Cómo simplificar expresiones radicales

Una expresión radical es una expresión algebraica que incluye una raíz cuadrada (cúbica u otra mayor). Por lo general, estas expresiones pueden describir el mismo número aun cuando parezcan muy distintas (p.ej. ${\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}$ = ${\sqrt {2}}+1$ ). La solución es definir una “forma canónica” preferida para dichas expresiones. Si dos expresiones que tienen forma canónica siguen pareciendo distintas, entonces realmente son diferentes. Los matemáticos coinciden en que la forma canónica para las expresiones radicales debe respetar las siguientes normas:

evitar fracciones en los radicales
no emplear exponentes fraccionarios
evitar los radicales en los denominadores
no multiplicar dos radicales entre sí
tener solo términos libres dentro de los radicales

Un uso práctico para estas expresiones son los exámenes de opción múltiple. Si resuelves un problema, pero la respuesta no coincide con ninguna de las opciones múltiples, intenta simplificarla en forma canónica. Debido a que los redactores de exámenes suelen poner las respuestas en esta forma, hacer lo mismo con la tuya. En los exámenes de respuesta libre, las instrucciones tales como “simplifica tu respuesta” o “simplifica todos los radicales” significa que es necesario llevar a cabo estos pasos hasta que la respuesta satisfaga la forma canónica anteriormente mencionada. También tiene cierta utilidad en la resolución de ecuaciones, aunque algunas son más sencillas de resolver mediante una forma no canónica.

Pasos

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Si es necesario, revisa las normas concernientes al manejo de radicales y exponentes (son lo mismo, pues los radicales son potencias fraccionarias), pues la mayoría de ellos serán necesarias para este proceso. También revisa las normas para la manipulación y simplificación de expresiones polinomiales y racionales , puedes también serán necesarias a lo largo del proceso de simplificación.

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Método 1

Método 1 de 6:

Potencias perfectas

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1
Simplifica las expresiones radicales que sean cuadrados perfectos. Un cuadrado perfecto es el producto de cualquier número que se multiplica por sí mismo, como en el caso de 81, el cual es el resultado de multiplicar 9 x 9. Si quieres simplificar un cuadrado perfecto dentro de un radical, simplemente quita el signo radical y escribe el número que represente a la raíz cuadrada del cuadrado perfecto.
- Por ejemplo, 121 es un cuadrado perfecto porque 11 x 11 es 121. Por lo tanto, puedes simplificar la expresión ${\sqrt {121}}$ a 11, eliminando así el símbolo de la raíz cuadrada.
- Si quieres hacer este proceso más sencillo, memoriza los primeros doce cuadrados perfectos: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
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2
Simplifica las expresiones radicales que sean cubos perfectos. Un cubo perfecto es el producto de cualquier número multiplicado dos veces por sí mismo, como en el caso de 27, que es el resultado de 3 x 3 x 3. Si quieres simplificar una expresión radical cuando un cubo perfecto se encuentra dentro de un signo de raíz cúbica, solo elimina el signo del radical y escribe el número que represente la raíz cúbica del cubo perfecto.
- Por ejemplo, 343 es un cubo perfecto porque es el resultado de multiplicar 7 x 7 x 7. Por lo tanto, la raíz cúbica del cubo perfecto simplemente es 7.
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Método 2

Método 2 de 6:

Convertir exponentes racionales a radicales

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También puedes realizar la conversión en el sentido opuesto si así lo prefieres (en ocasiones, existen buenas razones para hacerlo), pero no combines términos como ${\sqrt {5}}+5^{{{\frac {3}{2}}}}$ en la misma expresión. En este caso, supondremos que decides optar por la notación radical y utilizarás la expresión ${\sqrt {n}}$ para indicar la raíz cuadrada de n y ${\sqrt[ {3}]{n}}$ para las raíces cúbicas.

