Berechnung der Residuenquadratsumme

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unter Mitarbeit von Grace Imson, MA

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Die Residuenquadratsumme SQR ist eine vorläufige statistische Methode zur Berechnung von Datenwerten. Wenn du einen Datensatz hast, ist es nützlich zu wissen, wie eng diese Werte miteinander verbunden sind. Dazu musst du deine Daten in eine Tabelle eintragen und einige ziemlich einfache Berechnungen durchführen. Sobald du die SQR eines Datensatzes hast, kannst du die Varianz und die Standardabweichung herausfinden.

Methode 1
Methode 1 von 3:

Die SQR händisch berechnen

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  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/ca\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/ca\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Am besten beginnt man zur Berechnung der Residuenquadratsumme mit einer dreispaltigen Tabelle. Beschrifte die Spalten mit , und . [1]
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/51\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-2-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-2-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/51\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-2-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-2-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    In die erste Spalte kommen deine Messwerte. Trage in Spalte deine Messwerte ein. Diese könnten das Ergebnis eines Experiments, einer statistischen Studie oder einfach Werte aus einer Matheaufgabe sein. [2]
    • Nimm für diesen Fall an, dass du mit irgendwelchen medizinischen Daten arbeitest und dass du eine Liste mit Körpertemperaturen von zehn Pateinten hast. Die erwartete Körpertemperatur entspricht 37 °C. Die gemessenen Körpertemperaturen der zehn Patienten haben die Werte 37,22, 37,00, 36,94, 38,39, 36,83, 37,00, 36,61, 36,89, 37,33 und 37,28. Trage diese Werte in die erste Spalte ein.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a5\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a5\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Bevor du den Messfehler für jeden Wert berechnen kannst, musst du den Mittelwert aller Werte bestimmen. [3]
    • Beachte, dass der Mittelwert der Messwerte als die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte erhalten wird. Symbolisch kann der Mittelwert durch die Variable dargestellt werden:
    • Für den gegebenen Datensatz wird der Mittelwert wie folgt berechnet:
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4b\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/4b\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    In die zweite Spalte deiner Tabelle werden die Messfehler der einzelnen Werte eingetragen. Diese entsprechen der Abweichung des gemessenen Werts vom Mittelwert. [4]
    • Für den gegebenen Datensatz musst du den Mittelwert 37,2 von jedem gemessenen Wert abziehen und das Ergebnis in die zweite Spalte deiner Tabelle eintragen. Diese Berechnungen entsprechen:
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/16\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/16\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Trage in die dritte Tabellenspalte das Quadrat jeder Abweichung aus der mittleren Spalte ein. Diese entsprechen den Quadraten der Abweichung vom Mittelwert für jeden Messwert. [5]
    • Verwende einen Taschenrechner, um jeden Wert aus der mittleren Spalte zu quadrieren. Trage die Ergebnisse in die dritte Spalte wie folgt ein:
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/ca\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-6.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/ca\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-6.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Der letzte Schritt besteht darin, die Summe der Werte aus der dritten Zeile zu finden. Das gesuchte Ergebnis ist die SQR, also die Residuenquadratsumme.
    • Für den gegebenen Datensatz wird die SQR durch die Addition der zehn Werte aus der dritten Spalte erhalten:
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Methode 2
Methode 2 von 3:

Erstellen einer Excel-Tabelle zur Berechnung der SQR

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  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/ff\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-7.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/ff\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-7.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Mit denselben Beschriftungen wie oben musst du in Excel eine dreispaltige Tabelle erstellen.
    • Gib die Überschrift „Wert“ in Zelle A1 ein.
    • Gib die Überschrift „Abweichung“ in Zelle B1 ein.
    • Gib die Überschrift „Quadrat der Abweichung“ in Zelle C1 ein.
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/64\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-8.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/64\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-8.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Gib deine Messwerte in die erste Spalte ein. Wenn der Datensatz klein ist, kannst du sie händisch eingeben. Hast du einen großen Datensatz, dann kannst du die Werte kopieren und in die Tabellenspalte einfügen.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3c\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-9.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3c\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-9.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Excel hat eine eingebaute Funktion zur Berechnung des Mittelwerts. Gib in eine freie Zelle unterhalb deiner Datentabelle (es spielt keine Rolle, welche Zelle du wählst) folgendes ein: [6]
    • =MITTELWERT(A2:___)
    • Gib keine Leerzeichen ein, sondern fülle die Lücke mit der Zellenbezeichnung deines letzten Datenpunkts. Wenn du zum Beispiel 100 Datenpunkte hast, musst du die folgende Funktion benutzen:
      • =MITTELWERT(A2:A101)
      • Diese Funktion berücksichtigt alle Werte von A2 bis A101, da die oberste Reihe die Tabellenüberschrift beinhaltet.
    • Wenn du auf Enter oder eine andere Zelle in deiner Tabelle klickst, wird der Mittelwert deiner Werte automatisch in die Zelle eingefügt, die du soeben programmiert hast.
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/18\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-10.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/18\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-10.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Um die Abweichung jedes Datenpunkts vom Mittelwert zu berechnen, musst du in die erste leere Zelle der „Abweichung“-Spalte die entsprechende Funktion eingeben. Dazu benötigst du die Bezeichnung der Zelle, die den Mittelwert beinhaltet. Wir nehmen an, dass du dafür Zelle A104 verwendet hast. [7]
    • Diese Funktion gibst du zur Berechnung des Fehlers in Zelle B2 ein:
      • =A2-$A$104. Das Dollarzeichen ist nötig, damit du für jede Rechnung auf Zelle A104 zurückgreifst.
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1d\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-11.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/1d\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-11.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Du kannst in der dritten Spalte Excel signalisieren, dass es die benötigten Quadrate berechnen soll. [8]
    • Gib in Zelle C2 die folgende Funktion ein:
      • =B2^2
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e8\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-12.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e8\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-12.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Nachdem du die Funktionen in die oberen Zeilen der Spalten B2 und C2 eingegeben hast, musst du die gesamte Tabelle füllen. Du könntest die Funktion nochmal in jede Tabellenzeile eingeben, aber das würde zu lange dauern. Markiere die Zellen B2 und C2 mit deiner Maus und ziehe bis zur unteren Zelle jeder Spalte, ohne die Maustaste loszulassen.
    • Wenn du 100 Datenpunkte in deiner Tabelle hast, musst du den Mauszeiger runter bis zu den Zellen B101 und C101 ziehen.
    • Wenn du dann die Maustaste loslässt, werden die Formeln in alle ausgewählten Zellen der Tabelle kopiert und die Tabelle sollte automatisch mit den berechneten Werten gefüllt werden.
  7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f1\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-13.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f1\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-13.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    In Tabellenspalte C sind alle quadrierten Abweichungen. Der letzte Schritt besteht darin, dass Excel die Summe dieser Werte bildet. [9]
    • Gib die folgende Funktion in eine Zelle unterhalb der Tabelle, zum Beispiel in C102, ein:
      • =SUMME(C2:C101)
    • Wenn du auf Enter oder auf eine andere Zelle klickst, wird die SQR berechnet.
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Methode 3
Methode 3 von 3:

