PDF herunterladen
PDF herunterladen
In einer kubischen Gleichung (einer Gleichung dritten Grades) ist der höchste Exponent 3, die Gleichung hat 3 Lösungen/Nullstellen und die Gleichung selber hat die Form . Auch wenn Kubikzahlen einschüchternd aussehen und tatsächlich ziemlich schwierig zu lösen sein können, kann man mit der richtigen Herangehensweise (und ausreichend Grundwissen) sogar die kniffligsten kubischen Gleichungen „zähmen“. Du kannst unter anderem ausprobieren, die Quadratformel anzuwenden, ganzzahlige Lösungen zu finden oder Diskriminanten festzustellen.
Vorgehensweise
-
Sieh nach, ob die Gleichung eine Konstante enthält (einen -Wert). Kubische Gleichungen nehmen die Form an. Das einzige wesentliche Merkmal ist aber , was bedeutet, dass die anderen Elemente nicht zwingend vorhanden sein müssen, damit es sich um eine kubische Gleichung handelt. [1] X Forschungsquelle
- Wenn die Gleichung, die du vor dir hast, eine Konstante enthält (einen -Wert), musst du eine andere Methode zum Lösen anwenden.
- Wenn ist, hast du keine Gleichung dritten Grades. [2] X Forschungsquelle
-
Nimm durch Faktorisieren ein aus der Gleichung. Da die Gleichung keine Konstante enthält, hat jeder Term in der Gleichung ein . Das bedeutet, dass ein als Faktor in der Form herausgenommen werden kann. [3] X Forschungsquelle
- Sagen wir zum Beispiel, die anfängliche kubische Gleichung ist
- Wenn man ein einzelnes aus dieser Gleichung herausnimmt, erhält man
-
Zerlege die entstehende quadratische Gleichung in Faktoren, wenn es möglich ist. In vielen Fällen kann man die quadratische Gleichung faktorisieren , die man erhält, ( ), wenn man das herausnimmt. Wenn du zum Beispiel als Gleichung hast, kannst du Folgendes machen: [4] X Forschungsquelle
- Nimm den Faktor heraus:
- Faktorisiere die quadratische Gleichung in der Klammer:
- Setze jeden dieser Faktoren gleich . Deine Lösungen sind .
-
Löse den Teil in Klammern mit der Quadratformel, wenn du sie nicht in Faktoren aufteilen kannst. Du kannst die Werte herausfinden, bei denen die quadratische Gleichung gleich ist, indem du , und in die quadratische Gleichung ( ) einsetzt. Damit findest du zwei der Lösungen für die kubische Gleichung. [5] X Forschungsquelle
- Setze in dem Beispiel die Werte für
,
und
(also
,
und
) wie folgt in die quadratische Gleichung ein:
-
- Lösung 1:
-
- Lösung 2:
-
- Setze in dem Beispiel die Werte für
,
und
(also
,
und
) wie folgt in die quadratische Gleichung ein:
-
Betrachte Null und die Lösungen für die quadratische Gleichung als die Lösungen der kubischen Gleichung. Während quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben, haben kubische Gleichungen drei. Du hast bereits zwei von ihnen gefunden — es sind die Lösungen, die du für den "quadratischen" Abschnitt der Aufgabe zwischen den Klammern gefunden hast. Wenn die Gleichung vor dir für diese Methode, für das Zerlegen in Faktoren, geeignet ist, ist die dritte Lösung immer . [6] X Forschungsquelle
- Beim Faktorisieren der Gleichung in die Form wird sie in zwei Faktoren aufgeteilt: ein Faktor ist die Variable auf der linken Seite, der andere ist der quadratische Teil in Klammern. Wenn einer dieser Faktoren entspricht, entspricht die gesamte Gleichung .
- Somit sind die zwei Lösungen des quadratischen Abschnittes in Klammern, bei denen die Faktoren gleich ergeben, ebenfalls Lösungen für die kubische Gleichung, ebenso wie die selber, durch die der linke Faktor gleich ist
Werbeanzeige
-
Vergewissere dich, dass die kubische Gleichung eine Konstante hat (einen -Wert ungleich Null). Wenn die Gleichung vor dir in der Form einen Wert ungleich Null für hat, funktioniert das Faktorisieren und das Lösen mithilfe der quadratischen Gleichung nicht. Mache dir aber keine Sorgen – du hast andere Optionen, wie jene, die hier beschrieben wird! [7] X Forschungsquelle
- Nehmen wir zum Beispiel . In diesem Fall musst du, um eine auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens zu bringen, auf beiden Seiten addieren.
