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कैसे क्यूबिक इक़्वेशन सॉल्व करें (Solve a Cubic Equation)

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सहयोगी लेखक द्वारा विकीहाउ स्टाफ

रेफरेन्स

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एक क्यूबिक इक़्वेशन में, हाइएस्ट एक्स्पोनेंट 3 होता है, इक़्वेशन में 3 सोल्यूशन्स/रूट्स होते हैं और इक़्वेशन खुद ही $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ फॉर्म लेती है। भले क्यूबिक देखने में डरावना सा क्यों न लगता हो और इसे सॉल्व करना जरा सा मुश्किल भी लग सकता है, सही अप्रोच (और अच्छा-खासा फाउंडेशनल नॉलेज) यूज करना, किसी भी मुश्किल से मुश्किल क्यूबिक को आसान बना देता है। आप चाहें तो क्वाड्रेटिक फॉर्मूला, इंटीजर सोल्यूशन निकालना या डिस्क्रिमिनेंट्स पहचान करने जैसे दूसरे ऑप्शन्स भी ट्राइ करके देख सकते हैं।

विधि 1

विधि 1 का 3:

कोंस्टेंट के बिना क्यूबिक इक़्वेशन सॉल्व करना (Solving Cubic Equations without a Constant)

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1
देखें, आपके पास मौजूद क्यूबिक इक़्वेशन में एक कोंस्टेंट (एक $d$ वैल्यू) है या नहीं: हालांकि, क्यूबिक इक़्वेशन $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ का फॉर्म लेती है। हालांकि, इसमें सबसे जरूरी चीज़ $x^{3}$ होती है, जिसका मतलब क्यूबिक इक़्वेशन होने के लिए और दूसरे एलिमेंट्स की जरूरत नहीं पड़ती है। ^{[१]
X
रिसर्च सोर्स}
- अगर आपके इक़्वेशन में एक कोंस्टेंट (एक $d$ वैल्यू) नहीं है, तो आपको दूसरी सॉल्विंग मेथड यूज करना होगी।
- अगर $a=0$ , आपके पास क्यूबिक इक़्वेशन नहीं है। ^{[२]
  X
  रिसर्च सोर्स}
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2
एक $x$ को इक्वेशन से बाहर निकाल लें: चूंकि आपकी इक्वेशन में एक कोंस्टेंट नहीं है, इसलिए इक्वेशन में मौजूद हर एक टर्म में एक $x$ वेरिएबल होगा। इसका मतलब, कि इक्वेशन को आसान बनाने के लिए एक $x$ को बाहर निकाला जा सकता है। इसे करें और अपनी इक्वेशन को फिर से $x(ax^{2}+bx+c)$ के फॉर्म में लिखें। ^{[३]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, मान लेते हैं आपकी स्टार्टिंग क्यूबिक इक्वेशन $3x^{3}-2x^{2}+14x=0$ है।
- अपनी इक्वेशन से एक सिंगल $x$ बाहर निकालने से, आपको $x(3x^{2}-2x+14)=0$ मिलेगा।
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3
अगर हो सके, तो मिलने वाली इक्वेशन को फ़ैक्टर कर लें: कई मामलों में, $x$ को बाहर निकालने के बाद, आपको मिली हुई क्वाड्रेटिक इक्वेशन ( $ax^{2}+bx+c$ ) को फ़ैक्टर कर पाएंगे। उदाहरण के लिए, अगर आपके पास में $x^{3}+5x^{2}-14x=0$ है, तो आप ऐसा कर सकते हैं: ^{[४]
X
रिसर्च सोर्स}
- $x$ : $x(x^{2}+5x-14)=0$ को फ़ैक्टर करें
- ब्रैकेट्स (parentheses) में दिए हुए क्वाड्रेटिक को फ़ैक्टर करें: $x(x+7)(x-2)=0$
- इन फ़ैक्टर्स को $0$ के बराबर सेट कर लें। आपके सोल्यूशंस $x=0,x=-7,x=2$ हैं।
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4
अगर आप इसे मेन्युअली फ़ैक्टर नहीं कर पा रहे हैं, तो ब्रैकेट्स के अंदर के पोर्शन को क्वाड्रेटिक फॉर्मूला से सॉल्व करें: आप $a$ , $b$ , और $c$ को क्वाड्रेटिक फॉर्मूला ( ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ) में रखकर, उन वैल्यूज को पा सकते हैं, जिनके लिए ये क्वाड्रेटिक इक़्वेशन $0$ के बराबर रहेगी। इक़्वेशन के दोनों जवाब को पाने के लिए, इसे करें। ^{[५]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण में, कुछ इस तरह से अपनी $a$ , $b$ और $c$ वैल्यूज ( $3$ , $-2$ , और $14$ ) को क्वाड्रेटिक इक़्वेशन में रखें:
  
  ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
  
  ${\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}$
- आन्सर 1:
  
  ${\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}$
  
  ${\frac {2+12.8i}{6}}$
- आन्सर 2:
  
  ${\frac {2-12.8i}{6}}$
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5
ज़ीरो और क्वाड्रेटिक आन्सर को अपने क्यूबिक के आन्सर के जैसे यूज करें: जबकि क्वाड्रेटिक इक़्वेशन के दो सोल्यूशंस होते हैं, क्यूबिक के तीन होते हैं। अब आपके पास में उनमें से दो तो हैं ही — ये आपके द्वारा ब्रैकेट्स के अंदर मौजूद प्रॉब्लम के "क्वाड्रेटिक" हिस्से के आन्सर हैं। ऐसे मामलों में, जहां आपकी इक़्वेशन, सॉल्व करने के की "फ़ैक्टरिंग" मेथड के योग्य रहेगी, वहाँ आपका तीसरा आन्सर हमेशा ही $0$ रहेगा। ^{[६]
X
रिसर्च सोर्स}
- अपनी इक़्वेशन को $x(ax^{2}+bx+c)=0$ के फॉर्म में फ़ैक्टर करने से ये दो फ़ैक्टर्स में स्पिलट हो जाती है: एक फ़ैक्टर लेफ्ट पर $x$ वेरिएबल है और दूसरा ब्रैकेट का क्वाड्रेटिक पोर्शन। अगर इनमें से कोई भी फ़ैक्टर $0$ के बराबर है, तो पूरी इक़्वेशन ही $0$ के बराबर रहेगी।
- इसलिए, ब्रैकेट के क्वाड्रेटिक पोर्शन के दोनों जवाब, जो फ़ैक्टर्स को $0$ के बराबर बनाते हैं, क्यूबिक के आन्सर हैं, जैसे कि $0$ ही है, जो लेफ्ट फ़ैक्टर को $0$ के बराबर बना देता है।

विधि 2

विधि 2 का 3:

फ़ैक्टर लिस्ट्स के साथ इंटीजर सोल्यूशंस निकालना (Finding Integer Solutions with Factor Lists)

