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Bakterienstämme, investiertes Geld bei einer garantierten Zinsrate, die Bevölkerung bestimmter Städte; diese Mengen tendieren dazu, exponentiell zu wachsen. Das bedeutet, dass sie, je größer sie werden, umso schneller wachsen. Bei einer kurzen "Verdopplungszeit" oder Zeit, die es dauert zu wachsen, kann sogar eine kleine Menge schnell enorm groß werden. Lerne, wie man diesen Wert mit Hilfe einer kurzen und einfachen Formel ermittelt oder tauche in die dahinterliegende Mathematik ein.
Vorgehensweise
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Prüfe, ob die Wachstumsrate klein genug ist für diese Methode. Die Verdopplungszeit ist ein Konzept, das bei Mengen angewandt wird, die exponentiell wachsen. Zinsraten und das Wachstum einer Bevölkerung sind die am häufigsten verwendeten Beispiele. Wenn die Wachstumsrate niedriger ist als 0,15 pro Zeitintervall, könnten wir diese schnelle Methode für eine gute Schätzung verwenden. [1] X Forschungsquelle Wenn die Aufgabe dir nicht die Wachstumsrate nennt, kannst du sie in Dezimalform finden mit der Formel (Gegenwärtige Menge – Vergangene Menge) ÷ Vergangene Menge .
- Beispiel 1:
Die Bevölkerung einer Insel wächst zu einer exponentiellen Rate. Von 2015 bis 2016 ist die Bevölkerung von 20.000 zu 22.800 angewachsen. Was ist die Wachstumsrate der Bevölkerung?
- 22.800 – 20.000 = 2.800 neue Menschen. 2.800 ÷ 20.000 = 0,14, die Bevölkerung wächst also mit einer Rate von 0,14 pro Jahr . Das ist klein genug, dass die Schätzung relativ genau ausfallen wird.
- Beispiel 1:
Die Bevölkerung einer Insel wächst zu einer exponentiellen Rate. Von 2015 bis 2016 ist die Bevölkerung von 20.000 zu 22.800 angewachsen. Was ist die Wachstumsrate der Bevölkerung?
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Multipliziere die Wachstumsrate mit 100, um sie als Prozentzahl auszudrücken. Die meisten Leute finden diese anschaulicher als die Dezimalangabe.
- Beispiel 1 (Forts.): Diese Insel hatte eine Wachstumsrate von 0,14, als Dezimalform geschrieben. Das steht für . Multipliziere den Zähler und den Nenner mit 100 und erhalte 14 % pro Jahr .
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Teile 70 durch die Wachstumsrate in Prozent. Die Lösung wird die Anzahl der Zeitintervalle sein, die es bis zur Verdopplung dauert. Achte darauf, die Wachstumsrate als Prozentzahl zu verwenden, nicht als Dezimalzahl, sonst wird die Lösung falsch sein. (Wenn du neugierig bist, warum diese "70er-Regel" funktioniert, lies dir die detailliertere Methode weiter unten durch).
- Beispiel 1 (Forts.): Die Wachstumsrate war 14 %, also ist die Anzahl der benötigten Zeitintervalle .
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Rechne deine Lösung in die gewünschte Zeiteinheit um. In den meisten Fällen hast du die Antwort bereits in Form von Jahren, Sekunden oder einer anderen geeigneten Zeitmessung. Wenn du die Wachstumsrate jedoch über einen größeren Zeitraum berechnet hast, musst du vielleicht multiplizieren, um die Lösung in Form von einzelnen Zeiteinheiten zu erhalten.
- Beispiel 1 (Forts): In diesem Fall ist, da wir das Wachstum über ein Jahr berechnet haben, jede Zeitperiode ein Jahr. Die Bevölkerung der Insel verdoppelt sich alle 5 Jahre .
- Beispiel 2 2:
Die zweite, von Spinnen befallene Insel in der Nähe ist weitaus weniger beliebt. Ihre Bevölkerung ist ebenfalls von 20.000 auf 22.800 angewachsen, es hat aber 20 Jahre gedauert. Wenn wir davon ausgehen, dass das Wachstum exponentiell ist, was ist dann ihre Verdopplungszeit?
- Diese Insel hat eine Wachstumsrate von 14 % über 20 Jahre. Die "70er-Regel" sagt uns, dass es ebenfalls 5 Zeitintervalle bis zur Verdopplung dauern wird, in diesem Falle ist jedes Zeitintervall aber 20 Jahre, (5 Zeitintervalle) x (20 Jahre / Zeitintervall ) = 100 Jahre , bis sich die Bevölkerung der von Spinnen befallenen Insel verdoppelt.
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Verstehe die Formel für exponentielles Wachstum. Wenn du mit einer anfänglichen Menge beginnst, die exponentiell wächst, wird die Endmenge mit der Formel beschrieben. Die Variable r steht für die Wachstumsrate pro Zeitintervall (als Dezimalwert) und t ist die Anzahl der Zeitintervalle.
