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계산기를 사용한다면 어떤 숫자의 세제곱근이든 버튼을 누르면 바로 찾을 수 있습니다. 하지만 계산기가 없거나 친구들을 놀라게하고 싶다면 손으로 직접 계산해봅시다. 처음엔 힘들지만 연습하면 비교적 쉽계 계산할 수 있습니다. 간단한 산수와 세제곱 숫자에 대한 수학을 기억해두면 도움이 될 것입니다.

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세제곱근 연습 문제로 연습하기

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  1. 세제곱근을 구하는 것은 아주 긴 나눗셈 문제를 푸는 것과 비슷합니다. 첫번째 단계는 적절한 형식으로 문제를 만드는 것입니다. [1]
    • 세제곱근을 찾고 싶은 숫자를 적으세요. 소숫점을 시작으로 해서 세 그룹으로 나눠서 숫자를 적으세요. 예시로 10의 세제곱근을 구해보도록 하겠습니다. 10을 10. 000 000 으로 적어주세요. 추가로 적은 0들은 답을 정확하게 구하는 데 도움이 될 것입니다.
    • 세제곱근 기호를 숫자 위에 그려넣으세요. 이는 아주 긴 숫자를 나눗셈할 때 나눗셈 기호와 같은 역할을 합니다. 기호의 생김새만 다를 뿐입니다.
    • 소숫점을 작대기 윗부분에 놓아주세요. 원래 숫자의 소숫점 바로 위에 놓으면 됩니다.
  2. 이 숫자들을 계산에 사용할 것입니다. 다음을 참고하세요:
  3. 세제곱을 했을 때 제시된 숫자와 가장 근접한 가장 큰 숫자를 고르세요. [2]
    • 위에서, 첫 번째 그룹의 세개의 숫자는 10입니다. 10보다 작은 가장 큰 세제곱은 8이고, 2가 8의 세제곱근입니다.
    • 2를 숫자 10 위 작대기 위에 써 넣으세요. 숫자 10 아래 인 8을 적고 선을 긋고 긴 나눗셈을 할 때처럼 뺄셈을 하세요. 값은 2가 나옵니다.
    • 뺄셈을 하고 나면 답의 첫 숫자를 구한 것입니다. 이 한자리 숫자가 충분히 정확한 결과값인지를 결정해야 합니다. 대부분의 경우는 그렇지 않을 것입니다. 한자리 숫자를 세제곱을 해서 확인을 해보고 원했던 값에 충분히 근접한지 결정해보세요. 여기서 는 8이지만 10에 그다지 가깝지 않음으로 계속해야 합니다.
  4. 나머지에 다음 그룹의 세 개의 숫자를 적고 왼쪽에 작은 수직선을 그으세요. 이는 세제곱근의 그 다음 숫자를 찾기 위한 기본 숫자가 될 것입니다. 이 예시에서는 숫자 2000이 만들어져야 합니다. 직전 뺄셈에서 나온 나머지 2와 세 개의 0으로 이루어진 다음 그룹이 합쳐지기 때문입니다. [3]
    • 수직선의 왼쪽에는 세개의 각기 다른 숫자의 합인 다음 나눗수를 풀 것입니다. 3개의 비어있는 밑줄을 긋고 더하기 기호를 사이에 써서 이 숫자들을 위한 공간을 만들어주세요.
  5. 나눗수의 첫부분을 찾기 위해서, 300에 루트 위에 있는 숫자를 제곱해주세요. 이 경우, 루트 위에 있는 숫자가 2이기 때문에, 2^2 는 4가 되고 4*300=1200 입니다. 첫 부분에 1200이라고 적어주세요. 이 단계에서의 나눗수는 1200과 다음에 나오는 수가 될 것입니다. [4]
  6. 1200-몇인 나눗수와 곱하고 나머지인 2000을 뺄 수 있는 숫자를 골라야 합니다. 2 곱하기 1200은 2400이기 때문에 2000보다 큰 수임으로 1밖에 되지 않습니다. 1을 루트 위 다음 공간에 적어주세요. [5]
