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Na álgebra, binômios são dois termos ligados por um sinal de adição ou subtração, como . O primeiro termo sempre inclui uma variável, enquanto o segundo pode ou não a incluir. Fatorar um binômio significa encontrar termos mais simples que, quando multiplicados um pelo outro, produzem aquele número binômio, o que o ajuda a calculá-lo ou simplificá-lo.
Passos
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Reveja os conceitos básicos da fatoração. Fatorar é "quebrar" um número grande em suas partes divisíveis mais simples. Cada uma dessas partes é chamada de "fator". Por exemplo, o número 6 pode ser dividido por quatro números diferentes: 1, 2, 3 e 6. Portanto, os fatores de 6 são 1, 2, 3 e 6.
- Os fatores de 32 são 1, 2, 4, 8, 16 e 32
- Tanto o número "1" quanto o número a ser fatorado sempre vão ser fatores. Sendo assim, os fatores de um número pequeno, como o 3, são apenas o 1 e o 3.
- Os fatores são somente os números perfeitamente divisíveis, ou número "inteiros". Você pode dividir 32 por 3,564 ou 21,4952, vai isso não vai levar a um fator, somente outro decimal.
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Ordene os termos do binômio para facilitar sua leitura. Um binômio nada mais é do que a adição ou subtração de dois números, no qual pelo menos um deles contém uma variável. Às vezes, essas variáveis possuem exponentes, como ou . Ao fatorar um número binômios pela primeira vez, pode ser mais fácil reorganizar as equações com variáveis ascendentes, ou seja, o maior exponente ficando no final. Por exemplo:
- →
- →
-
→
- Veja como o sinal de subtração permanece na frente do 2. Se um termo é subtraído, mantenha o sinal de negativo na frente dele.
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Encontre o maior fator comum de ambos os termos. Em outras palavras, encontre o maior número possível pelo qual ambas as partes do binômio possam ser divididas. Se tiver com dificuldade de encontrá-lo, basta simplificar ambos os números individualmente, depois veja o maior número presente nas duas fatorações. Por exemplo:
- Problema prático:
.
- Fatores de 3: 1, 3
- Fatores de 6: 1, 2, 3, 6.
- O maior fator comum é o 3 .
- Problema prático:
.
-
Divida cada termo pelo maior fator comum. Após encontrar o fator, é preciso removê-lo de cada termo. Saiba, no entanto, que você está apenas "quebrando" os termos, transformando cada um deles em um pequeno problema de divisão. Se você fez tudo certo, ambas as equações vão compartilhar seu fator:
- Problema prático: .
- Encontre o maior fator comum: 3
- Remova o fator de ambos os termos:
-
Multiplique o fator pelo resultado da expressão para terminar. No último problema, você remover o número 3 para obter . Porém, você não estava removendo o número 3 inteiramente; ele foi apenas fatorado para simplificar as coisas. Não se pode remover números sem colocá-los de volta depois! Multiplique seu fator pela expressão para finalmente terminar. Por exemplo:
- Problema prático:
- Encontre o maior fator comum: 3
- Remova o fator de ambos os termos:
- Multiplique o fator pela nova expressão:
- Resposta final fatorada:
-
Confira as contas multiplicando todos os números de volta à equação original. Se você fez tudo certo, a verificação da resposta deverá ser algo fácil. Basta multiplicar o fator por ambas as partes individuais em parênteses. Se o resultado coincidir com o número binômio original e não fatorado, então você fez tudo certo. Do começo ao fim, resolva a expressão para praticar:
- Reorganize os termos:
- Encontre o maior denominador comum:
- Remova o fator de ambos os termos:
- Multiplique o fator pela nova expressão:
- Verifique a resposta:
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Use a fatoração para simplificar equações e facilitar a resolução. Ao calcular uma equação com números binômios, principalmente os complexos, pode parecer que não há uma solução. Por exemplo, tente calcular . Uma forma de resolver uma expressão, principalmente com exponentes, é fatorá-la antes:
- Problema prático:
- Lembre-se de que os números binômios devem ter apenas dois termos. Se houver mais do que dois termos, vai ser preciso aprender como calcular polinômios.
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Some e subtraia para que um lado da equação equivalha a zero. Essa estratégia confia em um dos fatos mais básicos da matemática: qualquer número multiplicado por zero equivale a zero. Portanto, se a equação equivaler a zero, então um dos termos deve ser zero! Para começar, iguale um lado a zero por meio da soma e subtração.
- Problema prático:
- Iguale a 0:
-
Fatore o lado oposto a zero como faria normalmente. Agora, você pode fingir que o outro lado não existe por um passo. Basta encontrar o maior fator comum, dividi-lo e criar uma expressão fatorada.
- Problema prático:
- Iguale a 0:
- Fatore:
-
Iguale o lado de dentro e de fora dos parênteses a zero. No problema prático, você está multiplicando 2y por 4 - y, e isso deve ser igual a zero. Como qualquer número multiplicado a zero equivale a zero, isso significa que 2y ou 4 - y deve ser igual a 0. Crie duas equações separadas para saber qual "y" deve estar de cada lado para equivaler a zero.
