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대수학에서는 이항식을 두 항의 합 또는 차의 형태로 된 식으로 정의하며 일반적으로 로 나타냅니다. 첫째 항은 반드시 미지수를 포함하지만 둘째 항에는 미지수가 있는 경우도 있고 없는 경우도 있습니다. 인수분해는 인수들의 곱의 형태로 만드는 걸 의미하기 때문에 인수들을 서로 곱해서 다시 전개하면 원래의 식과 동일한 식을 얻을 수 있습니다. 참고로 인수분해는 주로 방정식의 해를 구할 때 혹은 복잡한 식을 간단하게 정리할 때 사용됩니다.
단계
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인수분해의 기초를 복습하세요. 인수분해는 큰 숫자를 작은 숫자들의 곱의 형태로 나타내는 걸 뜻합니다. 그리고 작은 숫자들을 ‘인수’라고 부릅니다. 예를 들어서 숫자 6의 몫이 나머지 없이 딱 떨어지는 경우는 1, 2, 3 그리고 6으로 나눴을 때입니다. 그러므로 6의 인수는 1, 2, 3, 6입니다.
- 32의 인수는 1, 2, 4, 8, 16, 32입니다.
- 어떤 숫자든지 항상 ‘1’과 ‘그 수 자신’은 인수입니다. 예를 들어서 3과 같은 작은 숫자의 인수는 1, 3입니다.
- 어떤 숫자든지 그 숫자의 인수로 나누면 나머지 없이 딱 떨어집니다. 다시 말해서 나눗셈의 몫이 정수입니다. 32를 3.564 또는 21.4952로 나눌 수 있지만 몫이 소수이기 때문에 3.564와 21.4952는 32의 인수가 아닙니다.
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이항식을 읽기 쉬운 형태로 정리하세요. 두 항의 합 또는 차의 형태로 된 식을 이항식이라고 부르며 두 항 중 하나는 미지수를 포함하고 있어야 합니다. 또는 같이 미지수에 지수가 있는 경우도 있습니다. 이럴 때는 차수가 낮은 항부터 높은 항 순서로 정리한 후 인수분해를 하는 게 더 쉽습니다. 아래의 예시를 확인하세요.
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- 숫자 2 앞에 마이너스(-) 기호를 함께 적어야 합니다. 뺄셈의 경우, 숫자 앞에 있는 마이너스(-) 기호를 항상 같이 쓰세요.
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두 항의 최대공약수를 찾으세요. 두 항을 나머지 없이 나눌 수 있는 수 중에서 가장 큰 수를 찾으세요. 혹시 최대공약수를 구하는 방법을 모르나요? 두 항을 각각 인수분해 한 뒤 공통인수 중에서 가장 큰 숫자를 찾으세요. 아래의 예문을 보면 이해하기 더 쉬울 겁니다.
- 연습문제:
- 3의 인수: 1, 3
- 6의 인수: 1, 2, 3, 6
- 3과 6의 최대공약수는 3입니다.
- 연습문제:
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각 항을 최대공약수로 나누세요. 최대공약수를 구했나요? 이제 각 항을 최대공약수로 나누세요. 분수를 약분하는 것과 비슷하지만 차이점은 나중에 최대공약수를 괄호 밖에 다시 곱하는 겁니다. 최대공약수를 정확하게 구했을 경우, 두 항 모두 최대공약수가 포함되어 있습니다.
- 연습문제:
- 최대공약수를 찾기:
- 두 항을 3으로 각각 나누기:
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나눠서 묶은 항과 최대공약수를 곱하세요. 앞 단계에서 이항식을 3으로 나눠서 라는 인수를 구했습니다. 이제 3을 다시 곱해야 합니다. 분수를 약분하는 것과는 다릅니다. 3으로 나눈 뒤 괄호 밖에 다시 곱하세요! 두 인수 과 를 곱의 형태로 만들면 인수분해가 끝납니다. 아래의 풀이과정을 확인하세요.