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1
आपकी क्यूबिक इक़्वेशन में एक कोंस्टेंट (एक नॉनजीरो $d$ वैल्यू) होने की पुष्टि कर लें: अगर आपकी इक़्वेशन $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ के फॉर्म में है और उसमें एक एक नॉनजीरो $d$ वैल्यू है, तो उसे क्वाड्रेटिक इक़्वेशन से फ़ैक्टर करने से कुछ नहीं मिलेगा। लेकिन परेशान मत हों—आपके लिए दूसरे ऑप्शन्स हैं, जैसे एक यहाँ पर दर्शाया गया है! ^{[७]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, $2x^{3}+9x^{2}+13x=-6$ ले लेते हैं। इस मामले में, इक्वल्स साइन के राइट साइड $0$ पाने के लिए, आपको दोनों साइड्स पर $6$ एड करना पड़ेगा।
- नई इक़्वेशन में, $2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0$ है। चूंकि $d=6$ , इसलिए आप क्वाड्रेटिक इक़्वेशन मेथड यूज नहीं कर सकते।
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2
$a$ और $d$ के फ़ैक्टर्स निकालें: $x^{3}$ टर्म के कोएफ़िशिएंट फ़ैक्टर्स (जो कि, $a$ ) को पाकर और इक़्वेशन के आखिर में कोंस्टेंट निकालते हुए (जो कि, $d$ ) क्यूबिक इक़्वेशन को सॉल्व करना शुरू करें। याद रखिए, फ़ैक्टर्स वो नंबर हैं, जो दूसरा नंबर बनाने के लिए, एक-साथ मल्टीप्लाय होते हैं। ^{[८]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण के लिए, जैसे आप 6 $6\times 1$ और $2\times 3$ को मल्टीप्लाय करके 6 पा सकते हैं, जिसका मतलब 1 , 2 , 3 , और 6 ये सभी 6 के फ़ैक्टर हैं।
- सैंपल प्रॉब्लम में, $a=2$ और $d=6$ है। 2 के फ़ैक्टर्स 1 और 2 हैं। 6 के फ़ैक्टर्स 1 , 2 , 3 , और 6 हैं।
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3
$a$ के फ़ैक्टर्स को $d$ के फ़ैक्टर्स से डिवाइड करें: $a$ के हर एक फ़ैक्टर को $d$ के हर एक फ़ैक्टर से डिवाइड करने पर मिलने वाली वैल्यूज की लिस्ट बनाते जाएँ। इसके रिजल्ट्स में कई सारे फ्रेक्शन्स और कुछ होल (whole) नंबर्स मिलेंगे। आपकी क्यूबिक इक़्वेशन के इंटीजर सोल्यूशंस या तो इस लिस्ट में मौजूद होल नंबर्स में से कोई एक नंबर होगा या फिर इन नंबर्स का नेगेटिव होगा। ^{[९]
X
रिसर्च सोर्स}
- सैंपल इक़्वेशन में, $a$ ( 1 और 2 ) के फ़ैक्टर्स को $d$ ( 1 , 2 , 3 और 6 ) के ऊपर लेने से ये लिस्ट: $1$ , ${\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{6}}$ , $2$ , और ${\frac {2}{3}}$ मिलेगी। फिर, हम इसे पूरा करने के लिए लिस्ट में नेगेटिव्स: $1$ , $-1$ , ${\frac {1}{2}}$ , $-{\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{3}}$ , $-{\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{6}}$ , $-{\frac {1}{6}}$ , $2$ , $-2$ , ${\frac {2}{3}}$ , और $-{\frac {2}{3}}$ एड कर देते हैं। आपकी क्यूबिक इक़्वेशन के इंटीजर सोल्यूशंस इसी लिस्ट में कहीं होंगे।
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4
इंटीजर्स को मेन्युअली एक आसान, लेकिन शायद टाइम-कंज्यूमिंग अप्रोच में रखना: एक बार जब आपके पास में वैल्यूज की लिस्ट आ जाए, फिर आप हर एक इंटीजर को मेन्युअली रखते हुए और कौन-सा $0$ के बराबर है, को निकालते हुए, अपनी क्यूबिक इक़्वेशन का आन्सर निकाल सकते हैं। उदाहरण के लिए, अगर आप $1$ रखते हैं, तो आपको मिलता है: ^{[१०]
X
रिसर्च सोर्स}
- $2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6$ , या $2+9+13+6$ , जो कि स्पष्ट रूप से $0$ के बराबर नहीं है। इसलिए, अपनी लिस्ट की दूसरी वैल्यू के साथ आगे बढ़ें।
- अगर आप $-1$ रखते हैं, तो आपको $(-2)+9+(-13)+6$ मिलता है, जो कि $0$ के बराबर है। इसका मतलब $-1$ आपका एक इंटीजर सोल्यूशन है।
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5
एक और ज्यादा कॉम्प्लेक्स, लेकिन एक फास्टर अप्रोच के लिए, सिंथेटिक डिवीजन (synthetic division) अपनाएं: अगर आप एक-एक करके वैल्यूज नहीं रखना चाहते हैं, तो फिर एक ऐसी जल्दी होने वाली मेथड यूज करके देखें, जिसमें सिंथेटिक डिवीजन नाम की टेक्निक शामिल हो। इसमें आपको, आपको इंटीजर वैल्यूज को, अपनी क्यूबिक इक़्वेशन के ओरिजिनल $a$ , $b$ , $c$ और $d$ कोएफ़िशिएंट से डिवाइड करना होता है। अगर आपको एक $0$ रिमाइन्डर मिलता है, आपकी वैल्यू क्यूबिक आन्सर्स में से एक है। ^{[११]
X
रिसर्च सोर्स}
- सिंथेटिक डिवीजन एक ऐसा कॉम्प्लेक्स टॉपिक है, जिसे यहाँ पर पूरी तरह से डिस्क्राइब कर पाना नामुमकिन है। हालांकि, यहाँ पर सिंथेटिक डिवीजन मेथड के जरिए आपकी क्यूबिक इक़्वेशन के एक सोल्यूशन को पाने के तरीके के बारे में एक सैंपल दिया हुआ है:
  
