Загрузить PDF
Загрузить PDF
Двучлен (бином) – это математическое выражение с двумя членами, между которыми стоит знак «плюс» или «минус», например, . Первый член включает переменную, а второй включает или не включает ее. Разложение бинома на множители подразумевает нахождение таких членов, при перемножении которых получается исходный двучлен, чтобы решить или упростить его.
Шаги
-
Уясните основы процесса разложения на множители. При разложении на множители двучлена за скобку выносится множитель, который является делителем каждого члена исходного бинома. Например, число 6 нацело делится на 1, 2, 3, 6. Таким образом, делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6.
- Делители 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- Делителями любого числа являются 1 и само число. Например, делители 3 – это 1 и 3.
- Делителями целого числа могут быть только целые числа. Число 32 можно разделить на 3,564 или 21,4952, но получится не целое число, а десятичная дробь.
-
Упорядочьте члены бинома, чтобы облегчить процесс разложения на множители. Двучлен – это сумма или разность двух членов, по крайней мере один из которых содержит переменную. Иногда переменные возведены в степень, например, или . Лучше упорядочить члены бинома в порядке возрастания показателей степеней, то есть член с наименьшим показателем степени записывается первым, а с наибольшим – последним. Например:
- →
- →
-
→
- Обратите внимание на знак «минус» перед 2. Если член вычитается, напишите перед ним знак «минус».
-
Найдите наибольший общий делитель (НОД) обоих членов. НОД – это наибольшее число, на которое нацело делятся оба члена бинома. Для этого найдите делители каждого члена бинома, а затем выберите наибольший общий делитель. Например:
- Задача:
.
- Делители 3: 1, 3
- Делители 6: 1, 2, 3, 6.
- НОД = 3.
- Задача:
.
-
Разделите каждый член бинома на наибольший общий делитель (НОД). Сделайте это, чтобы вынести НОД за скобки. Обратите внимание, что каждый член бинома уменьшается (потому что делится), но если НОД вынести за скобку, конечное выражение будет равно исходному.
- Задача: .
- Найдите НОД: 3
- Разделите каждый член бинома на НОД:
-
Вынесите делитель за скобки. Ранее вы разделили оба члена бинома на делитель 3 и получили . Но избавиться от 3 нельзя – чтобы значения исходного и конечного выражений были равны, нужно 3 вынести за скобки, а в скобках написать выражение, полученное в результате деления. Например:
- Задача: .
- Найдите НОД: 3
- Разделите каждый член бинома на НОД:
- Умножьте делитель на полученное выражение:
- Ответ:
-
Проверьте ответ. Для этого умножьте член перед скобками на каждый член внутри скобок. Если получился исходный бином, решение правильное. Теперь решите задачу :
- Упорядочьте члены:
- Найдите НОД:
- Разделите каждый член бинома на НОД:
- Умножьте делитель на полученное выражение:
- Проверьте ответ:
Реклама
-
Разложите двучлен на множители, чтобы упростить его и решить уравнение. На первый взгляд решить некоторые уравнения (особенно со сложными биномами) не представляется возможным. Например, решите уравнение . В этом уравнении присутствуют степени, поэтому сначала разложите выражение на множители.
- Задача:
- Помните, что бином состоит из двух членов. Если выражение включает большее количество членов, научитесь решать многочлены.
-
К обеим сторонам уравнения прибавьте или вычтите некоторый одночлен, чтобы на одной из сторон уравнения остался нуль. В случае разложения на множители решение уравнений основывается на непреложном факте, что любое выражение, умноженное на нуль, равно нулю. Поэтому если приравнять уравнение к нулю, то любой из его множителей должен быть равен нулю. Сделайте так, чтобы на одной из сторон уравнения остался 0.
- Задача:
- Приравняйте к нулю:
-
Разложите на множители полученный бином. Сделайте это как описано в предыдущем разделе. Найдите наибольший общий делитель (НОД), разделите на него оба члена бинома, а затем вынесите делитель за скобки.
- Задача:
- Приравняйте к нулю:
- Разложите на множители:
-
Приравняйте каждый множитель к нулю. В полученном выражении 2y умножается на 4 - у, и это произведение равно нулю. Так как любое выражение (или член), умноженное на нуль, равно нулю, то 2y или 4 - у равно 0. Приравняйте полученные одночлен и двучлен к нулю, чтобы найти «y».