Beziehung der SQR zu anderen statistischen Daten

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  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/71\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-14.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/71\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-14.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Die Berechnung der SQR eines Datensatzes ist ein Baustein zur Berechnung für andere, sinnvollere Werte. Einer davon ist die Varianz. Die Varianz gibt an, wie weit die gemessenen Werte vom Mittelwert abweichen. Es ist der Durchschnitt der quadratischen Abweichungen. [10]
    • Weil die SQR der Summe der quadrierten Abweichungen entspricht, kannst du den Durchschnitt (also die Varianz) aus der Division durch die Anzahl der Werte erhalten. Wenn du eine Stichprobenvarianz und keine Populationsvarianz berechnest, musst du durch (n-1) anstatt durch n dividieren. Damit folgt:
      • Varianz = SQR/n, wenn du eine Populationsvarianz berechnen möchtest.
      • Varianz = SQR/(n-1), wenn du eine Stichprobenvarianz berechnen möchtest.
    • In unserem Beispiel mit den Körpertemperaturen der Patienten können wir annehmen, dass zehn Patienten einen Stichprobensatz darstellen. Deshalb wird die Varianz wie folgt berechnet:
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e6\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-15.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/e6\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-15.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Die Standardabweichung ist ein häufig verwendeter Wert, der die Abweichung der Messwerte vom Mittelwert angibt. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Bedenke, dass die Varianz dem Durchschnitt der quadratischen Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert entspricht. [11]
    • Wenn du die SQR berechnet hast, kannst du die Standardabweichung wie folgt bestimmen:
    • Für den Datensatz der gemessenen Temperaturen ergibt sich die Standardabweichung wie folgt:
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/70\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-16.jpg\/v4-460px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/70\/Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-16.jpg\/v4-728px-Calculate-the-Sum-of-Squares-for-Error-%28SSE%29-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    In diesem Artikel wurden Datensätze behandelt, in denen gleichzeitig nur ein Messwert aufgenommen wird. In vielen Messreihen kann es allerdings dazu kommen, dass du zwei verschiedene Werte miteinander vergleichst. Es wäre dann interessant zu wissen, wie sich die beiden Werte zueinander verhalten und nicht nur zum Mittelwert der Messwerte. Dieser Wert wird als die Kovarianz bezeichnet. [12]
    • Die Berechnung der Kovarianz ist zu kompliziert, um sie hier im Detail zu beschreiben. Allerdings muss dazu die SQR für jeden Datentyp ermittelt werden, um die Werte zu vergleichen. Für eine detaillierte Beschreibung der Kovarianz und entsprechende Berechnungen siehe Die Kovarianz berechnen .
    • Zum Beispiel könntest du die Kovarianz dazu verwenden, um das Alter der Patienten einer medizinischen Studie mit der Wirksamkeit eines fiebersenkenden Medikaments vergleichen. In diesem Fall hättest du einen Datensatz mit dem Alter und einen zweiten Datensatz mit Temperaturen. Du müsstest die SQR für jeden Datensatz berechnen und daraus die Varianz, die Standardabweichung und die Kovarianz berechnen.
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Referenzen

  1. ↑ https://www.westgard.com/lesson35.htm
  2. ↑ https://www.westgard.com/lesson35.htm
  3. ↑ https://www.westgard.com/lesson35.htm
  4. ↑ https://www.westgard.com/lesson35.htm
  5. ↑ https://www.westgard.com/lesson35.htm
  6. ↑ https://support.office.com/en-us/article/Excel-functions-by-category-5f91f4e9-7b42-46d2-9bd1-63f26a86c0eb
  7. ↑ https://support.office.com/en-us/article/Excel-functions-by-category-5f91f4e9-7b42-46d2-9bd1-63f26a86c0eb
  8. ↑ https://support.office.com/en-us/article/Excel-functions-by-category-5f91f4e9-7b42-46d2-9bd1-63f26a86c0eb
  9. ↑ https://support.office.com/en-us/article/Excel-functions-by-category-5f91f4e9-7b42-46d2-9bd1-63f26a86c0eb
  1. ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
  2. ↑ http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html
  3. ↑ http://www.math.uah.edu/stat/expect/Covariance.html

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