تنزيل المقال
تنزيل المقال
العبارات ذات الحدين في الجبر هي نوع من كثيرات الحدود يتكون من حدين بينهما علاقة طرح أو جمع، مثل . يتضمن الحد الأول دائمًا متغيرًا (حرف) بينما يمكن للثاني أن يحتوي أو لا يحتوي على متغير. تحليل ثنائيات الحدود إلى عوامل يعني إيجاد حدود أبسط، عندما تُضرَب ببعضها ينتج عنها هذا التعبير ثنائي الحد، فيساعدك على حله أو تبسيطه لاستعماله في أجزاء أخرى من المسألة الأساسية.
الخطوات
-
تذكر أساسيات التحليل إلى عوامل. التحليل هو تجزيء عدد كبير إلى أبسط أجزاء ممكنة يقبل هذا العدد القسمة عليها. يسمى كل جزء من هذه الأجزاء "عامل". على سبيل المثال: يمكن تقسيم الرقم 6 من غير باقٍ على أربعة أرقام مختلفة: 1 و2 و3 و6، ما يعني أن عوامل الرقم 6 هي 1، 2، 3، 6.
- عوامل 32 هي 1 و2 و4 و8 و16 و32
- الرقم "1" والرقم الذي تحلله هما دائمًا عاملان من عوامل هذا الرقم. بالتالي عوامل عدد صغير مثل الـ 3 هي ببساطة 1 و3.
- العوامل هي الأرقام التي يقبل العدد القسمة عليها من غير باقٍ، أو الأرقام "الصحيحة" فقط؛ يمكنك مثلًا تقسيم 32 على 3.564 أو 21.4952، لكن الناتج ليس أحد عوامله إنما مجرد رقم عشري آخر.
-
رتب حدود ذات الحدين بطريقة تُسهِّل من قراءتها. ثنائية الحد هي ببساطة عملية جمع أو طرح بين رقمين، يحتوي أحدهما (أو كلاهما) على متغير. في بعض الأحيان يكون لهذه المتغيرات أسس، مثل أو . عندما تبدأ تحليل ثنائية حدود، قد يساعدك ذلك على تغيير ترتيب المعادلات التي تجد متغيراتها مرتبة تصاعديًا، بمعنى أن يكون الأس الأكبر بها هو الأخير، مثلًا:
- →
- →
-
→
- لاحظ أن الإشارة السالبة تظل أمام الـ 2، إذا كان أحد الحدود يُطرح من الثاني، اترك إشارته السالبة معه.
-
أوجد العامل المشترك الأكبر للحدين. يعني هذا أن تجد أكبر رقم يمكن قسمة كلا الحدين عليه. إذا وجدت هذا صعبًا، حلل كل رقم على حدة، ثم اعرف ما هو أكبر رقم يظهر في عوامل كلا الرقمين. مثال:
- مسألة للتدريب:
.
- عوامل 3: 1، 3
- عوامل 6: 1، 2، 3، 6
- العامل المشترك الأكبر هو 3
- مسألة للتدريب:
.
-
اقسم كل حد على العامل المشترك الأكبر. بعد معرفة العامل المشترك للحدين، يجب إخراجه منهما. لكن لاحظ أنك لا تغير العبارة الرياضية وكل ما تفعله ببساطة هو تصغير الحدود بتحويل كل منها إلى مسألة قسمة. إذا نفذت هذا بشكل صحيح، فلابد أن تحتوي مسألتي القسمة على المعامل الذي أوجدته وبالتالي تُبسّط كما يفترض:
- مسألة للتدرب: .
