는 작다는 것을 알 수 있습니다.
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더 정확하게 찾아보기 위해서 다음 숫자를 예측해보세요. 0에서 9까지의 숫자를 예측하는 이 과정을, 얻게 되는 답이 원하는 만큼 정확해질 때까지 반복해 보세요. 예측을 하는 매 라운드 마다 가장 직전의 계산이 경계 숫자 어디 사이에 위치하는지 먼저 찾아보세요.
- 이 예제에서는 마지막 계산이 였고, 가 나왔습니다. 타겟 숫자인 600은 592에 614보다 약간 더 가깝습니다. 그러니 다음 예측은 0에서 9 숫자 사이의 중간보다 살짝 아래 숫자를 예측하면서 시작해보세요. 좋은 예측은 4가 될 것이고 8.44를 얻게 될 것입니다.
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예측을 테스트 해보면서 계속 조정해 보세요. 필요한 많큼 많이 해서 예측한 숫자를 세제곱 해보고 타겟 숫자와 어떻게 비교가 되는지 확인해 보세요. 타겟 숫자보다 약간 아래이거나 약간 위에 있는 숫자를 찾아야 합니다.
- 이 예제에서는, 먼저 를 찾아보고 시작하세요. 이는 타겟 숫자보다 살짝 크기 때문에 8.43을 테스트 해보세요. . 결국 600의 세제곱근은 8.43보다는 크고 8.44보다는 작은 숫자라는 것을 알게 됩니다.
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원하는 정확도가 나올 때까지 계속 하세요. 예측하고 비교하고 다시 예측하는 단계를 필요한 만큼 계속 해서 원하는 정도의 정확도를 가진 답을 찾아보세요. 소숫점 자리가 하나씩 추가 될 수록, 타겟 숫자는 실제 숫자에 계속 더 가까워질 것입니다.
- 600의 세제곱근 예시의 경우, 소숫점 두자리만 찾으면 8.43 이었고 이는 타겟에서 1만큼 벗어난 숫자였습니다. 만약 소숫점 세자리까지 찾으면 이고, 이는 진짜 답에서 0.1보다도 적은 오차를 가지고 있습니다.
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이항 확장을 리뷰해보세요. 이 알고리즘이 왜 세제곱근을 찾는데 쓰이는지를 이해하기 위해서는 이항에서는 세제곱 확장이 어떻게 생겼는지 알아야 합니다. 이는 고등학교 때 대수학이나 대수학 II 에서 배웠을 것입니다 (그리고 대부분의 경우, 바로 잊어버렸을 것입니다.). 두 개의 변수 와 를 선택해서 각각 한 자리 숫자라고 생각합니다. [9] X 출처 검색하기
- 로 표현해서 두자리 숫자를 만듭니다. 로 어떤 숫자를 선택하건 간에, 는 10의 배수로 숫자를 만들 것입니다. 예를 들어 만약 가 2 이고 가 6이면, 는 26이 됩니다. [10] X 출처 검색하기
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이항을 세제곱으로 확장해보세요. 왜 이 세제곱근을 구하는 방식이 쓰이는지 보기 위해 세제곱을 먼저 만들어서 거꾸로 진행하고 있습니다. 의 답을 구해야 합니다. 를 곱해서 구해주세요. 여기서 보여주기엔 풀이가 너무 길지만, 최종 결과는 입니다. [11] X 출처 검색하기
- 좀 더 심화된 짧은 버전으로는 (x+y)^n 을 파스칼의 삼각형으로 계산하는 방법을 읽으세요.
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긴 나눗셈의 알고리즘의 뜻을 이해하세요. 세제곱근을 계산하는 방법은 긴 나눗셈과 비슷한 개념임을 알 수 있습니다. 긴 나눗셈에서는 곱해서 처음 시작하는 숫자가 나오는 두 인수를 찾는 것입니다. 이 계산에서, 몫 (루트 위에 올라가는 숫자) 이 세제곱근이 되는 것입니다. (10A+B) 형식을 나타낸다는 것을 뜻합니다. 여기서 A와 B는 답과 무관한 이상 관계가 없습니다. [12] X 출처 검색하기
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확장 버전을 리뷰해 보세요. 다항 확장을 보면, 왜 세제곱근 알고리즘이 쓰이는지 이해할 수 있을 것입니다. 매 단계마다 나오는 나눗수는 계산해서 함께 더해야 하는 네 숫자의 합이라는 것을 알 수 있을 것입니다. 이 숫자는 다음과 같이 나옵니다. [13] X 출처 검색하기
- 첫 항은 1000의 배수가 나옵니다. 세제곱을 할 수 있는 첫 항은 첫 숫자의 긴 나눗셈 영역 안에 있습니다. 이항 확장으로 하면 1000A^3 라고 표현할 수 있습니다.
- 이항 확장의 두번째 항은 300의 계수를 지닙니다. (이는 에서 도출됩니다.) 세제곱근 계산에서는 매 단계에서의 첫 숫자는 300으로 곱해진다는 것을 상기시켜 보세요.
- 세제곱근 계산에서 매 단계마다 두번째 숫자는 이항 확장의 세번째 항에서 옵니다. 이항 확장에서는 30AB^2 으로 표현됩니다.
- 매 단계에서의 마지막 숫자는 B^3 로 표현됩니다.
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정확도가 증가하는 것을 관찰할 수 있습니다. 긴 나눗셈 알고리즘을 계속 실행하면서 매 단계마다 답이 더 정확해진다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 이 글에서 나온 예제로는 10의 세제곱근을 찾는 것이었습니다. 첫번째 단계에서의 답은 2였습니다. 는 가깝긴 하지만 10보다는 작습니다. 사실 입니다. 두번째 라운드를 거치고 나서는 답이 2.1이 나옵니다. 이것을 계산해서 가 나오고 이는 10에 훨씬 더 가까워진 것을 볼 수 있습니다. 세번째 단계를 거치면 2.15를 구하고 이는 를 도출해냅니다. 3개 숫자의 그룹으로 라운드를 진행하다보면 원하는 만큼 정확한 답을 얻을 수 있습니다. [14] X 출처 검색하기광고
팁
- 수학에서 모든 것이 그렇 연습을 통해 완벽해질 수 있습니다. 연습을 하면 할수록 계산을 더 잘하게 될 것입니다.
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경고
- 계산 실수를 할 수도 있습니다. 계산 과정을 잘 살펴보고 검사해보세요.
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준비물
- 펜이나 연필
- 종이
- 자
- 고무
출처
- ↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html
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이 위키하우에 대하여
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