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三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是 。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。
步骤
-
提取方程的公因式 。 由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量 。也就是说，可以提取方程的公因式 来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为 。 [3] X 研究来源
- 例如，假设我们一开始要解的方程是 。
- 提取方程的公因式 ，得到 。
-
如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。 你可以将 、 、 的值代入二次公式( )中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。 [5] X 研究来源
- 示例中，将
、
和
的值
、
和
分别代入到以下二次公式：
-
- 解1:
-
- 解2:
-
- 示例中，将
、
和
的值
、
和
分别代入到以下二次公式：
-
零和二次方程的解就是三次方程的解。 二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程，第三个解一定为 。 [6] X 研究来源
- 将方程分解为包含两个因式的形式 ，左边的因式是变量 ，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于 ，则整个方程等于 。
- 因此，使括号内的二次因式等于 的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于 的 本身，也是三次方程的解。
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-
确保三次方程有一个 值不等于零的常数项。 如果形式为 的方程拥有一个不等于零的 值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。 [7] X 研究来源
- 以方程 为例。这个方程中，要让等号的右边等于 ，你需要两边都加 。
- 得到新的方程 。由于 ，你无法使用二次方程方法。
-
找出 和 的因数。 要解三次方程，我们需要先关注 项的系数 以及方程最后的常数项 ，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。 [8] X 研究来源
- 例如，由于你可以用 和 得到 6 ，所以 1 、 2 、 3 、 6 就是 6 的因数。
- 例题中， ，而 。 2 的因数是 1 和 2 。 6 的因数是 1 、 2 、 3 、 6 。
-
用 的因数除以 的因数。 将 的各因数除以 的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。 [9] X 研究来源
- 例题中，用 的因数 1 和 2 除以 的因数 1 、 2 、 3 、 6 ，得到： ， ， ， ， 和 。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 和 。三次方程的整数解就在其中。
-
手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。 得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于 ，进而求出方程的解。例如，如果将 代入方程，可以得到： [10] X 研究来源
- ，即 ，结果不等于 。因此，使用得到的下一个值。
- 如果将 代入方程，得到 ，结果等于 。这意味着 是方程的一个整数解。
-
使用更复杂，但可能更快速的综合除法。 如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的 综合除法 。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以 、 、 和 。如果得到余数 ，那么这个值就是三次方程的解。 [11] X 研究来源
- 综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：
-
- -1 | 2 9 13 6
- __| -2-7-6
- __| 2 7 6 0
-
- 由于得到的最终余数为 ，由此可知， 是三次方程的一个整数解。
广告 - 综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：
-
写下 、 、 和 的值。 本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下 、 、 和 的值，免得之后混淆。 [12] X 研究来源
- 对于例题 ，写下 、 、 和 。注意，如果有 变量前没有系数，这代表它的系数为 。
-
使用正确的公式计算判别式零 。 用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式 中，求出第一个重要数值，即判别式零 。 [13] X 研究来源
- 判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是( )。
- 例题中的计算过程如下：
-
-
计算: 。然后，我们会使用 和 的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。 [15] X 研究来源
- 三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。
- 例题中，由于
和
都等于
，所以
的计算相对简单。计算过程如下：
-
- ，所以方程有一个或两个解。
-
-
计算: 。最后一个需要计算的重要数值是 。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入 和 。
- 例题中，
的计算过程如下：
-
- 例题中，
的计算过程如下：
-
使用变量计算三个根。 三次方程的根或解可以使用公式 计算，其中 ，而 n 等于 1 、 2 或 3 。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。
- 你可以分别计算 n 等于 1 、 2 、 3 时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于 0 的答案即为方程的正确解。
- 例如，将 1 代入到 中，计算结果为 0 ，所以 1 就是三次方程的一个解。
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参考
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/quadform.htm
- ↑ https://math.vanderbilt.edu/schectex/courses/cubic/
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
- ↑ http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
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