ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
ตัวประกอบ ของจำนวนใดจำนวนหนึ่งคือ ค่าใดก็ตามที่เมื่อนำมาคูณกันแล้วได้ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนนั้น หรือกล่าวได้ว่า จำนวนไม่ว่าจะเป็นจำนวนใดก็ตาม ล้วนมีค่าเท่ากับผลคูณของตัวประกอบของจำนวนนั้นทั้งหมด ดังนั้นการแยกตัวประกอบก็คือ การนำจำนวนใดจำนวนหนึ่งมาเขียนให้อยู่ในรูปของจำนวนสองจำนวนคูณกัน หรือมากกว่าสองจำนวนคูณกัน ซึ่งถ้าคุณเข้าใจกระบวนการดังกล่าว คุณก็จะมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ไม่เพียงด้านเลขคณิตเท่านั้น แต่รวมถึงพีชคณิต แคลคูลัส และด้านอื่นๆ ด้วย ถ้าอยากรู้ว่าการแยกตัวประกอบมีวิธีการอย่างไร ก็มาเริ่มที่ขั้นตอนแรกกันเลย
ขั้นตอน
-
เขียนจำนวนที่ต้องการแยกตัวประกอบลงไป. ขั้นแรกคุณต้องมีจำนวนที่ต้องการแยกตัวประกอบก่อน จะเป็นจำนวนใดก็ได้ตามต้องการ แต่เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ เรามาเริ่มจากจำนวนเต็มก่อนดีกว่า ( จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่สามารถเขียนได้โดยไม่อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยม ทั้งนี้จำนวนเต็มสามารถมีค่าบวกหรือลบก็ได้)
- สมมติว่าเราต้องการแยกตัวประกอบของ 12 ก็ให้คุณเขียนเลข 12 ลงบนกระดาษ เพื่อเตรียมแยกตัวประกอบในขั้นตอนถัดไป
-
หาจำนวนสองจำนวนที่เมื่อนำมาคูณกันแล้วมีค่าเท่ากับจำนวนแรก. จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของจำนวนสองจำนวนคูณกันได้ แม้แต่จำนวนเฉพาะก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปดังกล่าวได้เช่นกัน คืออยู่ในรูปของ 1 คูณกับตัวมันเอง ทั้งนี้เพื่อให้ง่ายต่อการหาตัวประกอบ คุณลองคิดแบบกลับหลังดู กล่าวคือแทนที่จะตั้งโจทย์ว่า “จำนวนนี้มีค่าเท่ากับจำนวนอะไรคูณกัน” ก็ตั้งโจทย์ว่า “จำนวนอะไรที่เมื่อนำมาคูณกันแล้วมีค่าเท่ากับจำนวนนี้”
- จากตัวอย่างของเราในขั้นตอนที่แล้ว ก็จะเห็นได้ว่า 12 สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนสองจำนวนคูณกันได้ดังนี้ 12 × 1, 6 × 2, 3 × 4 ซึ่งล้วนคูณกันได้ 12 ทั้งหมด ดังนั้นตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ทั้งนี้ให้เราพิจารณา 6 กับ 2 ก่อน เพื่อใช้อธิบายในขั้นตอนถัดไป
- การแยกตัวประกอบจำนวนที่เป็นจำนวนคู่นั้นง่ายกว่าจำนวนคี่ เนื่องจากจำนวนคู่ไม่ว่าจะเป็นจำนวนใดก็ตามมี 2 เป็นตัวประกอบเสมอ เช่น 4 = 2 × 2 หรือ 26 = 13 × 2
-
เช็คดูว่ามีจำนวนใดในตัวประกอบที่สามารถแยกตัวประกอบได้อีก. จำนวนที่มีค่ามากสามารถแยกตัวประกอบได้หลายครั้ง โดยเมื่อคุณได้จำนวนสองจำนวนที่เป็นตัวประกอบแล้ว ถ้าหนึ่งในจำนวนนั้นสามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนสองจำนวนคูณกันได้อีก คุณอาจแยกตัวประกอบอีกครั้งก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ เพราะบางครั้งก็มีประโยชน์ บางครั้งก็ไม่มีประโยชน์
