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Anders als Menschen verwenden Computer nicht das Dezimalsystem. Stattdessen wird das binäre Zahlensystem, mit 0 und 1 als die einzigen beiden Darstellungsformen, verwendet. Deswegen werden Zahlen im IEEE 754-System ganz anders geschrieben als im gewohnten Dezimalsystem. In dieser Anleitung lernst du, wie du Zahlen in IEEE 754 sowohl im einfach als auch im doppelt genauen Format darstellst. Für diese Methode solltest du wissen, wie man Zahlen in ihre binäre Form umwandelt. Wenn du es noch nicht gelernt hast, kannst du es in Dezimalzahlen in Binärzahlen umwandeln lernen.
Vorgehensweise
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Such dir entweder das einfach oder doppelt genaue Format aus. Egal ob du die Zahl im einfach oder doppelt genauen Zahlenformat darstellst, die Vorgehensweise ist für beide Fälle gleich. Der einzige Unterschied besteht in der Umrechnung zwischen Exponent und Mantisse.
- Zunächst müssen wir uns überlegen, was das einfach genaue Zahlenformat ist. In der Fließkommadarstellung wird jede Zahl (0 oder 1) als ein „Bit“ bezeichnet. Das einfach genaue Format hat insgesamt 32 Bits, die in 3 verschiedene Bereiche unterteilt sind. Diese Bereiche bestehen aus einem Vorzeichen (1 Bit), einem Exponenten (8 Bit) und einer Mantisse oder einem Bruch (23 Bit).
- Das doppelt genaue Format hat dieselbe Anordnung von drei Bereichen, wie das einfach genaue Format. Der einzige Unterschied besteht darin, dass es eine größere und deshalb genauere Zahl liefert. In dem Fall hat das Vorzeichen 1 Bit, der Exponent 11 Bit und die Mantisse 52 Bit.
- In diesem Beispiel werden wir die Zahl 85,125 in das einfach genaue Zahlenformat des IEEE 754 Systems umwandeln.
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Trenne die ganze Zahl von ihren Dezimalstellen. Nimm die Zahl, die du umwandeln möchtest und teil sie in eine ganze Zahl und in eine Dezimalzahl auf. In diesem Bespiel werden wir die Zahl 85,125 umwandeln. Diese kannst du in die ganze Zahl 85 und die Dezimalzahl 0,125 zerlegen.
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Wandle die ganze Zahl in eine Binärzahl um. [1] X Forschungsquelle Die 85 aus 85,125 entspricht 1010101 im Binärsystem.
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Wandle den Dezimalteil in das binäre Zahlensystem um. [2] X Forschungsquelle Im binären System entspricht die 0,125 von 85,125 0,001.
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Füge die beiden in Binärzahl umgewandelten Teile zusammen. [3] X Forschungsquelle Beispielsweise ist die Zahl 85 im Binärsystem 1010101 und der Dezimalteil 0,125 entspricht 0,001 in binär. Wenn du sie als Dezimalzahl zusammenfügst, erhältst du das Ergebnis 1010101,001.
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Schreibe die Binärzahl in die wissenschaftliche Notation zur Basis 2 um. Um die Zahl in die wissenschaftliche Darstellung zur Basis 2 umzuschreiben, kannst du das Komma so lange nach links verschieben, bis es sich rechts vom ersten Bit befindet. Da diese Zahlen normalisiert sind, wird der führende Bit immer 1 sein. Der Exponent in der wissenschaftlichen Notation zur Basis 2 entspricht dabei der Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben wird. [4] X Forschungsquelle
- Denk daran, dass eine Verschiebung nach links zu einem positiven und eine Verschiebung nach rechts zu einem negativen Exponenten führt.
- Um in unserem Beispiel das Komma rechts neben den ersten Bit zu schieben, muss es sechs Mal verschoben werden. Das Ergebnis ist . Diese Zahl wird in den folgenden Schritten verwendet.
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Bestimme das Vorzeichen der Zahl und stelle sie im binären Zahlenformat dar. Jetzt musst du herausfinden, ob deine ursprüngliche Zahl positiv oder negativ ist. Bei einer positiven Zahl musst du das entsprechende Bit mit 0 versehen, ein negatives Vorzeichen entspricht dem Bit 1. [5] X Forschungsquelle Da deine ursprüngliche Zahl 85,125 positiv ist, musst du dieses Bit mit 0 versehen. Dies ist das erste der 32 Bit im einfach genauen Zahlenformat des IEEE 754-Systems.
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Bestimme je nach Genauigkeit den Exponenten. Sowohl für einfache als auch für doppelte Genauigkeit gibt es festgelegte Vorgaben. Der Exponenten-Bias im einfach genauen Format ist 127 . Das bedeutet, dass der zuvor bestimmte Exponent der Basis-2-Darstellung hinzuaddiert werden muss. Damit ist der gesuchte Exponent also 127+6 , was eben 133 entspricht.
- Wie der Name schon sagt, ist das doppelt genaue Format genauer und kann größere Zahlen darstellen. Deshalb ist in diesem Fall der Exponenten-Bias 1023 . Dabei geht man genauso vor wie beim einfach genauen Zahlenformat, sodass hier der Exponent als 1029 erhalten wird.
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Wandle den Exponenten in Binärzahl um. Nachdem du den letzten Exponenten bestimmt hast, musst du ihn in eine Binärzahl umwandeln, um ihn im IEEE 754-System darstellen zu können. Beispielsweise kannst du die 133 aus dem letzten Schritt in 10000101 umwandeln.
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Bestimme die Mantisse. Der dritte Schritt der Umwandlung in das IEEE 754-System ist die Bestimmung der Mantisse. Dabei handelt es sich um den Zahlenrest nach der Dezimalstelle der wissenschaftlichen Darstellung zur Basis 2. Lass dazu einfach die vordere 1 weg und übernimm den Dezimalteil der Zahl, die mit 2 multipliziert wird. Du musst keine weitere Umformung vornehmen! In unserem Beispiel entspricht 010101001 der Mantisse von .
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Fasse die drei Teile zu einer Zahl zusammen.
- Anschließend musst du alle Umrechnungen zu einer Zahl zusammenfassen. Diese beginnt mit 0 oder 1 Bit, so wie du es in Schritt 7 aus dem Vorzeichen bestimmt hast. In diesem Beispiel beginnt deine Zahl mit 0.
- Als nächstes brauchst du den Exponenten aus Schritt 9. In diesem Beispiel entspricht dein Exponent 10000101.
- Der dritte und letzte Schritt der Umwandlung ist die Mantisse. Diese hast du aus den Dezimalstellen der Darstellung zur Basis 2 erhalten. Beispielsweise ist die Mantisse in diesem Fall 010101001.
- Am Schluss fasst du alles zusammen. Dabei muss die Reihenfolge Vorzeichen-Exponent-Mantisse beibehalten werden. Sobald du diese drei Binärzahlen verbunden hast, füllst du den Rest der Mantisse mit Nullen.
- Beispielsweise entspricht die 85,125 aus dem vorliegenden Beispiel 0 10000101 01010100100000000000000 im IEEE 754-System.
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Referenzen
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