  7. 이 단계에서의 나눗수는 세가지 부분으로 나눠져 있습니다. 첫 부분은 1200이고 이미 찾았습니다. 2개를 더 찾아서 나눗수를 완성해야 합니다. [6]
    • 루트 위에 있는 각 두 숫자에 각각 3과 10을 곱하세요. 이 문제의 경우에는, 3*10*2*1이 될 것이고 이는 60입니다. 이 숫자를 이미 찾아 놓은 1200에 더해주면 1260이 됩니다.
    • 마지막으로 마지막 숫자에 제곱을 더하세요. 이 예시의 경우, 마지막 숫자는 1이었으므로, 1^2는 여전히 1입니다. 전체 나눗수는 결론적으로 1200+60+1이어서 1261입니다. 이 숫자를 수직으로 그은 선 왼쪽에 적어주세요.
  8. 이 문제의 해답을 찾기 위한 단계는 답의 마지막 숫자를 곱하면서 끝납니다. 이 경우 마지막 숫자인 1을 방금 계산해낸 나눗수 1261과 곱해주세요. 1*1261=1261. 이 숫자를 2000 아래 적어서 빼주면, 739가 남습니다.
  9. 각 단계에서 뺄셈이 끝날 때마다, 답이 충분히 정확한지에 대해서 생각해보아야 합니다. 10의 세제곱근은 첫 뺄셈 이후에는 2여서 엄청 정확하지는 않았습니다. 지금은 두번째 뺄셈을 진행하고 나니 2.1이 되었습니다. [7]
    • 얼마나 정확한지는 2.1을 세제곱 해서 2.1*2.1*2.1 나오는 숫자인 9.261로 확인해볼 수 있습니다.
    • 나온 결과가 충분히 정확하다고 생각되면 여기서 멈춰도 됩니다. 만약 더 정확한 답을 원한다면 한 라운드를 더 해보면 됩니다.
  10. 이 경우, 더 연습하고 더 정확한 답을 찾기 위해서 다음과 같이 한 라운드 더 반복해보세요: [8]
    • 다음 그룹에 속해있는 3개 숫자를 내려주세요. 이 경우, 세 개의 0이 될 것이고 이는 나머지였던 739 뒤에 붙어서 739,000이 됩니다.
    • 300을 지금 현재 루트 바로 위에 있는 숫자의 제곱에 곱하는 것으로 시작합니다. 이는 이고, 132,300입니다.
    • 다음 숫자가 될 숫자를 132,300과 곱하되 이 숫자는 739,000보다 작아야 합니다. 5가 적절한 숫자가 됩니다. 5*132,300=661,500이기 때문입니다. 숫자 5를 루트 위 다음 공간에 적어주세요.
    • 루트 위에 있는 전 숫자를 찾으면 21이고 여기에 3을 곱하고, 방금 찾은 마지막 숫자인 5를 곱해주고, 10을 곱해주세요. 이렇게 하면 가 나옵니다.
    • 마지막 숫자를 제곱하세요. 가 나옵니다.
    • 나눗수의 부분들을 더해서 132,300+3,150+25=135,475 가 나오게 됩니다.
  11. 다음 라운드에서 나눗수를 계산하고 난 다음에는 세제곱근을 위해 구하게 된 숫자는 한 자리가 더 늘게 됩니다. 다음처럼 해보세요:
    • 나눗수를 마지막으로 구한 숫자와 곱해주세요. 135475*5=677,375.
    • 빼주세요. 739,000-677,375=61,625.
    • 2.15라는 답이 충분히 정확한지 생각해보세요. 세제곱을 해서 가 나오게 됩니다.
  12. 루트 위에 있는 결과가 세제곱근이고 3개의 자릿수까지 정확하게 나왔습니다. 이 예시에서는 10의 세제곱근은 2.15입니다. 2.15^3=9.94를 계산해서 확인해 보세요. 이는 10에 가까운 숫자가 나옵니다. 만약 더 정확한 숫자가 필요하다면 원하는 만큼 라운드를 계속 진행하세요.
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반복 예측으로 세제곱근 찾기