- จากตัวอย่าง เมื่อเราเขียน 12 ให้อยู่ในรูปของ 2 × 6 ได้แล้ว ก็จะสังเกตได้ว่า 6 ยังสามารถเขียนอยู่ในรูปของ 3 × 2 ได้อีก ดังนั้นเราสามารถกล่าวได้ว่า 12 มีค่าเท่ากับ 2 × (3 × 2)
-
หยุดแยกตัวประกอบเมื่อเจอจำนวนเฉพาะ. (จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนสองจำนวนคูณกันได้เป็น 1 คูณกับตัวมันเองเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 3 = 1 × 3 หรือ 17 = 1 × 17 เป็นต้น) เมื่อคุณแยกตัวประกอบไปเรื่อยๆ สุดท้ายก็จะได้ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งไม่มีประโยชน์ที่จะแยกตัวประกอบเป็น 1 คูณด้วยจำนวนเฉพาะนั้นอีก เพราะฉะนั้นจึงต้องหยุดเมื่อได้จำนวนเฉพาะแล้ว
- จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่แล้วเราได้ 12 = 2 × (3 × 2) ซึ่งจะสังเกตได้ว่า 2, 2, 3 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจึงไม่ควรแยกตัวประกอบอีก เพราะถ้าเราแยกตัวประกอบอีกเป็น (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)) ก็จะเห็นได้ว่ามันไม่มีประโยชน์อะไร
-
การแยกตัวประกอบจำนวนที่มีค่าเป็นลบก็ทำแบบเดียวกัน. วิธีการแยกตัวประกอบจำนวนที่มีค่าเป็นลบต่างจากจำนวนที่มีค่าเป็นบวกเล็กน้อยเท่านั้น นั่นคือผลคูณของตัวประกอบต้องมีค่าเป็นลบ ดังนั้นจึงต้องมีตัวประกอบที่มีค่าลบจำนวน 1 ตัว หรือ 3 ตัว หรือ 5 ตัว หรือ 7 ตัว... หรือมีจำนวนเป็นจำนวนคี่
- ตัวอย่าง: สมมติว่าเราต้องการหาตัวประกอบของ -60 เราก็สามารถทำได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้
- -60 = -10 × 6
- -60 = (-5 × 2) × 6
- -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
- -60 = -5 × 2 × 3 × 2
- จะเห็นได้ว่ามีตัวประกอบเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่มีค่าเป็นลบ นั่นคือ -5 ถึงกระนั้นเราก็สามารถแยกตัวประกอบเป็นแบบอื่นได้อีก เช่น -60 = -5 × 2 × -3 × -2 ซึ่งจะเห็นได้ว่ามีตัวประกอบสามตัวมีค่าเป็นลบ ดังนั้นเมื่อนำจำนวนที่มีค่าลบมาแยกตัวประกอบแล้ว จำนวนของตัวประกอบที่มีค่าลบต้องมีเป็นจำนวนคี่
โฆษณา - ตัวอย่าง: สมมติว่าเราต้องการหาตัวประกอบของ -60 เราก็สามารถทำได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้
-
วาดตารางที่แบ่งเป็นสองคอลัมน์ แล้วเขียนจำนวนที่ต้องการหาตัวประกอบไว้ด้านบน. การแยกตัวประกอบจำนวนที่มีค่าน้อยนั้นง่ายอย่างกับปลอกกล้วยเข้าปาก แต่สำหรับจำนวนที่มีค่ามากกลับยากอย่างกับเข็นครกขึ้นภูเขา คนส่วนใหญ่ต้องใช้ความพยายามอย่างมากในการแยกตัวประกอบจำนวนที่มี 4 หรือ 5 หลัก แต่โชคดีที่เรามีเทคนิค เพียงแค่ใช้ตารางทุกอย่างก็จะง่ายขึ้นเยอะ เริ่มจากวาดตารางที่แบ่งเป็นสองคอลัมน์ซ้ายขวา จากนั้นเขียนจำนวนที่ต้องการหาตัวประกอบไว้ด้านบน เราจะใช้ตารางนี้ในการแยกตัวประกอบไปเรื่อยๆ แล้วคุณก็จะเห็นว่ามันไม่ยากเลย
- เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ สมมติว่าเราต้องการแยกตัวประกอบของจำนวนที่มี 4 หลักอย่าง 6,552 ก็ให้เขียนจำนวนนี้ไว้บนตาราง
-
นำจำนวนนั้นมาหารด้วยตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด. การนำจำนวนที่ต้องการหาตัวประกอบมาหารด้วยตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยที่สุด ผลลัพธ์ที่ได้ต้องไม่มีเศษ หรือต้องหารลงตัว เมื่อหาจำนวนเฉพาะนั้นได้แล้ว ก็นำมาเขียนไว้ในคอลัมน์ซ้าย และเขียนผลหารไว้คอลัมน์ขวา อย่างที่กล่าวไว้ในข้างต้น จำนวนที่เป็นจำนวนคู่มักหาตัวประกอบได้ง่ายกว่าจำนวนคี่ เนื่องจากจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งสามารถหารจำนวนคู่ได้ลงตัวเสมอคือ 2 หรือพูดได้ว่าทุกจำนวนคู่มี 2 เป็นตัวประกอบเสมอ ขณะที่จำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดซึ่งสามารถหารจำนวนคี่ได้ลงตัวนั้นมีค่าแตกต่างกันไป หรือพูดได้ว่าแต่ละจำนวนคี่มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดไม่เหมือนกัน
- จากตัวอย่างของเรา เมื่อ 6,552 เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นต้องมี 2 เป็นตัวประกอบแน่นอน ซึ่งเมื่อนำ 6,552 มาหารด้วย 2 ก็จะได้ 6,552 ÷ 2 = 3,276 จากนั้นให้เขียน 2 ไว้ในคอลัมน์ซ้าย และเขียน 3,276 ไว้ในคอลัมน์ขวา
-
แยกตัวประกอบไปเรื่อยๆ. แยกตัวประกอบจำนวนที่อยู่คอลัมน์ขวา โดยนำจำนวนดังกล่าวมาหารด้วยตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยที่สุด เมื่อหาจำนวนเฉพาะนั้นได้แล้วก็นำมาเขียนไว้ในคอลัมน์ซ้าย แล้วเขียนผลหารไว้ในคอลัมน์ขวา ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ เพื่อให้จำนวนที่อยู่ในคอลัมน์ขวามีค่าน้อยลง
- จากขั้นตอนที่แล้ว เมื่อเราได้ 3,276 ก็นำมาหารด้วย 2 อีกครั้งเป็น 3,276 ÷ 2 = 1,638 จากนั้นเขียน 2 ไว้ในคอลัมน์ซ้าย และเขียน 1,638 ไว้ในคอลัมน์ขวา ต่อไปก็นำ 1,638 มาหารด้วย 2 อีกครั้งเป็น 1,638 ÷ 2 = 819 จากนั้นก็เขียน 2 ไว้ในคอลัมน์ซ้าย และเขียน 819 ไว้ในคอลัมน์ขวา
-
เมื่อได้จำนวนคี่ ให้ลองหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยๆ. ในกรณีที่เป็นจำนวนคี่ การหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย ต่างจากจำนวนคู่ที่มี 2 เป็นตัวประกอบเสมอ ดังนั้นเมื่อคุณหารจำนวนต่างๆ มาเรื่อยๆ จนได้จำนวนคี่ ให้ลองนำจำนวนคี่นั้นมาหารด้วยจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 2 (เช่น 3, 5, 7, 11, ...) เมื่อเจอจำนวนเฉพาะที่หารลงตัว ก็แสดงว่าคุณเจอตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยที่สุดแล้ว
