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Las poblaciones de bacterias, el dinero invertido a una tasa de interés garantizada, la población de ciertas ciudades, todas estas variables tienden a crecer exponencialmente. Esto significa que, mientras más grandes sean, más rápido crecerán. Con un "tiempo de duplicación" rápido (el tiempo de duplicación es el tiempo que tardan estas cantidades en crecer), incluso hasta una cantidad extremadamente pequeña puede volverse enorme. Aprende cómo hallar este valor usando una fórmula rápida y fácil o aprende en profundidad cuál es la matemática que hay detrás de este concepto.
Pasos
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Comprueba si la tasa de crecimiento es lo suficientemente pequeña como para usar este método. El tiempo de duplicación es un concepto que se utiliza para cantidades que crecen en forma exponencial. Los ejemplos más comunes son las tasas de interés y el crecimiento de una población. Si la tasa de crecimiento es (aproximadamente) menor a 0,15 por el intervalo de tiempo, se puede usar este método rápido para calcular una buena estimación. [1] X Fuente de investigación Si el problema no te proporciona la tasa de crecimiento, puedes encontrarla calculando: .
- Ejemplo 1:
la población de una isla crece a tasa exponencial. Desde 2015 hasta 2016, la población se incrementó de 20.000 hasta 22.800. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la población?
- 22.800 - 20.000 = 2.800 nuevos habitantes. 2.800 ÷ 20.000 = 0,14. Por lo tanto, la población está creciendo a una tasa de 0,14 por año . Como este número es lo suficientemente pequeño, esta estimación será bastante precisa.
- Ejemplo 1:
la población de una isla crece a tasa exponencial. Desde 2015 hasta 2016, la población se incrementó de 20.000 hasta 22.800. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la población?
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Multiplica la tasa de crecimiento por 100 para expresarla como porcentaje. Para la mayoría de las personas, los porcentajes son mucho más intuitivos que los números decimales.
- Ejemplo 1 (continuación): la isla tuvo una tasa de crecimiento de 0,14 expresada en decimales. Esto representa . Multiplica el numerador y el denominador por 100 para obtener 14 % por año.
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Divide el porcentaje de la tasa de crecimiento por 70. La respuesta será la cantidad de intervalos de tiempo que tardará esa cantidad en duplicarse. Asegúrate de expresar la tasa de crecimiento como porcentaje y no como valor decimal, de lo contrario, la respuesta será incorrecta (si sientes curiosidad acerca de cómo funciona esta "regla del 70", lee la próxima sección, que lo explica con más detalles).
- Ejemplo 1 (continuación): la tasa de crecimiento fue del 14 %, así que la cantidad requerida de intervalos es .
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Convierte la respuesta en la unidad de tiempo deseada. En la mayoría de los casos, ya tienes la respuesta expresada en términos de años, segundos o cualquier otra medida conveniente. Sin embargo, si mediste la tasa de crecimiento a lo largo de un período mayor, debes multiplicar la respuesta para expresarla en unidades de tiempo individuales.
- Ejemplo 1 (continuación): en este caso, como la tasa de crecimiento se midió a lo largo de un año, cada intervalo de tiempo será de un año. La población de la isla se duplica cada 5 años.
- Ejemplo 2:
hay una segunda isla cerca de la anterior, pero está infestada de arañas y por eso no es tan popular. Esta isla también creció de 20.000 a 22.800 pero tardó 20 años en hacerlo. Suponiendo que la tasa de crecimiento es exponencial, ¿cuál es el tiempo de duplicación de la población?
- Esta isla tuvo una tasa de crecimiento del 14 % a lo largo de 20 años. La "regla del 70" indica que también tardaría 5 veces el intervalo en duplicarse, pero en este caso cada intervalo es de 20 años. (5 veces el intervalo) x (20 años / intervalo de tiempo ) = 100 años . La población de la isla infestada de arañas tardará 100 años en duplicarse.
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Comprende la fórmula de crecimiento exponencial. Si comienzas con una cantidad inicial que crece exponencialmente, la cantidad final se describe a través de la fórmula . La variable r representa la tasa de crecimiento por período de tiempo (como valor decimal) y t es la cantidad de períodos de tiempo.