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  1. 세제곱근을 찾아야 할 때는, 완전 세제곱을 활용해서 가장 가까운 숫자를 찾아서, 찾고자 하는 숫자를 넘어가지 않도록 하세요.
    • 예를 들어, 만약 600의 세제곱근을 찾고 싶다면, 세제곱 표를 이용하거나 기억을 더듬어서 를 기억해내세요. 600의 세제곱근은 8과 9 사이의 숫자가 될 것입니다. 512와 729를 최소와 최대 숫자로 경계를 설정하고 답을 찾아보면 됩니다.
  2. 첫번쨰 숫자는 확실하게 아는 세제곱 숫자로부터 도출해냈습니다. 다음 숫자는 0과 9사이의 숫자들 가운데 어떤 두 숫자 경계에 타겟 숫자가 위치하는지 예측해보세요.
    • 위에서 풀어보던 예제의 경우, 600은 512와 729 사이의 가운데 위치한 숫자입니다. 그렇기에 다음 숫자로 5를 골라보세요.
  3. 타겟 숫자에서 얼마나 가까운지 확인하기 위해서 지금 예측한 숫자를 곱해보세요.
    • 이 예제에서는 로 곱해보세요.
  4. 마지막으로 예측했던 숫자를 세제곱해서, 결과가 타겟 숫자와 비교해서 어디쯤에 위치하는지 확인해 보세요. 만약 결과가 타겟 숫자보다 크다면, 예측한 숫자를 1이나 그 이상 줄여야 합니다. 만약 결과가 타겟 숫자보다 작다면, 타겟 숫자보다 예측한 숫자가 커질 때까지 위로 올려봐야 합니다.
    • 예를 들어, 이 예제에서는 는 타겟 숫자인 600보다 큽니다. 그렇기 때문에 예측을 8.4로 줄여야 합니다. 이 숫자를 세제곱해서 타겟 숫자와 비교해보세요. 그러면 가 나올 것입니다. 이는 타겟 숫자보다 작습니다. 그러므로 600의 세제곱근은 8.4보다는 크고 8.5보다는 작다는 것을 알 수 있습니다.
  5. 0에서 9까지의 숫자를 예측하는 이 과정을, 얻게 되는 답이 원하는 만큼 정확해질 때까지 반복해 보세요. 예측을 하는 매 라운드 마다 가장 직전의 계산이 경계 숫자 어디 사이에 위치하는지 먼저 찾아보세요.
    • 이 예제에서는 마지막 계산이 였고, 가 나왔습니다. 타겟 숫자인 600은 592에 614보다 약간 더 가깝습니다. 그러니 다음 예측은 0에서 9 숫자 사이의 중간보다 살짝 아래 숫자를 예측하면서 시작해보세요. 좋은 예측은 4가 될 것이고 8.44를 얻게 될 것입니다.
  6. 필요한 많큼 많이 해서 예측한 숫자를 세제곱 해보고 타겟 숫자와 어떻게 비교가 되는지 확인해 보세요. 타겟 숫자보다 약간 아래이거나 약간 위에 있는 숫자를 찾아야 합니다.
    • 이 예제에서는, 먼저 를 찾아보고 시작하세요. 이는 타겟 숫자보다 살짝 크기 때문에 8.43을 테스트 해보세요. . 결국 600의 세제곱근은 8.43보다는 크고 8.44보다는 작은 숫자라는 것을 알게 됩니다.
  7. 예측하고 비교하고 다시 예측하는 단계를 필요한 만큼 계속 해서 원하는 정도의 정확도를 가진 답을 찾아보세요. 소숫점 자리가 하나씩 추가 될 수록, 타겟 숫자는 실제 숫자에 계속 더 가까워질 것입니다.
    • 600의 세제곱근 예시의 경우, 소숫점 두자리만 찾으면 8.43 이었고 이는 타겟에서 1만큼 벗어난 숫자였습니다. 만약 소숫점 세자리까지 찾으면 이고, 이는 진짜 답에서 0.1보다도 적은 오차를 가지고 있습니다.
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어떻게 계산이 되는지 이해하기

