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Una de las habilidades más importantes que aprende un estudiante de álgebra es la fórmula cuadrática, o Con esta fórmula, resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma se vuelve simplemente en una cuestión de sustituir los coeficientes en la fórmula. Aunque tan solo saber la fórmula a menudo es suficiente para muchos, entender cómo se deriva (en otras palabras, de dónde viene) es una cosa totalmente diferente. La fórmula se deriva " completando el cuadrado " que también tiene otras aplicaciones en matemáticas, así que es recomendable que estés familiarizado con ello.
Pasos
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1Comienza con la forma estándar de una ecuación cuadrática general. Aunque cualquier ecuación que tenga un término califica como cuadrática, la forma estándar establece todo en 0. Recuerda que son coeficientes que pueden ser cualquier número real, así que no sustituyas ningún número para ellos, ya que quieres trabajar con la forma general. [1] X Fuente de investigación
- La única condición es que porque, de lo contrario, la ecuación se reduce a una ecuación lineal. Mira si puedes encontrar soluciones generales para los casos especiales donde y donde
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2Resta en ambos lados. El objetivo es despejar Para comenzar, debes mover uno de los coeficientes al otro lado, de manera que el lado izquierdo solo consista de los términos con que hay. [2] X Fuente de investigación
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3Divide ambos lados entre . [3] X Fuente de investigación Nota que podrías haber intercambiado este paso y el anterior, y aun haber llegado al mismo lugar. Recuerda que dividir un polinomio por algo significa que tienes que dividir cada uno de los términos individuales. Hacerlo hace más fácil completar el cuadrado.
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4Completa el cuadrado . Recuerda que el objetivo es reescribir una expresión como donde es cualquier coeficiente. Quizás no sea inmediatamente obvio para ti poder hacerlo. Para verlo más claro, reescribe como multiplicando el término por Puedes hacerlo porque multiplicar por 1 no cambia nada. Ahora puedes ver con claridad que en este caso, así que solo te falta el término . Por lo tanto, para completar el cuadrado debes añadir eso a ambos lados, es decir Luego, por supuesto, debes factorizar . [4] X Fuente de investigación
- Aquí, es claro por qué ya que está en el denominador, y no puedes dividir entre 0.
- Si lo necesitas, puedes expandir el lado izquierdo para confirmar que completar el cuadrado funciona.
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5Escribe el lado derecho bajo un denominador común. Aquí, ambos denominadores deben ser así que multiplica el término por [5] X Fuente de investigación
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6Saca la raíz cuadrada de cada lado. No obstante, es esencial que reconozcas que al hacerlo, en realidad estás haciendo dos pasos. Cuando sacas la raíz cuadrada de no obtienes En realidad obtienes su valor absoluto, Este valor absoluto es crítico al obtener ambas raíces, poner simplemente las raíces cuadradas en ambos lados solo te hará obtener una de las raíces.
- Ahora, te puedes deshacer de las barras de valor absoluto poniendo un
en el lado derecho. Puedes hacerlo porque el valor absoluto no distingue entre positivo y negativo, así que ambos son válidos. Esta información nos dice por qué la ecuación cuadrática te permite obtener dos raíces.
- Simplifica esta expresión un poco más. Ya que la raíz cuadrada de un cociente es el cociente de las raíces cuadradas, puedes escribir el lado derecho como
Luego puedes sacar la raíz cuadrada del denominador.
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7Despeja restando en ambos lados.
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8Escribe el lado derecho bajo un denominador común. Esto produce la fórmula cuadrática, la fórmula que resuelve cualquier ecuación cuadrática que esté en la forma estándar. Esto funciona para cualquier y produce una que puede ser un número real o complejo. Para confirmar que este proceso funciona, simplemente sigue los pasos de este artículo a la inversa para recuperar la forma estándar.Anuncio
Consejos
- Es interesante notar que la fórmula cuadrática también puede contener coeficientes complejos, aunque quizás tengas que simplificar un poco más para obtener la respuesta final, y las raíces ya no vendrán en pares conjugados. Sin embargo, los problemas con expresiones cuadráticas casi siempre se dan con coeficientes reales.
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Referencias
- ↑ https://www.chilimath.com/lessons/intermediate-algebra/derive-quadratic-formula/
- ↑ https://www.chilimath.com/lessons/intermediate-algebra/derive-quadratic-formula/
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/sqrquad2.htm
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/quadratic-equation-derivation.html
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/sqrquad2.htm
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