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1
Halla todos los exponentes fraccionarios y conviértelos a su equivalentes radicales usando la siguiente fórmula $x^{{{\frac {a}{b}}}}={\sqrt[ {b}]{x}}^{{a}}$
- Si tienes una fracción en el índice de un radical, también elimínala. Por ejemplo, ${\sqrt[ {{\frac {2}{3}}}]{4}}$ = $({\sqrt {4}})^{{3}}$ = $2^{{3}}$ = 8.
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2
Convierte los exponentes negativos en su fracción equivalente usando la siguiente fórmula $x^{{-y}}={\frac {1}{x^{{y}}}}$
- Esto solo se aplica a los exponentes racionales constantes. Si tienes términos como $2^{{x}}$ , no los toques, aun cuando el problema implique que “x” puede ser fraccionario o negativo.
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y simplifica las expresiones racionales que obtengas como resultado.

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Método 3

Método 3 de 6:

Eliminar las fracciones de los radicales

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Para establecer formas canónicas, es necesario expresar la raíz de una fracción como una raíz de números enteros.

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Si esto último fuera el caso, ve al siguiente paso.
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2
Reemplázalos como una relación de dos radicales utilizando la identidad ${\sqrt {{\frac {a}{b}}}}={\frac {{\sqrt {a}}}{{\sqrt {b}}}}$ .
- No emplees la identidad si el denominador es negativo o si se trata de una expresión variable que pueda tener un valor negativo. En ese caso, primero simplifica la fracción.
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Esto significa que debes convertir la expresión ${\sqrt {{\frac {5}{4}}}}$ en ${\frac {{\sqrt {5}}}{{\sqrt {4}}}}$ y luego simplificarla a ${\frac {{\sqrt {5}}}{2}}$ .
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Realiza otras simplificaciones útiles, tales como la reducción de fracciones compuestas , la combinación de términos semejantes, etc.

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Método 4

Método 4 de 6:

Combinar productos de radicales

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1
Si tienes una expresión radical multiplicada por otra, combínalas como si se tratara de un solo radical utilizando la siguiente propiedad: ${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {a\times b}}$ . Por ejemplo, reemplaza la siguiente expresión ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}$ por ${\sqrt {12}}$ .
- La identidad mencionada anteriormente, ${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {a\times b}}$ , es válida para radicandos no negativos. No la apliques si $a$ y $b$ son negativos, pues obtendrías el siguiente resultado incorrecto: ${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}$ . Por definición, el elemento ubicado a la izquierda es igual a -1 (o indefinido en caso de que no quieras reconocer números complejos), mientras que el de la derecha es igual a +1. Si $a$ o $b$ es negativo, primero “repara” su signo por medio de la siguiente fórmula: ${\sqrt {-5}}=i\times {\sqrt {5}}$ . Si el radicando es una expresión variable cuyo signo no se conoce por contexto y puede ser tanto positivo como negativo, entonces déjalo tal como está de momento. Puedes utilizar la identidad más general ${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {\pm {a}}}\times {\sqrt {\pm {b}}}\times {\sqrt {|a\times b|}}$ , la cual es válida para todos los números reales $a$ y $b$ , pero generalmente no vale la pena la complejidad adicional de introducir la función del signo.
- Esta identidad se aplica únicamente si los radicales tienen el mismo índice. Puedes multiplicar radicales más generales como ${\sqrt {5}}\times {\sqrt[ {3}]{7}}$ al expresarlas primero con un índice común. Para ello, convierte temporalmente las raíces a exponentes fraccionarios: ${\sqrt {5}}\times {\sqrt[ {3}]{7}}=5^{{{\frac {1}{2}}}}\times 7^{{{\frac {1}{3}}}}=5^{{{\frac {3}{6}}}}\times 7^{{{\frac {2}{6}}}}=125^{{{\frac {1}{6}}}}\times 49^{{{\frac {1}{6}}}}$ . Luego, aplica la regla de multiplicación para hacer que este producto sea equivalente a ${\sqrt[ {6}]{6125}}$ .