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  1. 이 알고리즘이 왜 세제곱근을 찾는데 쓰이는지를 이해하기 위해서는 이항에서는 세제곱 확장이 어떻게 생겼는지 알아야 합니다. 이는 고등학교 때 대수학이나 대수학 II 에서 배웠을 것입니다 (그리고 대부분의 경우, 바로 잊어버렸을 것입니다.). 두 개의 변수 를 선택해서 각각 한 자리 숫자라고 생각합니다. [9]
    • 로 표현해서 두자리 숫자를 만듭니다. 로 어떤 숫자를 선택하건 간에, 는 10의 배수로 숫자를 만들 것입니다. 예를 들어 만약 가 2 이고 가 6이면, 는 26이 됩니다. [10]
  2. 왜 이 세제곱근을 구하는 방식이 쓰이는지 보기 위해 세제곱을 먼저 만들어서 거꾸로 진행하고 있습니다. 의 답을 구해야 합니다. 를 곱해서 구해주세요. 여기서 보여주기엔 풀이가 너무 길지만, 최종 결과는 입니다. [11]
    • 좀 더 심화된 짧은 버전으로는 (x+y)^n 을 파스칼의 삼각형으로 계산하는 방법을 읽으세요.
  3. 세제곱근을 계산하는 방법은 긴 나눗셈과 비슷한 개념임을 알 수 있습니다. 긴 나눗셈에서는 곱해서 처음 시작하는 숫자가 나오는 두 인수를 찾는 것입니다. 이 계산에서, 몫 (루트 위에 올라가는 숫자) 이 세제곱근이 되는 것입니다. (10A+B) 형식을 나타낸다는 것을 뜻합니다. 여기서 A와 B는 답과 무관한 이상 관계가 없습니다. [12]
  4. 다항 확장을 보면, 왜 세제곱근 알고리즘이 쓰이는지 이해할 수 있을 것입니다. 매 단계마다 나오는 나눗수는 계산해서 함께 더해야 하는 네 숫자의 합이라는 것을 알 수 있을 것입니다. 이 숫자는 다음과 같이 나옵니다. [13]
    • 첫 항은 1000의 배수가 나옵니다. 세제곱을 할 수 있는 첫 항은 첫 숫자의 긴 나눗셈 영역 안에 있습니다. 이항 확장으로 하면 1000A^3 라고 표현할 수 있습니다.
    • 이항 확장의 두번째 항은 300의 계수를 지닙니다. (이는 에서 도출됩니다.) 세제곱근 계산에서는 매 단계에서의 첫 숫자는 300으로 곱해진다는 것을 상기시켜 보세요.
    • 세제곱근 계산에서 매 단계마다 두번째 숫자는 이항 확장의 세번째 항에서 옵니다. 이항 확장에서는 30AB^2 으로 표현됩니다.
    • 매 단계에서의 마지막 숫자는 B^3 로 표현됩니다.
  5. 긴 나눗셈 알고리즘을 계속 실행하면서 매 단계마다 답이 더 정확해진다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 이 글에서 나온 예제로는 10의 세제곱근을 찾는 것이었습니다. 첫번째 단계에서의 답은 2였습니다. 는 가깝긴 하지만 10보다는 작습니다. 사실 입니다. 두번째 라운드를 거치고 나서는 답이 2.1이 나옵니다. 이것을 계산해서 가 나오고 이는 10에 훨씬 더 가까워진 것을 볼 수 있습니다. 세번째 단계를 거치면 2.15를 구하고 이는 를 도출해냅니다. 3개 숫자의 그룹으로 라운드를 진행하다보면 원하는 만큼 정확한 답을 얻을 수 있습니다. [14]
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  • 수학에서 모든 것이 그렇 연습을 통해 완벽해질 수 있습니다. 연습을 하면 할수록 계산을 더 잘하게 될 것입니다.
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  • 계산 실수를 할 수도 있습니다. 계산 과정을 잘 살펴보고 검사해보세요.
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준비물

  • 펜이나 연필
  • 종이
  • 고무

이 위키하우에 대하여

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