- إيجاد العامل المشترك الأكبر: 3
- تخليص الحدين من العامل:
-
اضرب العامل الذي أوجدته في الناتج لإنهاء التبسيط. في المسألة الأخيرة قمت بحذف 3 من الحدود وأوجدت ، لكنك لم تفعل هذا لتتخلص من الثلاثة تمامًا، بل تحليلها خارج الحدين لتبسيطهما. لا يمكنك حذف الأرقام ببساطة وعدم إعادتها! اضرب هذا العامل في العبارة الرياضية الناتجة عن الخطوة السابقة لإنهاء عملية التحليل. مثال:
- مسألة للتدريب:
- إيجاد العامل المشترك الأكبر: 3
- حذف العامل من الحدين:
- ضرب العامل في العبارة الجديدة:
- الإجابة النهائية بعد التحليل:
-
تحقق من صحة حلك من خلال ضربه لإيجاد المعادلة الأصلية مرة أخرى. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح فلابد أن تكون مراجعة الحل سهلة. اضرب ببساطة العامل المشترك الأكبر في كل من الأجزاء الفردية بين القوسين، وإذا تطابق مع ثائي الحد الأصلي غير المحلل، فقد قمت بالمطلوب بشكل صحيح. قم بحل العبارة من البداية إلى النهاية للتدرب على الخطوات السابقة:
- إعادة ترتيب الحدود:
- إيجاد القاسم المشترك الأكبر:
- حذف العامل من الحدين:
- ضرب العامل في العبارة الجديدة:
- التحقق من صحة الناتج:
-
استخدم التحليل لتبسيط المعادلات وتسهيل حلها. عند حل معادلة تحتوي على عبارة ثنائية الحد، وخاصة المعقد منها، قد يبدو أنه ما من طريقة للتوفيق بين جميع حدودها. على سبيل المثال: حاول حل . إحدى الطرق لحلها، خاصةً مع الأسس، هي أن نحللها أولًا.
- مسألة للتدريب:
- تذكر أن ثنائية الحد لابد ألا تحتوي على أكثر من حدين، إذا كان هناك أكثر من اثنين، يمكنك أن تتعلم حل كثيرات الحدود لحل هذه المسألة.
-
اجمع واطرح لمساواة أحد جانبي المعادلة بصفر. تعتمد هذه الاستراتيجية بأكملها على أحد أهم الحقائق الأساسية في الرياضيات: أي شيء مضروب في صفر يساوي الصفر. لذا إذا كانت المعادلة تساوي صفرًا، يجب أن يتساوى أحد حدودك مع الصفر! للبدء، قم بالجمع والطرح بما يجعل أحد جانبي المعادلة يساوي صفر.
- مسألة للتدرب:
- المساواة بالصفر:
-
حلل الجانب غير الصفري بالطريقة الاعتيادية. يمكنك التظاهر في هذه المرحلة بأن الطرف الآخر غير موجود حتى تنتهي هذه الخطوة. أوجد العامل المشترك الأكبر، واقسم الحدود عليه لحذفه، ثم اكتب عبارتك المحللة إلى عوامل.
- مسألة للتدرب:
- ساوِ المعادلة بالصفر:
- التحليل:
-
ساوِ كلا من جزأي المعادلة (ما بداخل القوس وما خارجه) بالصفر. قمنا في مسألة التدريب بضرب 2y في 4 - y، ولابد أن يساوي هذا الضرب الناتج صفر. بما أن أي شيء مضروب في الصفر يساوي صفر، فإن هذا يعني أن أحد الجانبين إما 2y أو 4 - y يجب أن يكون 0. أنشئ معادلتين منفصلتين لمعرفة أي الجانبين هو المساوي لصفر.
- مسألة للتدريب:
- المساواة بصفر:
- التحليل:
- مساواة كل طرف بـ 0:
-
حل المعادلتين للحصول على الإجابة أو الإجابات النهائية. قد يكون لديك إجابة واحدة أو أكثر؛ تذكر أن جانبًا واحدًا فقط من المعادلة يساوي صفر، لذلك قد تحصل على قيم مختلفة لـ y تحل نفس المعادلة عند التعويض بها. لإنهاء مسألة التدريب:
-
- y = 0
-
- y = 4
-
-
ضع الإجابات في المعادلة من جديد للتأكد من أنها صحيحة. إذا حصلت على القيم الصحيحة لـ y، فيجب أن تتمكن من استخدامها في حل المعادلة. هذا الجزء بسيط ويتطلب فقط تجربة التعويض بقيمتي y التي أوجدتهما في مكانها في المعادلة كما هو موضح، بما أن الإجابة كانت y = 0 و y = 4:
-
- 'هذه الإجابة صحيحة
-
- هذه الإجابة أيضًا صحيحة.