- 연습문제:
- 최대공약수를 찾기:
- 두 항을 3으로 각각 나누기:
- 인수 3을 괄호 밖에 적기:
- 인수분해 된 식:
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인수분해 된 식을 다시 전개해서 원래의 식과 같은 지 확인하세요. 풀이과정에서 실수를 하지 않았을 경우 정답을 쉽게 확인할 수 있습니다. 괄호 안에 있는 숫자에 괄호 밖에 있는 인수를 각각 곱하면 됩니다. 인수분해 된 식을 다시 전개한 식이 원래의 식과 같을 경우 인수분해를 제대로 한 겁니다. 또 다른 연습문제 을 인수분해 하는 과정을 처음부터 끝까지 확인하세요.
- 항을 재배열하기:
- 최대공약수를 찾기:
- 두 항을 인수(최대공약수)로 각각 나누기:
- 괄호 밖에 인수를 다시 곱하기:
- 정답을 확인하기:
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방정식을 인수분해 해서 보다 쉽게 해를 구하세요. 특히 복잡한 이항방정식을 풀 때는 해를 구하는 게 쉽지 않습니다. 같은 이차방정식을 풀 때는 우선 인수분해를 하세요.
- 연습문제:
- 이항식은 항이 2개라는 점을 기억하세요. 항이 3개 이상일 경우 다항식을 푸는 방법을 사용해야 합니다.
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이항을 해서 한 변에는 0만 남겨두세요. 이항방정식을 푸는 방법의 핵심은 어떤 숫자든 0과 곱하면 0이 된다는 수학적 개념을 이용하는 겁니다. 한 변이 0일 경우, 나머지 변에 있는 이항식의 인수 중 하나는 0이어야 합니다! 항들을 한 변으로 모두 옮기고 나머지 한 변에는 0만 남겨두세요.
- 연습문제:
- 우변에는 0만 남겨두기:
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좌변에 있는 이항식을 인수분해 하세요. 이 단계에서는 우변(0만 남겨둔 변)을 신경쓰지 마세요. 좌변에 있는 이항식의 최대공약수를 구하세요. 각 항에서 최대공약수를 묶어내서 인수분해를 하면 됩니다.
- 연습문제:
- 우변에는 0만 남겨두기:
- 인수분해를 하기:
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괄호 안에 있는 인수와 괄호 밖에 있는 인수 둘 다 0과 같다고 적으세요. 이번 연습문제의 경우, 2y와 (4 - y)를 곱한 값이 0이 되어야 합니다. 어떤 숫자든 0과 곱하면 0이 되므로 2y와 (4 - y) 둘 중 하나는 0이어야 합니다. 한 변이 0인 방정식 2개로 나눠서 적은 후 y값을 구하세요.
- 연습문제:
- 우변에는 0만 남겨두기:
- 인수분해를 하기:
- 한 변이 0인 방정식 2개로 나눠서 적기:
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앞 단계에서 적은 방정식 2개의 해를 구하세요. 해가 1개인 경우도 있고 2개 이상인 경우도 있습니다. 둘 중 하나만 0이어야 하기 때문에 방정식을 성립하는 y값이 여러 개일 수도 있습니다. 아래와 같은 방식으로 문제를 마저 푸세요.
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- y = 0
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- y = 4
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방정식에 값을 다시 대입해서 정답을 확인하세요. y값이 정확할 경우 대입을 해보면 방정식이 성립한다는 걸 알 수 있습니다. 그림에 나와있는 풀이과정처럼 미지수 자리에 y값을 대입하세요. y = 0 그리고 y = 4 라는 사실은 이미 알고 있습니다. 아래와 같은 방식으로 정답을 확인하세요.
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- 이 답은 정답입니다.
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- 이 답도 정답입니다.
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미지수도 인수로 간주되며 심지어 지수가 있어도 마찬가지라는 점을 기억하세요. 인수분해는 주어진 수 또는 다항식을 인수들의 곱의 형태로 나타내는 겁니다. 은 를 다른 형태로 나타낸 겁니다. 그러므로 이항식을 이루는 다른 항에도 x가 있을 경우 인수분해를 할 수 있습니다. 미지수를 하나의 숫자로 취급하세요. 아래의 예문을 보면 이해하기 더 쉬울 겁니다.
- 는 인수분해가 가능합니다. 왜냐하면 두 항 모두 t를 포함하고 있기 때문입니다. 그래서 인수분해를 하면 가 됩니다.
