Cómo obtener la formula cuadrática

Coescrito por David Jia

Una de las habilidades más importantes que aprende un estudiante de álgebra es la fórmula cuadrática, o $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ Con esta fórmula, resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma $ax^{{2}}+bx+c=0$ se vuelve simplemente en una cuestión de sustituir los coeficientes $a,b,c$ en la fórmula. Aunque tan solo saber la fórmula a menudo es suficiente para muchos, entender cómo se deriva (en otras palabras, de dónde viene) es una cosa totalmente diferente. La fórmula se deriva " completando el cuadrado " que también tiene otras aplicaciones en matemáticas, así que es recomendable que estés familiarizado con ello.

Pasos

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Comienza con la forma estándar de una ecuación cuadrática general. Aunque cualquier ecuación que tenga un término $x^{{2}}$ califica como cuadrática, la forma estándar establece todo en 0. Recuerda que $a,b,c$ son coeficientes que pueden ser cualquier número real, así que no sustituyas ningún número para ellos, ya que quieres trabajar con la forma general. ^{[1]
X
Fuente de investigación}
- $ax^{{2}}+bx+c=0$
- La única condición es que $a\neq 0,$ porque, de lo contrario, la ecuación se reduce a una ecuación lineal. Mira si puedes encontrar soluciones generales para los casos especiales donde $b=0$ y donde $c=0.$
2
Resta $c$ en ambos lados. El objetivo es despejar $x.$ Para comenzar, debes mover uno de los coeficientes al otro lado, de manera que el lado izquierdo solo consista de los términos con $x$ que hay. ^{[2]
X
Fuente de investigación}
- $ax^{2}+bx=-c$
3
Divide ambos lados entre $a$ . ^{[3]
X
Fuente de investigación} Nota que podrías haber intercambiado este paso y el anterior, y aun haber llegado al mismo lugar. Recuerda que dividir un polinomio por algo significa que tienes que dividir cada uno de los términos individuales. Hacerlo hace más fácil completar el cuadrado.
- $x^{2}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}$
4
Completa el cuadrado . Recuerda que el objetivo es reescribir una expresión $x^{2}+2\Box x+\Box ^{2}$ como $(x+\Box )^{2},$ donde $\Box$ es cualquier coeficiente. Quizás no sea inmediatamente obvio para ti poder hacerlo. Para verlo más claro, reescribe ${\frac {b}{a}}x$ como $2{\frac {b}{2a}}x$ multiplicando el término por ${\frac {2}{2}}.$ Puedes hacerlo porque multiplicar por 1 no cambia nada. Ahora puedes ver con claridad que en este caso, $\Box ={\frac {b}{2a}},$ así que solo te falta el término $\Box ^{2}$ . Por lo tanto, para completar el cuadrado debes añadir eso a ambos lados, es decir $\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}.$ Luego, por supuesto, debes factorizar . ^{[4]
X
Fuente de investigación}
- ${\begin{aligned}x^{2}+2{\frac {b}{2a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\end{aligned}}$
- Aquí, es claro por qué $a\neq 0,$ ya que $a$ está en el denominador, y no puedes dividir entre 0.
- Si lo necesitas, puedes expandir el lado izquierdo para confirmar que completar el cuadrado funciona.
5
Escribe el lado derecho bajo un denominador común. Aquí, ambos denominadores deben ser $4a^{2},$ así que multiplica el término ${\frac {-c}{a}}$ por ${\frac {4a}{4a}}.$ ^{[5]
X
Fuente de investigación}
- ${\begin{aligned}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}\\&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\end{aligned}}$
6
Saca la raíz cuadrada de cada lado. No obstante, es esencial que reconozcas que al hacerlo, en realidad estás haciendo dos pasos. Cuando sacas la raíz cuadrada de $d^{2},$ no obtienes $d.$ En realidad obtienes su valor absoluto, $|d|.$ Este valor absoluto es crítico al obtener ambas raíces, poner simplemente las raíces cuadradas en ambos lados solo te hará obtener una de las raíces.
- $\left|x+{\frac {b}{2a}}\right|={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$
- Ahora, te puedes deshacer de las barras de valor absoluto poniendo un $\pm$ en el lado derecho. Puedes hacerlo porque el valor absoluto no distingue entre positivo y negativo, así que ambos son válidos. Esta información nos dice por qué la ecuación cuadrática te permite obtener dos raíces.
  - $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$
- Simplifica esta expresión un poco más. Ya que la raíz cuadrada de un cociente es el cociente de las raíces cuadradas, puedes escribir el lado derecho como ${\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{\sqrt {4a^{2}}}}.$ Luego puedes sacar la raíz cuadrada del denominador.
  - $x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
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Despeja $x$ restando ${\frac {b}{2a}}$ en ambos lados.
- $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
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Escribe el lado derecho bajo un denominador común. Esto produce la fórmula cuadrática, la fórmula que resuelve cualquier ecuación cuadrática que esté en la forma estándar. Esto funciona para cualquier $a,b,c$ y produce una $x$ que puede ser un número real o complejo. Para confirmar que este proceso funciona, simplemente sigue los pasos de este artículo a la inversa para recuperar la forma estándar.
- $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
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Consejos

Es interesante notar que la fórmula cuadrática también puede contener coeficientes complejos, aunque quizás tengas que simplificar un poco más para obtener la respuesta final, y las raíces ya no vendrán en pares conjugados. Sin embargo, los problemas con expresiones cuadráticas casi siempre se dan con coeficientes reales.

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