-
-
تذكر أن المتغيرات تعد عوامل كذلك، حتى مع الأسس. تذكر أن التحليل هو معرفة الأرقام التي يمكن قسممة العبارة عليها من غير باقٍ. العبارة هي طريقة أخرى لقول ، ما يعني أن بإمكانك تحليل كل x وإخراجها إذا وُجد في الحد الآخر x مقابلة لها. عامل المتغيرات كما تتعامل مع أي عدد عادي، مثلًا:
- يمكن تحليل لأن كلا الحدين يحتويان على t. ستكون إجابتك الأخيرة
- يمكنك استبعاد عدة متغيرات في مرة واحدة. على سبيل المثال: يحتوي حديّ العبارة على . يمكنك تحليلها إلى
-
تعرف على ثنائيات الحدود غير المبسطة من خلال جمع الحدود المتشابهة. لنأخذ على سبيل المثال العبارة ، قد يبدو لك أنها تحتوي على أربعة حدود، لكنك إذا نظرت عن كثب سيتبين لك أنها لا تحتوي سوى على حدين اثنين. يمكنك جمع الحدود المتشابهة، وبما أن الحدين 6 و14 كلاهما لا يحتويان على متغير، و 2x و3x يتشاركان نفس المتغير، يمكن إذًا جمعهم، ويصبح التحليل سهلًا بعد ذلك:
- المسألة الأصلية:
- إعادة ترتيب الحدود:
- جمع الحدود المتشابهة:
- إيجاد العامل المشترك الأكبر:
- التحليل:
-
تعرف على القانون الخاص "بالفرق بين مربعين كاملين". المربع الكامل هو رقم إذا أوجدنا جذره التربيعي كان عددًا صحيحًا، مثل و ، أو حتى . إذا كانت ثنائية الحد عبارة عن مسألة طرح بين حدين يمثلان مربعين كاملين، مثل ، يمكنك التعويض في هذا القانون بقيم ثنائية الحد هذه:
- قانون الفرق بين مربعين:
- مسألة للتدريب:
- إيجاد الجذور التربيعية:
- التعويض بالقيم في القانون: . كما فعلنا سابقًا، نوجد ببساطة الجذر التكعيبي لكل حد ونعوض بالقيم في القانون:
- قانون الفرق بين مكعبين:
- مسألة للتدريب:
- إيجاد الجذور التكعيبية:
- التعويض بالمكعبات في القانون: [١] X مصدر بحثي
-
اعرف أن لمجموع المكعبات الكاملة كذلك قانونًا خاصًا. على عكس الفرق بين المربعات الكاملة، يمكنك في حالة جمع المكعبات الكاملة أن تحلها بسهولة باستخدام صيغة بسيطة، مثل . الطريقة هنا مشابهة إلا حد كبير للسابقتين، باستثناء عكس إشارات الجمع والطرح، يظل القانون بنفس سهولة الاثنين الآخرين. كل ما عليك فعله هو تمييز مكعبين في المسألة لاستخدامها:
- قانون مجموع مكعبين:
- مسألة للتدريب:
- إيجاد الجذور التكعيبية:
- التعويض في القانون: [٢] X مصدر بحثي
![{\sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed49f7f0ab2dfb9de3438ac123641fb683a0a0)
![{\sqrt[ {3}]{27}}=3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5392df17ff31f62e3cae649d51dd36bde856ce)
أفكار مفيدة
- ليس لجميع ثنائيات الحدود عوامل مشتركة؛ بعضها مبسط إلى أبسط صورة ممكنة ولا يحتاج للمزيد من التبسيط.
- إذا كنت غير متأكدًا ما إن كان هناك عامل مشترك أم لا، جزئ الحدين لأجزاء صغيرة. على سبيل المثال: إذا لم تعرف أن 16 هي العامل المشترك بين 32 و16، ابدأ بقسمة كلا الرقمين على 2، وعندما يصبح معك الناتجين 16 و8، اقسمهما على 8. الآن لديك 2 و1 وهما أصغر العوامل. من الواضح أن هناك ما هو أكبر من 8 و2 مما يمثل عاملًا مشتركًا للعددين.
- لاحظ أن القوة السادسة (x 6 ) هي عبارة عن مربع كامل و هي في نفس الوقت مكعب كامل. على هذا النحو، يمكنك تطبيق كلا القانونين الخاصين بهذه الحالات وبأي ترتيب تفضله، وهو ما ينطبق على أي ثنائية حد عبارة عن فرق بين حدين مرفوعين للقوة السادسة، مثل: x 6 - 64. صحيح أننا قلنا أن الترتيب لا يهم، لكنك قد تجد أن من الأسهل تطبيق قانون الفرق بين مربعين أولًا حتى تتمكن من تحليل ثنائية الحد تمامًا.
تحذيرات
- لا يمكن تحليل ثنائية حدود عبارة عن مجموع مربعين كاملين.