- 여러 개의 미지수를 한꺼번에 묶어도 됩니다. 예를 들어서 의 경우, 두 항 모두 를 포함하고 있으므로 인수분해를 하면 이 됩니다.
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간략하게 정리가 되지 않은 이항식일 경우 같은 종류의 항들을 합하세요. 예를 들어서 같은 식은 항이 마치 4개인 것처럼 보이지만 제대로 확인해보면 항이 2개라는 걸 알 수 있습니다. 6과 15는 상수항이고 2x와 3x는 같은 미지수(x)를 갖고 있기 때문에 같은 종류끼리 항을 합할 수 있습니다. 복잡한 이항식은 간략하게 정리한 뒤 인수분해 하는 게 더 쉽습니다.
- 문제에서 주어진 식:
- 항을 재배열하기:
- 같은 종류끼리 항을 합하기:
- 최대공약수를 찾기:
- 인수분해를 하기:
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완전제곱의 차 인수분해 공식을 이해하세요. 완전제곱은 제곱근이 정수인 숫자를 뜻합니다. 예를 들어서 , , 은 완전제곱입니다. 같이 이항식이 ‘완전제곱의 차’일 경우, 완전제곱의 차 공식에 대입하면 인수분해가 됩니다.
- 완전제곱의 차 공식:
- 연습문제:
- 제곱근을 구하세요:
- 제곱근을 공식에 대입하세요:
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완전세제곱의 차 인수분해 공식을 이해하세요. 완전제곱의 차 인수분해 공식과 비슷합니다. 같이 이항식이 ‘완전세제곱의 차’일 경우 간단한 공식을 사용해서 인수분해 하면 됩니다. 완전제곱의 차를 인수분해 하는 것과 비슷합니다. 각 항의 세제곱근을 구한 뒤 공식에 대입하세요.
- 완전세제곱의 차 공식:
- 연습문제:
- 세제곱근을 구하세요:
- 세제곱근을 공식에 대입하세요: [1] X 출처 검색하기
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완전세제곱의 합 인수분해 공식을 이해하세요. 완전제곱의 합 인수분해 공식은 없지만 같은 완전세제곱의 합은 간단한 공식을 사용해서 인수분해 할 수 있습니다. 앞서 설명한 공식들과 거의 같기 때문에 어렵지 않습니다. 단지 플러스(+), 마이너스(-) 기호만 몇 개 바꾸면 됩니다. 우선 문제에서 주어진 이항식이 ‘완전세제곱의 합’인 지 아닌 지 확인하세요.
- 완전세제곱의 합 공식:
- 연습문제:
- 세제곱근을 구하세요:
- 세제곱근을 공식에 대입하세요: [2] X 출처 검색하기
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![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed49f7f0ab2dfb9de3438ac123641fb683a0a0)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5392df17ff31f62e3cae649d51dd36bde856ce)
팁
- 공통인수가 없는 이항식도 있습니다! 왜냐하면 이미 최대한 간략한 형태로 정리되었기 때문입니다.
- 공통인수가 있는 지 없는 지 모르겠다면 작은 숫자로 분해하세요. 예를 들어서 32와 16의 공통인수가 16인 지 아닌 지 확실히 모르겠다면 우선 두 숫자를 2로 나누세요. 그러면 16과 8이 됩니다. 16과 8 두 숫자 모두 8로 나눠진다는 건 쉽게 알 수 있습니다. 두 숫자를 8로 나누면 2와 1이 됩니다. 두 숫자 모두 소인수입니다. 그러므로 8과 2를 곱한 숫자가 공통인수이라는 걸 알 수 있습니다.
- 6차식(x 6 )은 ‘완전제곱’이자 ‘완전세제곱’입니다. 그러므로 x 6 - 64 같이 이항식이 ‘완전여섯제곱의 차’인 경우에도 위에서 언급한 공식들을 사용해서 인수분해를 하면 됩니다. 순서는 상관없지만 x 6 - 64 같은 경우 ‘완전제곱의 차’ 공식을 먼저 사용하면 보다 쉽게, 완전히 인수분해를 할 수 있습니다.
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- 이항식이 완전제곱의 합일 경우 인수분해를 할 수 없습니다.
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