- จากตัวอย่าง เมื่อเราได้ 819 ซึ่งเป็นจำนวนคี่แล้ว ก็แสดงว่าหารด้วย 2 ไม่ลงตัวอีกต่อไป ดังนั้นลองหาจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 2 ดู เช่น 3 ซึ่งเมื่อมานำ 819 มาหารด้วย 3 ก็จะได้ 819 ÷ 3 = 273 ซึ่งหารได้ลงตัว ไม่มีเศษ ดังนั้นก็เขียน 3 กับ 273 ลงในตารางได้เลย
- เนื่องจากตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยที่สุด จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สองของตัวประกอบที่มีค่ามากที่สุด ดังนั้นคุณควรหาจำนวนเฉพาะที่อยู่ในช่วงดังกล่าว แต่ถ้ายังหาไม่ได้ ก็เป็นไปได้ว่าคุณกำลังแยกตัวประกอบของจำนวนเฉพาะอยู่ ซึ่งถ้ามันเป็นจำนวนเฉพาะจริง ก็ถือว่าคุณแยกตัวประกอบเสร็จแล้ว
-
ทำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้ “1”. นำจำนวนในคอลัมน์ขวามาหารด้วยตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยที่สุดไปเรื่อยๆ จนกว่าจำนวนในคอลัมน์ขวาจะเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งเมื่อได้จำนวนเฉพาะแล้วก็นำจำนวนนั้นมาหารด้วยตัวมันเอง แล้วเราก็จะได้จำนวนเฉพาะดังกล่าวอยู่ในคอลัมน์ซ้าย และ “1” ในคอลัมน์ขวา
- จากตัวอย่าง เรามาแยกตัวประกอบให้เสร็จกันเถอะ โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้
- เมื่อเราได้ 273 ในคอลัมน์ขวาแล้วก็นำมันมาหารด้วย 3 ซึ่งจะได้ 273 ÷ 3 = 91 ซึ่งหารได้ลงตัว ไม่มีเศษ จากนั้นก็เขียน 3 กับ 91 ลงในตาราง
- ลองหารด้วย 3 อีกครั้ง แต่เนื่องจาก 91 ไม่มี 3 เป็นตัวประกอบ จึงหารด้วย 3 ไม่ลงตัว ดังนั้นเราต้องหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยที่สุดตัวถัดไป นั่นคือ 5 แต่ 91 ก็หารด้วย 5 ไม่ลงตัวเช่นกัน จึงต้องหาตัดถัดไปอีก นั่นก็คือ 7 เมื่อนำ 91 มาหารด้วย 7 ก็จะได้ 91 ÷ 7 = 13 ซึ่งหารได้ลงตัว ไม่มีเศษ ดังนั้นก็เขียน 7 กับ 13 ลงในตารางได้เลย
- ลองหารด้วย 7 อีกครั้ง แต่เนื่องจาก 13 ไม่มี 7 เป็นตัวประกอบ จึงหารด้วย 7 ไม่ลงตัว ดังนั้นจึงต้องใช้จำนวนเฉพาะตัวถัดไป นั่นคือ 11 แต่ก็หารไม่ลงตัวเช่นกัน จึงต้องใช้ตัวถัดไปอีก คือ 13 หรือตัวมันเอง ซึ่งเมื่อนำ 13 มาหารด้วย 13 ก็จะได้ 13 ÷ 13 = 1 ซึ่งหารลงตัว ไม่เหลือเศษ ดังนั้นก็เขียน 13 กับ 1 ลงในตารางได้เลย และเมื่อคอลัมน์ขวาได้ “1” แล้ว ก็แสดงว่าเราแยกตัวประกอบสำเร็จแล้วเรียบร้อย
- จากตัวอย่าง เรามาแยกตัวประกอบให้เสร็จกันเถอะ โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้
-
ตัวเลขที่อยู่ในคอลัมน์ซ้ายคือตัวประกอบของจำนวนที่อยู่บนตาราง. เมื่อได้ “1” ในคอลัมน์ขวาแล้ว แสดงว่าคุณแยกตัวประกอบเสร็จแล้ว ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่คอลัมน์ซ้ายคือตัวประกอบของจำนวนที่อยู่บนตาราง หรือกล่าวได้ว่า เมื่อนำเลขทั้งหมดในคอลัมน์ซ้ายมาคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเท่ากับจำนวนที่อยู่บนตาราง ทั้งนี้ถ้ามีเลขใดที่ซ้ำกัน เราสามารถเขียนอยู่ในรูปเลขยกกำลังได้ เพื่อประหยัดพื้นที่ ตัวอย่างเช่น ถ้าในคอลัมน์ซ้ายมี 2 ซ้ำกันสี่ตัว ก็ให้เขียนว่า 2 4 ดีกว่าเขียนยาวๆ อย่าง 2 × 2 × 2 × 2