- Die neue Gleichung ist . Da kannst du nicht die Methode mit einer quadratischen Gleichung einsetzen.
-
Finde die Faktoren von und . Fange an, die kubische Gleichung zu lösen, indem du die Faktoren des Koeffizienten des Terms findest (in anderen Worten des ) und der Konstante am Ende der Gleichung (das heißt ). Erinnere dich, dass Faktoren die Zahlen sind, die man miteinander multiplizieren kann, sodass eine andere Zahl entsteht. [8] X Forschungsquelle
- Da man zum Beispiel 6 erschaffen kann, indem man und multipliziert, heißt das, 1 , 2 , 3 und 6 sind die Faktoren von 6 .
- In der Beispielaufgabe ist und . Die Faktoren von 2 sind 1 und 2 . Die Faktoren von 6 sind 1 , 2 , 3 und 6 .
-
Teile die Faktoren von durch die Faktoren von . Erstelle eine Liste der Werte, die du erhältst, wenn du jeden Faktor von durch jeden Faktor von dividierst. Das Ergebnis sind häufig eine Menge Brüche und ein paar ganze Zahlen. Die ganzzahligen Lösungen für die kubischen Gleichung werden entweder eine der Zahlen in dieser Liste oder das Negative einer dieser Zahlen sein. [9] X Forschungsquelle
- In unserer Gleichung erhältst du durch Dividieren der Faktoren von ( 1 und 2 ) durch die Faktoren von ( 1 , 2 , 3 und 6 ) diese Liste: , , , , und . Als Nächstes fügen wir die Negative zu der Liste hinzu, um sie zu vervollständigen: , , , , , , , , , , und . Die ganzzahligen Lösungen zu der kubischen Gleichung befinden sich irgendwo in dieser Liste.
-
Setze die ganzen Zahlen manuell ein für eine einfache, aber möglicherweise zeitaufwändige Herangehensweise. Wenn du eine Liste mit Werten hast, kannst du die ganzzahligen Lösungen zu der kubischen Gleichung herausfinden, indem du jede ganze Zahl manuell in die Gleichung einsetzt und ermittelst, bei welchen sie gleich ist. Wenn du zum Beispiel einsetzt, erhältst du: [10] X Forschungsquelle
- oder , was offensichtlich nicht entspricht. Also gehst du zum nächsten Wert in deiner Liste über.
- Wenn du einsetzt, erhältst du , was entspricht. Das bedeutet, dass eine der ganzzahligen Lösungen ist.
-
Wende synthetische Division an als eine komplexere, aber vermutlich schnellere Vorgehensweise. Wenn du dir nicht die Zeit nehmen möchtest, die Werte einen nach dem anderen einzusetzen, probiere eine schnellere Methode aus, die synthetische Division (oder das Horner-Schema). Grundsätzlich dividierst du dabei synthetisch die ganzzahligen Werte durch die ursprünglichen Koeffizienten , , und in der Gleichung. Wenn du als Rest erhältst, ist dieser Wert eine der Lösungen der kubischen Gleichung. [11] X Forschungsquelle
- Synthetische Division ist ein komplexes Thema, das über den Rahmen dieses Artikels hinausgeht. Hier ist jedoch ein Beispiel dafür, wie man eine der Lösungen in einer kubischen Gleichung mittels synthetischer Division herausfinden kann:
-
- -1 | 2 9 13 6
- __| -2-7-6
- __| 2 7 6 0
-
- Da du einen Rest von hast, weißt du, dass eine der ganzzahligen Lösungen der kubischen Gleichung ist.
Werbeanzeige - Synthetische Division ist ein komplexes Thema, das über den Rahmen dieses Artikels hinausgeht. Hier ist jedoch ein Beispiel dafür, wie man eine der Lösungen in einer kubischen Gleichung mittels synthetischer Division herausfinden kann:
-
Schreibe die Werte von , , und auf. Bei dieser Methode beschäftigst du dich stark mit den Koeffizienten in den Termen der Gleichung. Notiere dir die Terme für , , und , bevor du loslegst, damit du nicht vergisst, was sie sind.
