Pdf downloaden
Pdf downloaden
In de algebra zijn binomialen uitdrukkingen met twee termen die met elkaar verbonden zijn door een plusteken of minteken, zoals . De eerste term omvat altijd een variabele, terwijl dat niet het geval hoeft te zijn voor de tweede term. Het ontbonden in factoren van een binomiaal betekent het zoeken naar eenvoudiger termen die, wanneer met elkaar vermenigvuldigd, die binomiale expressie produceren, wat helpt bij het oplossen of vereenvoudigen voor verdere taken.
Stappen
-
Neem de basisprincipes van het ontbinden in factoren nogmaals door. Ontbinden in factoren is het opdelen van een groot getal in diens eenvoudigste deeltallen. Elke één van deze onderdelen wordt een 'factor' genoemd. Bijvoorbeeld, het getal 6 is deelbaar door vier verschillende getallen: 1, 2, 3 en 6. Dus zijn 1, 2, 3 en 6 de factoren van 6.
- De factoren van 32 zijn 1, 2, 4, 8, 16 en 32
- Zowel '1' als het getal dat je ontbindt zijn altijd factoren. Dus zijn de factoren van een klein getal als 3 gewoon 1 en 3.
- Factoren zijn alleen die getallen die volledig deelbaar zijn, oftewel de 'gehele' getallen. Je zou 32 kunnen delen door 3,564 of 21,4952, maar dat zijn geen factoren, alleen maar kommagetallen.
-
Noteer de termen van de binomiaal op volgorde om ze gemakkelijker te maken om te lezen. Een binomiaal is niets anders dan de optelling of aftrekking van twee termen, waarvan in ieder geval één een variabele bevat. Soms hebben deze variabelen exponenten, zoals of . Probeer je voor het eerst om binomialen te ontbinden, dan helpt het om de vergelijkingen naar aflopende variabele termen te ordenen, wat betekent dat de grootste exponent als laatste komt. Bijvoorbeeld:
- →
- →
-
→
- Let op hoe de mintekens voor de 2 blijven staan. Indien een term wordt afgetrokken, blijft het minteken ervoor staan.
-
Zoek de grootste gemene deler van beide termen. Dit betekent dat je het grootste getal zoekt waar beide delen van de binomiaal deelbaar door zijn. Lukt dit niet, ontbind dan beide getallen op zich en kijk wat het hoogste overeenkomende getal is. Bijvoorbeeld:
- Oefenopgave:
.
- Factoren van 3: 1, 3
- Factoren van 6: 1, 2, 3, 6.
- ' De grootste gemene deler is 3'.
- Oefenopgave:
.
-
Deel de grootste gemene deler voor elke term. Weet je de gemene deler, dan moet je het verwijderen uit elke term. Merk op dat je de termen gewoon opdeelt waardoor elk een kleiner deelprobleem wordt. Doe je het goed, dan hebben beide vergelijkingen dezelfde factor:
- Oefenopgave: .
- Grootste gemene delers vinden: 3
- Factor uit beide termen verwijderen:
-
Vermenigvuldig je factor met de resulterende expressie om dit af te ronden. In het laatste probleem heb je een 3 verwijderd en krijg je . Maar je wilt de 3 niet volledig wegwerken, maar alleen ontbinden in factoren om de zaken te vereenvoudigen. Je kunt getallen niet zomaar wissen zonder ze terug te plaatsen! Vermenigvuldig de factor met de expressie, om dit gedeelte af te ronden. Bijvoorbeeld:
- Oefenopgave:
- Grootste gemene delers vinden: 3
- Factor uit beide termen verwijderen:
- Factor vermenigvuldigen met nieuwe expressie:
- Uiteindelijke ontbonden antwoord:
-
Controleer je werk door te vermenigvuldigen naar de oorspronkelijke vergelijking. Als je alles goed hebt gedaan, is het eenvoudig om te controleren of je het goed hebt gedaan. Vermenigvuldig je factor met beide afzonderlijke termen tussen de haakjes. Als het overeenkomt met de oorspronkelijke gegeven binomiaal, dan heb je het allemaal goed gedaan. Van begin tot eind lossen we de expressie op om te oefenen:
- Termen opnieuw ordenen:
- De grootste gemene deler vinden:
- Factor uit beide termen verwijderen:
- Factor vermenigvuldigen met nieuwe expressie:
- Antwoord controleren:
Advertentie
-
Ontbind in factoren om vergelijkingen te vereenvoudigen zodat ze gemakkelijker zijn om op te lossen. Bij het oplossen van een vergelijking met binomialen, vooral complexe binomialen, kan het lijken alsof er geen manier is om alles met elkaar overeen te laten komen. Bijvoorbeeld, probeer het volgende op te lossen: . Een manier om dit te doen, vooral bij exponenten, is door eerst te ontbinden in factoren.
