Как вывести формулу кинетической энергии

Соавтор(ы): Joseph Meyer

Когда на движущееся тело не действуют противодействующие силы, оно двигается с постоянной скоростью — это следует из первого закона Ньютона. Однако если на движущееся тело действует сила, направление которой совпадает с направлением движения тела, оно будет ускоряться в соответствии со вторым законом Ньютона $\mathbf {F} =m\mathbf {a} .$ Работа, выполненная силой, будет преобразована в кинетическую энергию, значение которой будет расти. В этой статье мы выведем формулу для вычисления кинетической энергии на основе изложенных принципов.

Метод 1

Метод 1 из 2:

С помощью интегралов

Загрузить PDF

1
Запишите формулу, связывающую работу и энергию. Работа, выполненная над телом, равна изменению его кинетической энергии.
- $\Delta K=W$
2
Вместо работы подставьте в формулу интеграл. То есть в формуле замените работу на интеграл произведения силы и перемещения тела.
- $\Delta K=\int \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$
3
Вместо силы подставьте произведение массы и ускорения. Теперь вместо ускорения подставьте изменение скорости, деленное на изменение времени. Обратите внимание, что масса является скалярной величиной, поэтому ее можно вынести за интеграл.
- ${\begin{aligned}\Delta K&=\int m\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=m\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}$
4
Избавьтесь от перемещения и времени. Обратите внимание, что перемещение, деленное на изменение времени, равно скорости. Поэтому перепишите формулу так:
- ${\begin{aligned}\Delta K&=m\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {v} \\&=m\int \mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {v} \end{aligned}}$
5
Возьмите интеграл по изменению скорости. Как правило, начальная скорость $v_{0}$ равна 0.
- ${\begin{aligned}\Delta K&={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}$
Реклама

Метод 2

Метод 2 из 2:

С помощью обычных математических операций

Загрузить PDF

1
Запишите формулу, связывающую работу и энергию. Работа, выполненная над телом, равна изменению его кинетической энергии.
- $\Delta K=W$
2
Вместо работы подставьте в формулу произведение силы и перемещения тела. Теперь силу замените произведением массы и ускорения. Так как мы используем обычные математические операции (а не интегралы), здесь ускорение считается постоянным (то есть не меняется).
- ${\begin{aligned}\Delta K&=F\Delta x\\&=ma\Delta x\end{aligned}}$
- В этой формуле $\Delta x$ — это перемещение тела.
3
Запишите формулу для вычисления скорости по начальной скорости, ускорению и перемещению. Есть формулы, которые включают время, перемещение, скорость и ускорение, но ниже приведена формула, в которой времени нет.
- $v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x$
- Если тело начинает движение из состояния покоя, начальная скорость $v_{0}=0.$
4
На основании предыдущей формулы выведите формулу для вычисления ускорения. Помните, что начальная скорость равна 0.
- $a={\frac {v^{2}}{2\Delta x}}$
5
Подставьте выражение для нахождения ускорения в исходную формулу, а затем упростите ее.
- ${\begin{aligned}\Delta K&=m\left({\frac {v^{2}}{2\Delta x}}\right)\Delta x\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}$
Реклама