- In der Beispielgleichung schreibst du also , , und auf. Vergiss nicht, dass die Variable keinen Koeffizienten hat, es wird implizit angenommen, dass der Koeffizient ist.
-
Berechne die Diskriminante von Null mithilfe der richtigen Formel. Die Herangehensweise an eine kubische Gleichung mit einer Diskriminante erfordert komplizierte Mathematik, wenn du es aber sorgfältig machst, wirst du feststellen, dass es ein unschätzbares Werkzeug beim Lösen kubischer Gleichungen ist, die sonst nur schwer zu lösen sind. Bestimme zuerst (die Diskriminante von Null), die erste von mehreren wichtigen Größen, die wir benötigen, indem du die entsprechenden Werte in die Formel einsetzt.
- Eine Diskriminante ist einfach gesagt eine Zahl, die uns Informationen über die Nullstellen eines Polynoms liefert (dir könnte bereits die quadratische Diskriminante bekannt sein: ).
- Unsere Beispielaufgabe lösen wir wie folgt:
-
-
Berechne anschießend . Die nächste wichtige Größe, die wir benötigen, (die Diskriminante von ), ist etwas aufwändiger, man findet sie aber im Grunde auf ähnliche Weise wie . Setze die entsprechenden Werte in die Formel ein, um den Wert für zu erhalten.
- In unserem Beispiel rechnen wir folgendermaßen:
-
- In unserem Beispiel rechnen wir folgendermaßen:
-
Rechne: . Als Nächstes Berechnen wir die Diskriminante der kubischen Gleichung aus den Werten und . Wenn bei einer kubischen Gleichung die Diskriminante positiv ist, dann hat die Gleichung drei reelle Lösungen. Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die Gleichung entweder eine oder zwei reelle Lösungen und manche dieser Lösungen sind gemeinsam. Wenn sie negativ ist, hat die Gleichung nur eine Lösung.
- Eine kubische Gleichung hat immer mindestens eine reelle Lösung, weil der Graph die x-Achse immer mindestens einmal kreuzt.
- Da in unserem Beispiel sowohl
als auch
sind, ist das Berechnen von
ziemlich einfach. Löse es folgendermaßen:
-
- , somit hat die Gleichung eine oder zwei Lösungen.
-
-
Berechne: . Der letzte wichtige Wert, den wir ausrechnen müssen, ist . Diese wichtige Größe ermöglicht uns endlich, die drei Nullstellen zu berechnen. Berechne C wie gewohnt, indem du and an der richtigen Stelle einsetzt.
- In unserem Beispiel findet man
folgendermaßen:
-
- In unserem Beispiel findet man
folgendermaßen:
-
Berechne anhand der Variablen die drei Nullstellen. Die Nullstellen (Lösungen) der kubischen Gleichung werden durch die Formel ermittelt, wobei und n entweder 1 , 2 oder 3 ist. Setze die Werte ein und rechne — hier wird viel mathematische Fußarbeit benötigt, am Ende solltest du aber drei gültige Lösungen erhalten!
- Wir können die Lösung in unserem Beispiel finden, indem wir die Lösungen für n ist gleich 1 , 2 und 3 überprüfen. Die Lösungen, die man bei so einer Überprüfung erhält, sind mögliche Ergebnisse der kubischen Gleichung — wenn die Lösung beim Einsetzen eines Wertes in die Gleichung 0 ergibt, ist es eine richtige Lösung.
- Da 1 in einzusetzen zum Beispiel 0 zum Ergebnis hat, ist 1 eine der Lösungen dieser kubischen Gleichung.
Werbeanzeige
Referenzen
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
- ↑ https://sciencing.com/solve-cubic-equations-8136094.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-cubicequations-2009-1.pdf
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/quadform.htm
- ↑ https://math.vanderbilt.edu/schectex/courses/cubic/
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
- ↑ http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su52k02.htm
Werbeanzeige
Melde dich für den kostenlosen wikiHow Newsletter an!
Du erhältst hilfreiche Tipps und Anleitungen jede Woche direkt in deine Inbox.
Registriere mich!