  -1 | 2 9 13 6
  
  __| -2-7-6
  
  __| 2 7 6 0
- चूंकि आपको $0$ का फ़ाइनल रिमाइन्डर मिल गया है, तो आपको मालूम है, कि आपके क्यूबिक का इंटीजर सोल्यूशंस में से एक $-1$ है।

विधि 3

विधि 3 का 3:

एक डिस्क्रिमिनेंट अप्रोच यूज करना (Using a Discriminant Approach)

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1
$a$ , $b$ , $c$ , और $d$ वैल्यू लिख लें: इस मेथड के लिए आप अपनी इक़्वेशन की टर्म्स के कोएफ़िशिएंट के साथ में डील करेंगे। अपने $a$ , $b$ , $c$ , और $d$ टर्म्स को लिख लें, ताकि आप बाद में इन्हें भूलने न पाएँ। ^{[१२]
X
रिसर्च सोर्स}
- सैंपल इक़्वेशन $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ के लिए, $a=1$ , $b=-3$ , $c=3$ , और $d=-1$ लिख लें। एक बात मत भूलें, कि जब एक $x$ वेरिएबल का कोई कोएफ़िशिएंट नहीं होता, तो ऐसा मान लिया जाता है, कि इसका कोएफ़िशिएंट $1$ है।
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2
प्रोपर फॉर्मूला यूज करते हुए, जीरो के डिस्क्रिमिनेंट को कैलकुलेट करें: क्यूबिक इक़्वेशन के सोल्यूशन को निकालने की डिस्क्रिमिनेंट अप्रोच में कोंप्लिकेटेड मैथ की जरूरत होती है, लेकिन अगर आप सावधानी से प्रोसेस को फॉलो करते हैं, तो आप पाएंगे कि ये उन क्यूबिक इक़्वेशन का पता लगाने के लिए एक अमूल्य उपकरण है, जिन्हें किसी दूसरे तरीके से सॉल्वे कर पाना मुश्किल है। शुरुआत करने के लिए, $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ फॉर्मूला में उचित वैल्यूज रखते हुए, पहली जरूरी क्वान्टिटीज $\Delta _{0}$ (जीरो का डिस्क्रिमिनेंट) निकालें। ^{[१३]
X
रिसर्च सोर्स}
- एक डिस्क्रिमिनेंट साधारण रूप से एक नंबर ही होता है, जो हमें पॉलीनोमिअल के रूट्स (आप शायद पहले से ही क्वाड्रेटिक डिस्क्रिमिनेंट: $b^{2}-4ac$ जानते होंगे) के बारे में इन्फोर्मेशन देता है।
- आपकी सैंपल प्रॉब्लम में, इस तरह से सॉल्व करें:
  