- Um diese Formel anzuwenden, stellen wir uns eine Investition mit 100 € bei einer jährlichen Zinsrate von 0,02 vor. Wann immer du Wachstum berechnest, multiplizierst du den Betrag, den du hast, mit 1,02. Nach einem Jahr sind das (100 €) (1,02), nach zwei Jahren sind das (100 €)(1,02)(1,02) und so weiter. Das lässt sich zu vereinfachen, wobei t die Anzahl der Zeitintervalle ist.
- Beachte: Wenn r und t nicht in derselben Einheit angegeben sind, verwendest du die Formel , wobei n die Anzahl der Male ist, zu denen pro Zeitintervall das Wachstum berechnet wird. Wenn zum Beispiel r = 0,05 pro Monat ist und t = 4 Jahre, verwendest du n = 12, da ein Jahr zwölf Monate hat.
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Schreibe diese Formel für kontinuierliches Wachstum um. In den meisten Situationen der realen Welt wächst eine Menge "kontinuierlich" an, anstatt nur in regelmäßigen Intervallen zu wachsen. In diesem Fall ist die Formel für das Wachstum , unter Verwendung der mathematischen Konstante e . [2] X Forschungsquelle
- Diese Formel wird oft verwendet, um Bevölkerungswachstum grob zu berechnen und immer bei regelmäßig anfallenden Zinsen. In Situationen, wo das Wachstum in regelmäßigen Intervallen berechnet wird, wie jährlich berechnete Zinsen, ist die oben genannte Formel zutreffender.
- Du kannst diese von der oben genannten Formel ableiten, indem du Differenzial- und Integralrechnung anwendest.
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Setze die Werte für eine verdoppelte Bevölkerung ein. Wenn sich die Bevölkerung verdoppelt, wird die Endmenge das Doppelte der Anfangsmenge sein oder . Setze das in die Formel ein und entferne mit Algebra alle A-Terme:
- Teile beide Seiten durch
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Stelle die Formel um, um nach t zu lösen. Wenn du noch nichts über Logarithmen gelernt hast, weißt du vielleicht nicht, wie man das t aus dem Exponenten bekommt. Der Term bedeutet, dass der Exponent m hoch n gesetzt wird. Weil die Konstante e so oft in Situationen der realen Welt vorkommt, gibt es den speziellen Begriff "natürlicher Logarithmus", abgekürzt "ln", das bedeutet . Verwende ihn, um das t auf einer Seite der Gleichung zu isolieren:
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Setze die Wachstumsrate ein und löse auf. Jetzt kannst du nach t lösen, indem du die dezimale Wachstumsrate r in die Formel einsetzt. Beachte, dass ln(2) ungefähr 0,69 ist. Wenn du die Wachstumsrate von der Dezimalform in die Prozentangabe umwandelst, kannst du diesen Wert runden, um die Formel für die "70er-Regel" zu bekommen.
- Jetzt wo du diese Formel kennst, kannst du sie anpassen, um ähnliche Aufgaben zu lösen. Finde zum Beispiel die "Verdreifachungszeit" mit der Formel .
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Tipps
- Manche finanzielle Investitionen fluktuieren nach oben und unten, anstatt zu einer gleichbleibenden Rate anzuwachsen. Um diese mit anderen Optionen zu vergleichen, verwenden Investoren eine kontinuierliche jährliche Wachstumsrate (CAGR): . Die Lösung sagt dir, was die exponentielle Wachstumsrate wäre, wenn das Wachstum gleichbleibend wäre. [3] X Forschungsquelle Beachte, dass hier die Wachstumsrate in Dezimalform verwendet wird.
- Wenn das Wachstum zu einer konstanten Rate auftritt, unabhängig von der Gesamtgröße (wie "5 Menschen pro Jahr" anstatt einer Prozentangabe), dann solltest du nicht die oben genannte Methode verwenden. Beschreibe dieses lineare Wachstumsmuster als , wobei die Dauer bei einer Zeit t ist, die Dauer zur Zeit 0, r die konstante Wachstumsrate und t die vergangene Zeitdauer. Es gibt keine konstante Verdopplungszeit bei einer linearen Wachstumsrate, du kannst aber die Verdopplungszeit für einen speziellen Zeitpunkt finden. Setze gleich und löse nach t . Deine Lösung wird nur richtig sein für diesen konkreten Wert von .
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Warnungen
- Manche Ratgeber verwenden stattdessen die Formel 0,7 ÷ Wachstumsrate. Das ist die richtige Formel, wenn die Wachstumsrate als Dezimalwert angegeben ist. Sei vorsichtig, dass du diese nicht mit der oben genannten Formel (70 ÷ Wachstumsrate in Prozent) verwechselst, sonst wird deine Lösung um einen Faktor von 100 daneben liegen.
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Referenzen
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