- Para que esta fórmula tenga sentido, imagina que haces una inversión de $100 a una tasa de interés anual de 0,02. Cada vez que calculas el crecimiento, multiplicas la cantidad que tienes por 1,02. Después de un año, tendrías ($100)(1,02), después de dos años ($100)(1,02)(1,02) y así sucesivamente. Esto se simplifica en donde t es la cantidad de períodos de tiempo.
- Nota: si r y t no usan la misma unidad de tiempo, usa la fórmula donde n es la cantidad de veces que se calcula el crecimiento por período de tiempo. Por ejemplo, si r = 0,05 por mes y t = 4 años, utiliza n = 12, ya que un año tiene 12 meses.
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Reescribe esta fórmula para el crecimiento continuo. En la mayoría de las situaciones del mundo real, una cantidad crece "continuamente" en vez de hacerlo solo en intervalos regulares. En este caso, la fórmula de crecimiento es , usando la constante matemática e . [2] X Fuente de investigación
- Esta fórmula a menudo se usa para obtener una aproximación del crecimiento poblacional y siempre se usa para calcular interés compuesto continuo. En situaciones en las que el crecimiento se calcula a través de intervalos regulares, por ejemplo, interés compuesto anual, la fórmula de arriba es más precisa.
- Puedes deducir esta fórmula a partir de la anterior usando operaciones de cálculo .
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Reemplaza los valores para obtener la población duplicada. Cuando la población se duplica, la cantidad final equivaldrá al doble de la cantidad inicial o . Reemplaza los valores en la fórmula y elimina todos los términos de A usando operaciones algebraicas:
- Divide ambos lados por
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Reordena la fórmula para hallar el valor de t . Si todavía no has aprendido a usar logaritmos, tal vez no sepas cómo quitar la t fuera del exponente. El término significa "a qué valor se debe elevar m para obtener n ". Debido a que la constante e aparece muy a menudo en situaciones de la vida real, existe un término especial llamado "logaritmo natural", que se abrevia como "ln" que significa . Utilízalo para aislar t en un lado de la ecuación:
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Reemplaza la tasa de crecimiento y resuelve la ecuación. Ahora puedes resolver la ecuación para hallar el valor de t ingresando la tasa de crecimiento decimal r en la fórmula. Ten en cuenta que ln(2) es aproximadamente igual a 0,69. Una vez que conviertas la tasa de crecimiento de formato decimal a porcentaje, puedes redondear ese valor y obtener la fórmula de la "regla del 70".
- Ahora que conoces esta fórmula, puedes ajustarla para resolver problemas similares. Por ejemplo, para encontrar el "tiempo de triplicación" a través de la fórmula .
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Consejos
- Algunas inversiones financieras fluctúan hacia arriba y hacia abajo en vez de crecer a una tasa constante. Para poder comparar estos valores con otras opciones, los inversionistas usan la fórmula de la tasa de crecimiento anual compuesto (TCAC): . La respuesta indica cuál sería la tasa de crecimiento, si el crecimiento fuera constante. [3] X Fuente de investigación Ten en cuenta que esta tasa de crecimiento está expresada en valores decimales.
- Si el crecimiento se produjera a una tasa constante independientemente del tamaño total (por ejemplo, "5 personas por año"), no uses el método anterior. Este patrón de crecimiento lineal se calcula como donde es la cantidad en el momento t , es la cantidad en el momento 0 y r es la tasa constante de crecimiento, y t es el tiempo transcurrido. En las tasas de crecimiento constantes no existe tiempo de duplicación, pero igualmente puedes resolver el problema de tiempo de duplicación si consideras un momento específico en el tiempo. Establece igual a y resuélvelo para hallar el valor de t . La respuesta solo será verdadera para ese valor específico de .
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Advertencias
- Algunas guías utilizan la fórmula 0,7 ÷ crecimiento. Esa fórmula debes usarla solo cuando la tasa de crecimiento está expresada en decimales. Ten cuidado de no confundirla con la fórmula anterior (70 ÷ tasa de crecimiento expresada en porcentaje). De lo contrario, tu respuesta será incorrecta (estará multiplicada por 100).
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Referencias
Acerca de este wikiHow
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