- Oefenopgave:
- Vergeet niet dat binomialen slechts twee termen mogen hebben. Als er meer dan twee termen zijn, moet je leren om polynomen op te lossen.
-
Tel op en trek af zodat een kant van de vergelijking gelijk is aan nul. Deze hele strategie steunt op een van de meest fundamentele feiten van wiskunde: iets vermenigvuldigd met nul moet gelijk zijn aan nul. Dus als je vergelijking gelijk is aan nul, dan moet een van de ontbonden termen gelijk zijn aan nul! Om te beginnen ga je optellen en aftrekken, zodat een zijde gelijk is aan nul.
- Oefenopgave:
- Gelijkmaken aan nul:
-
Ontbind de kant die niet nul is zoals je gewend bent. Op dit punt doe je even alsof de andere kant niet bestaat. Bepaal de grootste gemene deler, deel die op, en maak vervolgens je ontbonden expressie.
- Oefenopgave:
- Gelijkmaken aan nul:
- Ontbinden:
-
Stel de termen binnen en buiten de haakjes gelijk aan nul. In de oefenopgave vermenigvuldig je 2y met (4 – y), en moet dit gelijk zijn aan nul. Aangezien iets dat vermenigvuldigd wordt met nul gelijk is aan nul, betekent dit dat 2y of (4 – y) gelijk moet zijn aan nul. Maak twee afzonderlijke vergelijkingen om erachter te komen welke waarde y moet hebben om één van beide kanten gelijk te maken aan nul.
- Oefenopgave:
- Gelijkmaken aan nul:
- Ontbinden:
- Maak beide termen gelijk aan nul 0:
-
Los beide vergelijkingen op voor nul voor het definitieve antwoord of de antwoorden. Je kunt één antwoord, of meerdere antwoorden krijgen. Vergeet niet, slechts één kant moet gelijk zijn aan nul, dus kun je een paar verschillende waarden krijgen voor y die dezelfde vergelijking oplossen. De laatste stappen van de oefenopgave:
-
- y = 0
-
- y = 4
-
-
Pas je antwoorden weer toe op de originele vergelijking om te controleren of ze kloppen. Als je de juiste waarden hebt gevonden voor y, dan moeten je ze kunnen gebruiken om de vergelijking op te lossen. Dit is zo simpel als het uitproberen van elke waarde van y in plaats van de variabele, zoals hieronder weergegeven. De antwoorden zijn y = 0 en y = 4, en dus:
-
- Dit antwoord is juist
-
- Dit antwoord is ook juist .