  $b^{2}-3ac$
  
  $(-3)^{2}-3(1)(3)$
  
  $9-3(1)(3)$
  
  $9-9=0=\Delta _{0}$
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3
$\Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ कैलकुलेट करते हुए आगे बढ़ें: अब आपके लिए जरूरी अगली क्वान्टिटी ( $1$ का डिस्क्रिमिनेंट) है, जिसे निकालने में जरा ज्यादा मेहनत की जरूरत होगी, लेकिन इसे भी ठीक उसी तरीके से निकाला जाता है, जैसे $\Delta _{0}$ को निकालते हैं। $\Delta _{1}$ पाने के लिए $2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ फॉर्मूला में उचित वैल्यूज रख दें। ^{[१४]
X
रिसर्च सोर्स}
- उदाहरण में, इस तरह से सॉल्व करें:
  
  $2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)$
  
  $2(-27)-9(-9)+27(-1)$
  
  $-54+81-27$
  
  $81-81=0=\Delta _{1}$
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4
कैलकुलेट करें: $\Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}$ फिर, हम $\Delta _{0}$ और $\Delta _{1}$ वैल्यूज से क्यूबिक के डिस्क्रिमिनेंट को कैलकुलेट करेंगे। क्यूबिक के मामले में, डिस्क्रिमिनेंट अगर पॉज़िटिव है, तो इक़्वेशन के तीन रियल सोल्यूशंस होने वाले हैं। डिस्क्रिमिनेंट अगर जीरो है, तो इक़्वेशन के या तो एक या दो रियल सोल्यूशंस होंगे और उनमें से कुछ सोल्यूशंस शेयर्ड होंगे। ये अगर नेगेटिव है, तो इक़्वेशन का सिर्फ एक ही सोल्यूशन होगा। ^{[१५]
X
रिसर्च सोर्स}
- एक क्यूबिक इक़्वेशन का हमेशा कम से कम एक रियल सोल्यूशन होता ही है, क्योंकि ग्राफ हमेशा ही, कम से कम एक बार x-एक्सिस को जरूर क्रॉस करता है।
- उदाहरण में, चूंकि दोनों ही $\Delta _{0}$ और $\Delta _{1}$ $=0$ , इसलिए $\Delta$ को पाना आसान होता है। इस तरह से सॉल्व करें:
  
  $(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})$
  
  $((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})$
  
  $0-0\div 27$
  
  $0=\Delta$ , इसलिए इक़्वेशन का एक या दो आन्सर्स होंगे।
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5
कैलकुलेट करें: $C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}$ अब आखिरी जरूरी वैल्यू, जिसे हमें कैलकुलेट करना है, वो $C$ है। ये जरूरी क्वान्टिटी फाइनली हमें अपने तीन रूट्स निकालने देगी। $\Delta _{1}$ और $\Delta _{0}$ को जरूरत के हिसाब से सब्स्टीट्यूट करते हुए, एकदम नॉर्मल जैसे ही सॉल्व करे।
- आपके उदाहरण में, $C$ को इस तरह से निकालें:
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}$
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}$
  
  $^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}$
  
  $0=C$
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6
अपने वेरिएबल्स के साथ तीनों रूट्स को कैलकुलेट करें: आपके क्यूबिक इक़्वेशन के रूट्स (आन्सर) को $-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a$ के फॉर्मूला के जरिए निकाला जा सकता है, जहां पर $u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2$ और n या तो 1 , 2 , या 3 हैं। सॉल्व करने के लिए, जरूरत के हिसन से वैल्यूज रखते जाएँ — इसे करने में बहुत सारी मैथ करनी होती है, लेकिन आपको तीन योग्य आन्सर्स मिल जाएंगे!
- आप फिर n के 1 , 2 , और 3 के बराबर होने पर आन्सर को चेक करते हुए उदाहरण को सॉल्व कर सकते हैं। इन टेस्ट्स में आपको मिलने वाले आन्सर्स आपकी क्यूबिक इक़्वेशन के संभावित आन्सर्स होंगे; अगर इन्हें सही रूप से इक़्वेशन में रखा जाए, तो इनमें से कोई भी 0 आन्सर देगा।
- उदाहरण के लिए, चूंकि 1 को $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ में रखने से 0 , 1 मिलता है, जो आपकी क्यूबिक इक़्वेशंस के आन्सर में से एक है।

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