- Problema prático:
- Iguale a 0:
- Fatore:
- Iguale ambas as partes a 0:
-
Calcule ambos os lados do zero para obter a resposta final (ou respostas). Podem haver uma ou mais respostas. Lembre-se: somente um lado deve ser igual a zero, então você deve obter alguns valores diferentes de "y" que resolvam a mesma equação. Para o final do problema prático:
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- y = 0
-
- y = 4
-
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Substitua os valores da resposta para verificar se elas funcionam. Se você obteve os valores corretos de "y", então é possível usá-los para resolver a equação. Isso é muito simples; basta substituir cada valor de "y" pela variável, conforme exibido abaixo. Como as respostas foram y = 0 e y = 4:
-
- Essa é a resposta correta
-
- Essa resposta também está correta
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Lembre-se de que as variáveis também contam como fatores, mesmo com exponentes. Não se esqueça que fatorar nada mais é do que encontrar os divisíveis inteiros de um número. A expressão é uma outra forma de representar . Isso significa que você pode fatorar cada "x" se o outro termo também possuir um. Trate as variáveis da mesma forma que um número normal. Por exemplo:
- pode ser fatorado, pois ambos os termos contêm um "t". A resposta final vai ser .
- Você pode até mesmo tirar várias variáveis ao mesmo tempo. Por exemplo, na equação ambos os termos contêm o mesmo . Você pode fatorá-la para .
-
Reconheça número binômios não simplificados agrupando os termos semelhantes. Use, por exemplo, a expressão . Pode parecer que existem quatro termos, mas olhe atentamente e veja que na verdade só existem dois. É possível somar termos semelhantes, e como os números 6 e 14 não possuem variáveis, e os termos 2x e 3x possuem a mesma variável, eles podem ser agrupados. Agora, a fatoração fica fácil:
- Problema original:
- Reorganize os termos:
- Agrupe os termos semelhantes:
- Encontre o maior fator comum:
- Fatore:
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Reconheça a "diferença especial das raízes perfeitas". Uma raiz perfeita é um número cuja raiz quadrada é um número inteiro, como , ou até mesmo Caso seu binômio seja um problema de subtração com duas raízes perfeitas, como , você pode simplesmente substituí-los na fórmula:
- Fórmula da diferença de raízes perfeitas:
- Problema prático:
- Calcule as raízes quadradas:
- Substitua as raízes na fórmula:
-
Aprenda a repartição da "diferença das raízes cúbicas perfeitas". Assim como as raízes perfeitas, essa é uma fórmula simples para usar quando você tiver dois termos cúbicos subtraídos um pelo outro. Por exemplo, . Da mesma forma que antes, basta achar a raiz cúbica de cada termo e substituí-la na fórmula:
- Fórmula da diferença dos cubos perfeitos:
- Problema prático:
- Calcule as raízes cúbicas:
- Substitua as raízes na fórmula: [1] X Fonte de pesquisa
-
Saiba que a soma dos cubos perfeitos também cabe em uma fórmula. Diferentemente dos quadrados perfeitos, também é possível calcular a soma de raízes cúbicas, como , com uma fórmula simples. Ela é quase igual à fórmula anterior, mas com os sinais de soma e subtração invertidos. A fórmula é tão fácil quanto as outras duas, e tudo o que você precisa fazer é reconhecer os dois cubos no problema para usá-los:
- Fórmula da soma dos cubos perfeitos:
- Problema prático:
- Calcule as raízes cúbicas:
- Substitua as raízes na fórmula: [2] X Fonte de pesquisa
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![{\sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed49f7f0ab2dfb9de3438ac123641fb683a0a0)
![{\sqrt[ {3}]{27}}=3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5392df17ff31f62e3cae649d51dd36bde856ce)
Dicas
- Nem todos os binômios possuem fatores comuns! Alguns deles já aparecem em sua forma mais simples possível.
- Caso não tenha certeza se existe um fator comum, divida pela menor parte. Por exemplo, se você não reconhece que 16 é o fator comum entre 32 e 16, comece dividindo ambos os números por 2. Você vai ficar com os números 16 e 8, que podem ser divididos por 8. Agora, você tem os números 2 e 1, ou seja, os fatores menores. Com certeza há algo maior do que 8 e 2 que seja um fator comum.
- Saiba que a sexta potência (x 6 ) é tanto um quadrado perfeito quanto um cubo perfeito. Portanto, você pode aplicar ambas as formas especiais acima, em qualquer ordem, para um binômio que seja a diferença das sextas potências perfeitas, como x 6 - 64. No entanto, pode ser muito mais fácil aplicar antes a fórmula dos quadrados perfeitos, para que você possa fatorar completamente o binômio.
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Avisos
- Um binômio que é a soma de quadrados perfeitos não pode ser fatorado.
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Referências
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