Advertentie -
-
Vergeet niet dat variabelen ook als factoren gelden, zelfs met exponenten. Denk eraan dat het ontbinden in factoren gaat over het bepalen welke getallen in het gehele getal passen. De uitdrukking is een andere manier om te zeggen . Dit betekent dat je elke x buiten haakjes kunt plaatsen als de andere term er ook een heeft. Behandel variabelen net zo als gewone getallen. Bijvoorbeeld:
- kan worden ontbonden, omdat beide termen een t bevatten. Het uiteindelijke antwoord wordt
- Je kunt zelfs meerdere variabelen tegelijkertijd buiten haakjes plaatsen. Bijvoorbeeld, in bevatten beide termen dezelfde . Je kunt dit ontbinden in
-
Herken nog niet vereenvoudigde binomialen door het combineren van gelijke termen. Neem bijvoorbeeld de uitdrukking . Hierbij lijkt het alsof je te maken hebt met vier termen, maar als je beter kijkt zal je beseffen dat het er slechts twee zijn. Je kunt gelijke termen optellen en omdat zowel 6 als 14 geen variabele hebben en 2x en 3x dezelfde variabele delen, kunnen deze worden samengevoegd. Het ontbinden is dan eenvoudig:
- Oorspronkelijke opgave:
- Termen opnieuw ordenen:
- Gelijke termen samenvoegen:
- Grootste gemene delers vinden:
- Ontbinden:
-
Herken het speciale 'verschil van perfecte vierkanten'. Een perfect vierkant is een getal waarvan de wortel een geheel getal is, zoals , , of zelfs Indien je binomiaal een minsom is met twee perfecte vierkanten, zoals , dan kun je ze gewoon in deze formule gebruiken:
- De formule voor het verschil van perfecte vierkanten:
- Oefenopgave:
- Bepaal de vierkantswortels:
- Pas vierkantswortels toe op formule: [1] X Bron
-
Leer het 'verschil van perfecte kubussen' op te vereenvoudigen. Net als de perfecte vierkanten is dit een eenvoudige formule waarbij twee derdemachten van elkaar worden afgetrokken. Bijvoorbeeld, . Net zoals eerder zoek je naar de derdemachtswortel van elk, en gebruik je die in de formule:
- Formule voor het verschil van derdemachten:
- Oefenopgave:
- Bepaal de derdemachtswortels:
- Pas derdemachten toe op de formule: [2] X Bron
-
Weet dat de som van perfecte kubussen ook in een formule past. In tegenstelling tot het verschil van perfecte vierkanten kun je opgetelde derdemachten, zoals , ook gemakkelijk vinden met een eenvoudige formule. Dit is bijna exact hetzelfde als hierboven, maar dan met een aantal plussen en minnen omgedraaid. De formule is net zo makkelijk als de andere twee, en het enige dat je hoeft te doen is het herkennen van de twee kubussen in de opgave:
- Formule voor de som van perfecte kubussen:
- Oefenopgave:
- Bepaal de derdemachtswortels:
- Pas de derdemachten toe op de formule: [3] X Bron
Advertentie
![{\sqrt[ {3}]{8x^{3}}}=2x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77ed49f7f0ab2dfb9de3438ac123641fb683a0a0)
![{\sqrt[ {3}]{27}}=3](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5392df17ff31f62e3cae649d51dd36bde856ce)
Tips
- Niet alle binomialen hebben gemene delers! Sommige zijn al zoveel mogelijk vereenvoudigd.
- Als je niet zeker weet of er een gemene deler is, deel dan eerst door kleinere getallen. Bijvoorbeeld, als je niet direct inziet dat 16 de gemene deler is van 32 en 16, begin dan met beide getallen te delen door 2. Je houdt dan 16 en 8 over, die ook door 8 gedeeld kunnen worden. Nu heb je 2 en 1, de kleinste factoren. Er is duidelijk een gemene deler die groter is dan 8 en 2.
- Merk op dat een zesde macht (x 6 ) zowel een perfect vierkant en een perfecte kubus is. Je kunt dus beide hierboven uiteengezette speciale formules in willekeurige volgorde, toepassen op een binomiaal die het verschil vormt van perfecte zesde machten, zoals x 6 - 64. Je zou het echter wel eens gemakkelijker kunnen vinden om de verschilformule voor perfecte vierkanten eerst toe te passen, zodat je de binomiaal verder kunt ontbinden in factoren.
Advertentie
Waarschuwingen
- Een binomiaal die de som is van perfecte vierkanten kan niet worden ontbonden in factoren.
Advertentie
Bronnen
Over dit artikel
Deze pagina is 2.109 keer bekeken.
Advertentie
Meld je aan voor de gratis nieuwsbrief van wikiHow!
Je vindt dan elke week handige handleidingen in je inbox.
Meld me aan!
