कैसे पता करें कि तीन भुजाओं की लंबाई से एक त्रिभुज की रचना कर सकते हैं

सहयोगी लेखक द्वारा Grace Imson, MA

तीन भुजाओं की लंबाई से एक त्रिभुज की रचना कर सकते हैं या नहीं यह पता लगाना आसान कार्य है। बस आपको इन भुजाओं पर त्रिभुज असमिका प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) लागू करने की आवश्यकता होगी, जिसमें बताया गया है कि त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई का योग उसकी तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है। यदि यह कथन दो भुजाओं के योग के तीनों कॉम्बिनेशन के लिए सही साबित होता है, तो आप एक त्रिभुज की रचना कर सकते हैं। ^{[१]
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चरण

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त्रिभुज असमिका प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) सीखें: इस प्रमेय के मुताबिक त्रिभुज के दो भुजाओं की लंबाई का योग त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है। यदि यह कथन दो भुजाओं की लंबाई के योग के तीनों कॉम्बिनेशन के लिए सही साबित होता है, तो आप एक वैध (Valid) त्रिभुज की रचना कर सकते हैं। बारी-बारी से आपको हर एक कॉम्बिनेशन को जाँचने की आवश्यकता होगी ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि त्रिभुज की रचना संभव है। मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजा की लंबाई a, b, और c है तथा इन भुजाओं की लंबाई पर असमिका प्रमेय लागू करें, जिसके मुताबिक त्रिभुज की भुजाओं के तीन कॉम्बिनेशन इस प्रकार है: a+b > c, a+c > b, और b+c > a । ^{[२]
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- उदाहरण के लिए, a = 7, b = 10, तथा c = 5।
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पहले कॉम्बिनेशन के दो भुजाओं के योग की जाँच करें: पहले कॉम्बिनेशन में मौजूद त्रिभुज की पहली दो भुजाओं की लंबाई का योग त्रिभुज की तीसरी भुजा से अधिक है या नहीं इसकी जाँच करें। इस उदाहरण में, आपको भुजा a तथा b का योग निकालें या 7 + 10 करें जो कि बराबर 17 होते हैं। आप इसे 17> 5 भी मान सकते हैं।
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अगले कॉम्बिनेशन में अगली दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक है या नहीं यह जाँच लें। ^{[३]
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रिसर्च सोर्स} अब, केवल यह देखें कि भुजा a और c का योग तीसरी भुजा b से अधिक है। अर्थात यदि 7 + 5 या 12, तीसरी भुजा की लंबाई 10 से अधिक है, अर्थात 12 > 10 है।
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आखिरी कॉम्बिनेशन में त्रिभुज के दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी बची हुई भुजा की लंबाई से अधिक है। आपको दो भुजा b और c का योग भुजा a से अधिक है या नहीं यह देखने की ज़रूरत होगी। ऐसा करने के लिए, आपको दो भुजा की लंबाई का योग अर्थात 10 + 5 तीसरी भुजा की लंबाई 7 से अधिक है या नहीं यह देखने की आवश्यकता होगी। 10 + 5 = 15 होते हैं तथा 15 > 7 है, चूंकि इस कॉम्बिनेशन में भी प्रमेय लागू हो गया है, इसलिए त्रिभुज की रचना करना संभव है।
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अपने उदाहरण को दोबारा जाँच लें: अब जब कि आपने सारे कॉम्बिनेशन को बारी-बारी से जाँच लिया है, दोबारा फिर से तीनों कॉम्बिनेशन पर प्रमेय लागू करें। यदि त्रिभुज के हर कॉम्बिनेशन में दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक है, तो आप एक वैध त्रिभुज की रचना कर सकते हैं। यदि इन भुजाओं के किसी भी एक कॉम्बिनेशन पर प्रमेय लागू नहीं हो रहा है, तो त्रिभुज की रचना नहीं हो सकती। चूंकि इस उदाहरण में सारे कॉम्बिनेशन पर प्रमेय लागू हो रहा है, आप एक वैध त्रिभुज की रचना कर सकते हैं: ^{[४]
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- a + b > c = 17 > 5
- a + c > b = 12 > 10
- b + c > a = 15 > 7
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कैसे पता करें कि त्रिभुज अवैध है: बस अभ्यास के लिए, आपको यह सुनिश्चित करना पड़ेगा कि किस तरह के त्रिभुज की रचना अवैध मानी जाती है। ^{[५]
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रिसर्च सोर्स} मान लीजिए आपके पास तीन भुजाएं हैं, जिनकी लंबाई है: 5, 8, और 3। अब इन भुजाओं पर त्रिभुज असमिका प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) लगाएं:
- 5 + 8 > 3 = 13 > 3, अर्थात पहले कॉम्बिनेशन पर प्रमेय लागू हो गया है।
- 5 + 3 > 8 = 8 > 8। चूंकि इस कॉम्बिनेशन पर प्रमेय लागू नहीं हो रहा है, आप त्रिभुज की रचना नहीं कर सकते हैं। इसलिए यही रूक जाएं। यह त्रिभुज अवैध होगा।