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Savoir si un triangle existe, quand on connait les longueurs des trois côtés, n'est pas très difficile. Le théorème de l'inégalité triangulaire (dit « de la distance la plus courte ») établit que la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle est toujours supérieure à celle du troisième côté. Si, lors d'un exercice, ce théorème se vérifie pour toutes les combinaisons de côtés, alors vous avez bien un triangle dont les côtés sont sécants, deux à deux, en un point, le sommet.
Étapes
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Connaissez le théorème de l'inégalité triangulaire. Ce théorème établit tout simplement que la somme des longueurs de deux côtés d'un triangle est toujours supérieure à celle du troisième côté. S'il se vérifie pour les trois combinaisons possibles, alors vous êtes en présence d'un vrai triangle. Comme vous le voyez, il faut vérifier chacune de ces combinaisons de côtés. Pour concrétiser la chose, disons que vous avez un triangle « possible » avec trois côtés a, b et c. Selon le théorème, vous allez devoir vérifier que : a + b > c, a + c > b et b + c > a [1] X Source de recherche .
- Prenons l'exemple suivant : a = 7, b = 10 et c = 5.
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Vérifiez en premier lieu que la somme des longueurs des deux premiers côtés est supérieure à la longueur du troisième. Additionnez ici a et b , soit 7 + 10, ce qui donne 17, bien plus grand que 5. Sous forme d'inégalité, on a : 17 > 5.
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Vérifiez ensuite que la somme des longueurs de deux autres côtés est supérieure à la longueur du troisième. Additionnez ici a et c , soit 7 + 5, ce qui donne 12, plus grand que b qui vaut 10. Sous forme d'inégalité, on a : 12 > 10. Deuxième inégalité vérifiée !
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Vérifiez enfin que la somme des longueurs de deux autres côtés est supérieure à la longueur du troisième. Maintenant, il s'agit de faire la somme des longueurs de b et c afin de voir si elle est supérieure à la longueur de a . Additionnez 10 et 5, soit 15, plus grand que 7. Sous forme d'inégalité, on a : 15 > 7. Les trois vérifications ont été faites : on a bien affaire à un triangle !
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Vérifiez vos calculs. Après avoir passé en revue chacune des combinaisons et vérifié que les inégalités étaient remplies, il ne vous reste plus qu'à refaire une dernière fois vos calculs. Si, à chaque combinaison, vous trouvez que la somme des longueurs de deux côtés est supérieure à celle de la dernière longueur, c'est que vous avez un triangle valide. Il suffit qu'une des inégalités ne soit pas remplie pour qu'il n'y ait pas de triangle possible. Vérifions une nouvelle fois notre exemple :
- a + b > c = 17 > 5
- a + c > b = 12 > 10
- b + c > a = 15 > 7
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Sachez repérer un triangle non valide. Vous avez appris à repérer un triangle valide. Voyons si vous arriverez avec un triangle non valide. Prenons un autre exemple avec ces trois longueurs : 5, 8 et 3. Est-on face à un triangle ?
- 5 + 8 > 3 = 13 > 3, c'est bon !
- 5 + 3 > 8 = 8 > 8. Hélas ! Le théorème n'est pas vérifié ! Il est inutile d'aller plus loin : vous n'avez pas affaire à un triangle valide.
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Conseils
- Ce théorème est infaillible à condition de ne pas se tromper dans les calculs, lesquels sont d'ailleurs simples, puisqu'il n'y a que des additions à faire.
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Références
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