Método 5

Método 5 de 6:

Extraer los factores cuadrados de los radicales

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1
Factoriza una expresión radical imperfecta en sus factores primos. Los factores son los números que se multiplican para crear un número (por ejemplo, 5 y 4 son dos factores de 20). Si quieres descomponer una expresión radical imperfecta, anota todos los factores de dicho número (o tantos como se te ocurran, en caso de que sea grande) hasta encontrar uno que sea un cuadrado perfecto.
- Por ejemplo, enumera todos los factores del número 45: 1, 3, 5, 9, 15 y 45. 9 es un factor de 45 y también es un cuadrado perfecto ( $9=3^{{2}}$ ): 9 x 5 = 45.
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2
Quita del signo de radical todos los múltiplos que sean cuadrados perfectos. El 9 es un cuadrado perfecto porque es el resultado de multiplicar 3 x 3. Sácalo del signo de radical y coloca un 3 delante, dejando el 5 dentro del signo radical. Si vuelves a colocar el tres dentro del signo de radical, se multiplicará por sí mismo para volver a dar 9, lo que se multiplicará con 5 para dar como resultado 45. La expresión $3{\sqrt {5}}$ es una forma simplificada para expresar ${\sqrt {45}}$ .
- Por lo tanto, ${\sqrt {45}}={\sqrt {9\times 5}}={\sqrt {9}}\times {\sqrt {5}}=3{\sqrt {5}}$ .
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3
Halla un cuadrado perfecto en la variable. La raíz cuadrada de $a^{{2}}$ sería $|a|$ . Si sabes que la variable es positiva, puedes simplificar más esta expresión únicamente como a . La raíz cuadrada de $a^{{3}}$ puede descomponerse en la expresión ${\sqrt {a}}\times a$ . Esto se debe a que sumas exponentes al momento de multiplicar variables, de modo que $a^{{2}}\times a=a^{{3}}$ .
- Por lo tanto, el cuadrado perfecto en la expresión $a^{{3}}$ es $a^{{2}}$ .
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Ahora extrae la variable $a^{{2}}$ del radical para convertirla en $|a|$ . La forma simplificada de una $a^{{3}}$ es $|a|{\sqrt {a}}$ .
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Método 6

Método 6 de 6:

Racionalizar el denominador

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1
La forma canónica requiere que, de ser posible, el denominador sea un número entero (o un polinomio en caso de que sea un número indeterminado).
- Si el denominador es un solo término bajo un radical, como ${\frac {[numerador]}{{\sqrt {5}}}}$ , multiplica el numerador y denominador por dicho radical para obtener como resultado ${\frac {[numerador]\times {\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}}}$ = ${\frac {[numerador]\times {\sqrt {5}}}{5}}$ .
  - En el caso de raíces cúbicas o mayores, multiplica por la potencia adecuada del radical para así obtener el denominador racional. Si el denominador fuese ${\sqrt[ {3}]{5}}$ , multiplica el numerado y denominador por ${\sqrt[ {3}]{5}}^{{2}}$ .
- Si el denominador se compone de una suma o resta de raíces cuadradas como ${\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}$ , multiplica tanto el numerador como el denominador por su conjugado, la misma expresión con el operador opuesto. Por lo tanto, ${\frac {[numerador]}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}}={\frac {[numerador]\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}{({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})}}$ . Luego, para racionalizar el denominador, utiliza la diferencia de cuadrados [(a+b)(a-b) = a^2-b^2] y simplifica el resultado: $({\sqrt {2}}+{\sqrt {6}})\times ({\sqrt {2}}-{\sqrt {6}})=({\sqrt {2}})^{{2}}-({\sqrt {6}})^{2}=2-6=-4$ .
  - Esto también funciona para denominadores $5+{\sqrt {3}}$ debido a que cada número entero es una raíz cuadrada de otro número entero. Por lo tanto, ${\frac {1}{5+{\sqrt {3}}}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{(5+{\sqrt {3}})\times (5-{\sqrt {3}})}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{5^{{2}}-{\sqrt {3^{{2}}}}}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{25-3}}={\frac {5-{\sqrt {3}}}{22}}$
  - Esto funciona para una suma de raíces cuadradas como ${\sqrt {5}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {7}}$ . Si se agrupan como $({\sqrt {5}}-{\sqrt {6}})+{\sqrt {7}}$ y se multiplican por $({\sqrt {5}}-{\sqrt {6}})-{\sqrt {7}}$ , la respuesta no será racional, pero tendrá la forma de la expresión $a+b\times {\sqrt {30}}$ , donde $a$ y $b$ son racionales. Luego, puedes repetir el proceso con el conjugado de $a+b\times {\sqrt {30}}$ , donde $(a+b\times {\sqrt {30}})\times (a-b\times {\sqrt {30}})$ es un número racional. Básicamente, si puedes utilizar este truco una vez para reducir el número de signos radicales en el denominador, podrías utilizarlo en repetidas ocasiones para eliminarlos por completo.
  - Esto incluso funciona con denominadores que tienen raíces más elevadas como ${\sqrt[ {4}]{3}}+{\sqrt[ {7}]{9}}$ . Simplemente multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. Por desgracia, no está totalmente claro cuál es el conjugado de dicho denominador ni cómo se le puede hallar. Un buen libro sobre la teoría de números algebraicos te será de utilidad en este punto.
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Ahora, debes trabajar con el elemento con el que se inició el proceso de racionalización del denominador, es decir, el conjugado complejo que se encuentra en el numerador. Comienza a expandir dicho producto tal como lo harías con un producto de polinomios. Determina si algo se cancela o se simplifica y, de ser posible, combina los términos semejantes.
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Consejos