- Задача:
- Приравняйте к нулю:
- Разложите на множители:
- Приравняйте оба множителя к 0:
-
Решите полученные уравнения, чтобы найти окончательный ответ (или ответы). Так как каждый множитель приравнивается к нулю, уравнение может иметь несколько решений. В нашем примере:
-
- y = 0
-
- y = 4
-
-
Проверьте ответ. Для этого найденные значения подставьте в исходное уравнение. Если равенство соблюдается, то решение правильное. Найденные значения подставьте вместо «у». В нашем примере у = 0 и у = 4:
-
- Это правильное решение
-
- И это правильное решение
Реклама -
-
Запомните, что член с переменной тоже можно разложить на множители, даже если переменная возводится в степень. При разложении на множители нужно найти одночлен, которое делит каждый член бинома нацело. Например, одночлен можно разложить на множители . То есть если второй член бинома также содержит переменную «х», то «х» можно вынести за скобки. Таким образом, работайте с переменными как с целыми числами. Например:
- Оба члена бинома содержат «t», поэтому «t» можно вынести за скобку:
- Также за скобку можно вынести переменную, возведенную в степень. Например, оба члена бинома содержат , поэтому можно вынести за скобку:
-
Сложите или вычтите подобные члены, чтобы получить бином. Например, дано выражение . На первый взгляд это многочлен, но на самом деле это выражение можно преобразовать в бином. Сложите подобные члены: 6 и 14 (не содержат переменную), а также 2x и 3x (содержат одинаковую переменную «х»). В этом случае процесс разложения на множители упростится:
- Исходное выражение:
- Упорядочьте члены:
- Сложите подобные члены:
- Найдите НОД:
- Разложите на множители:
-
Разложите на множители разность полных квадратов. Полный квадрат – это число, квадратный корень из которого равен целому числу, например, , и даже . Если бином представляет собой разность полных квадратов, например, , то он раскладывается на множители по формуле:
- Формула разности квадратов:
- Задача:
- Извлеките квадратные корни:
- Найденные значения подставьте в формулу: [1] X Источник информации
-
Разложите на множители разность полных кубов. Если бином представляет собой разность полных кубов, например, , то он раскладывается на множители по специальной формуле. В этом случае из каждого члена бинома нужно извлечь кубический корень, а найденные значения подставить в формулу.
- Формула разности кубов:
- Задача:
- Извлеките кубические корни:
- Найденные значения подставьте в формулу: [2] X Источник информации
-
Разложите на множители сумму полных кубов. В отличие от суммы полных квадратов сумму полных кубов, например, , можно разложить на множители по специальной формуле. Она похожа на формулу для разности кубов, но знаки меняются местами. Формула довольно проста – чтобы воспользоваться ею, в задаче найдите сумму полных кубов.
- Формула суммы кубов:
- Задача:
- Извлеките кубические корни:
- Найденные значения подставьте в формулу: [3] X Источник информации
Реклама
![{\sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed49f7f0ab2dfb9de3438ac123641fb683a0a0)
![{\sqrt[ {3}]{27}}=3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5392df17ff31f62e3cae649d51dd36bde856ce)
Советы
- Иногда члены бинома не имеют общего делителя. В некоторых задачах члены представлены в упрощенном виде.
- Если сразу найти НОД не получается, начните с деления на небольшие числа. Например, если вы не видите, что НОД чисел 32 и 16 равен 16, разделите оба числа на 2. Вы получите 16 и 8; эти числа можно разделить на 8. Теперь вы получите 2 и 1; эти числа сократить нельзя. Таким образом, очевидно, что существует большее число (по сравнению с 8 и 2), которое является общим делителем двух данных чисел.
- Обратите внимание, что члены шестого порядка (с показателем степени, равным 6, например, x 6 ) являются как полным квадратами, так и полными кубами. Таким образом, к биномам с членами шестого порядка, например, x 6 - 64, можно применить (в любом порядке) формулы разности квадратов и разности кубов. Но лучше сначала применить формулу разности квадратов, чтобы правильнее разложить бином.
Реклама
Предупреждения
- Бином, представляющий собой сумму полных квадратов, разложить на множители нельзя.
Реклама
Источники
Реклама