- จากตัวอย่าง เมื่อเราแยกตัวประกอบเสร็จแล้ว ให้สังเกตคอลัมน์ซ้าย นั่นคือตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดของ 6,552 เนื่องจาก 6,552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13
โฆษณา
เคล็ดลับ
- จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่สองตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น 3 เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากมีเพียง 1 กับ 3 เป็นตัวประกอบ ส่วน 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากมี 1, 2, 4 เป็นตัวประกอบ โดยเราเรียกจำนวนดังกล่าวนี้ว่า จำนวนประกอบ (สำหรับ 1 ไม่เป็นทั้งจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ เนื่องจากเป็นกรณียกเว้น)
- จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อย ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 และ 23
- จำนวนใดจำนวนหนึ่งจะเป็น ตัวประกอบ ของอีกจำนวนหนึ่งก็ต่อเมื่อ จำนวนที่มากกว่าหารด้วยจำนวนที่น้อยกว่าแล้วไม่เหลือเศษ หรือหารได้ลงตัว ตัวอย่างเช่น 6 เป็นตัวประกอบของ 24 เนื่องจาก 24 หารด้วย 6 ลงตัว ซึ่งมีค่าเท่ากับ 24 ÷ 6 = 4 ขณะที่ 6 ไม่เป็นตัวประกอบของ 25 เนื่องจาก 25 หารด้วย 6 ไม่ลงตัว
- แม้บางครั้งการแยกตัวประกอบด้วยวิธีอื่นจะทำได้เร็วกว่า แต่วิธีนั้นก็อาจไม่เป็นระบบหรือมีประสิทธิภาพเท่าการใช้ตาราง เพราะการใช้ตารางสามารถแยกตัวประกอบของจำนวนที่มีค่าเท่าไหร่ก็ได้ อีกทั้งตัวประกอบที่แยกออกมายังเรียงจากน้อยไปมากด้วย
- จำนวนใดจำนวนหนึ่งหารด้วย 3 ลงตัวก็ต่อเมื่อ ตัวเลขแต่ละหลักในจำนวนนั้นบวกกันแล้วได้จำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว ตัวอย่างเช่น 819 ผลบวกของตัวเลขแต่ละหลักมีค่าเท่ากับ 8 + 1 + 9 = 18 จะเห็นได้ว่า 18 สามารถหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น 819 จึงสามารถหารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน
- บทความนี้นำเสนอวิธีการแยกตัวประกอบจำนวนที่เป็น “จำนวนธรรมชาติ” หรือ “จำนวนนับ” เท่านั้น (เช่น 1, 2, 3, 4, 5, ...) ยังไปไม่ถึงการแยกตัวประกอบของจำนวนลบหรือเศษส่วน
โฆษณา
คำเตือน
- อย่าทำอะไรที่ไม่จำเป็น กล่าวคือ เมื่อคุณรู้แล้วว่าจำนวนใดไม่ใช่ตัวประกอบ ก็ให้ตัดออกไปเลย ไม่ต้องนำกลับมาเช็คใหม่อีกครั้ง อย่างเช่น เมื่อรู้แล้วว่า 2 ไม่เป็นตัวประกอบของ 819 ก็ตัด 2 ออกไปได้เลย ไม่ต้องนำมันกลับมาพิจารณาใหม่
โฆษณา
สิ่งของที่ใช้
- กระดาษ
- เครื่องเขียน โดยเฉพาะดินสอกับยางลบ
- เครื่องคิดเลข (ใช้หรือไม่ใช้ก็ได้)
โฆษณา