Existen sitios web que pueden ayudarte a simplificar una expresión radical. Lo único que tienes que hacer es escribir la ecuación dentro del signo radical y pulsar Enter para que aparezca la respuesta simplificada.
En el caso de problemas simples, no será necesario que realices muchos de estos pasos. Para los más complicados, es posible que debas aplicar algunos de estos pasos más de una vez. Realiza simplificaciones “sencillas” continuamente a medida que resuelves el problema y coteja tu respuesta final con los criterios de la forma canónica mencionados en la introducción. Si tu respuesta es canónica, significa que has terminado; si no lo es, uno de estos pasos te indicará lo que necesitas hacer para que así sea.
La mayoría de las referencias a “la forma canónica preferida” para una expresión radical también incluyen a los números complejos ( $i={\sqrt {-1}}$ ). Aun cuando se escriba como “i” en lugar de utilizar un signo radical, es recomendable no escribirla así en un denominador.
Algunas de estas instrucciones suponen que todos los radicales son raíces cuadradas. Las reglas generales son las mismas para las raíces cúbicas o de nivel superior, aunque algunas de ellas (especialmente la racionalización del denominador) pueden ser más difíciles de aplicar. También deberás decidir si quieres tener términos como ${\sqrt[ {3}]{4}}$ o ${\sqrt[ {3}]{2^{{2}}}}$ .
Algunas de estas instrucciones emplean incorrectamente el término “forma canónica” cuando en verdad describen únicamente una “forma normal”. La diferencia radica en que una forma canónica requeriría una de las expresiones $1+{\sqrt {2}}$ o ${\sqrt {2}}+1$ , y etiquetaría la otra como impropia. Una forma normal supone que eres lo suficientemente capaz de reconocer estas formas como números “obviamente iguales”, aun cuando no se escriban de la misma manera. Ten en cuenta que con “obvio” nos referimos al uso únicamente de propiedades aritméticas (la suma es conmutativa) en lugar de algebraicas (por ejemplo, ${\sqrt {2}}$ es una raíz no negativa de $x^{{2}}-2$ ). Ojalá que los lectores de este artículo perdonen este leve abuso de terminología.
Si estas instrucciones parecen ambiguas o contradictorias, aplica todos los pasos coherentes y claros para luego escoger la forma que se asemeje más a la manera en que se emplean las expresiones radicales en tu texto.