Como Encontrar a Medida da Diagonal Dentro de um Retângulo

Coescrito por David Jia

Uma diagonal é uma linha reta que conecta dois cantos opostos de um retângulo. ^{[1]
X
Fonte de pesquisa} Um retângulo possui duas diagonais, e ambas possuem o mesmo comprimento. ^{[2]
X
Fonte de pesquisa} Ao saber o valor do comprimento da lateral de um retângulo, você pode encontrar o valor da diagonal facilmente usando o Teorema de Pitágoras, já que uma diagonal divide um retângulo em dois triângulos retângulos. Se não souber essa medida, mas tiver outras informações, como a área e o perímetro ou a relação entre os comprimentos das laterais, alguns passos extras vão ajudá-lo a descobrir o comprimento e a largura de um retângulo; a partir de então, é possível usar o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento e a largura da diagonal.

Método 1

Método 1 de 3:

Usando o comprimento e a largura

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1
Monte a fórmula do Teorema de Pitágoras. A fórmula é $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , onde $a$ e $b$ equivalem aos comprimentos das laterais de um triângulo retângulo, e $c$ equivale ao comprimento da hipotenusa dele. ^{[3]
X
Fonte de pesquisa}
- É preciso usar esse teorema porque a diagonal de um retângulo o corta em dois triângulos retângulos congruentes. ^{[4]
  X
  Fonte de pesquisa} O comprimento e a largura do retângulo são os comprimentos das laterais do triângulo, e a diagonal é sua hipotenusa.
2
Substitua o comprimento e a largura na fórmula. Esses valores devem ser informados, ou você deverá ser capaz de medi-los. Lembre-se de substituir as variáveis $a$ e $b$ .
- Por exemplo, se a largura de um retângulo mede 3 cm e o comprimento mede 4 cm, a fórmula vai ficar assim: $3^{2}+4^{2}=c^{2}$ .
3
Eleve o comprimento e a largura ao quadrado e some-os. Lembre-se que elevar um número ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo.
- Por exemplo:
  $3^{2}+4^{2}=c^{2}$
  $16+9=c^{{2}}$
  $25=c^{{2}}$
4
Calcule a raiz quadrada de cada lado da equação. A forma mais fácil para isso é usando uma calculadora. Você pode usar uma no computador ou na internet caso não tenha uma calculadora científica. ^{[5]
X
Fonte de pesquisa} Essa conta vai resultar no valor de $c$ , ou seja, a hipotenusa do triângulo e a diagonal do retângulo.
- Por exemplo:
  $25=c^{{2}}$
  ${\sqrt {25}}={\sqrt {c^{{2}}}}$
  $5=c$
  Portanto, a diagonal de um retângulo com largura de 4 cm e comprimento de 3 cm mede 5 cm.
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Método 2

Método 2 de 3:

Usando a área e o perímetro

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A fórmula é $A=lw$ , onde $A$ equivale à área, $l$ equivale ao comprimento e $w$ equivale à largura. ^{[6]
X
Fonte de pesquisa}
2
Substitua a área do retângulo na fórmula. Lembre-se de substituir a variável $A$ .
- Por exemplo, se a área do retângulo mede 35 centímetros quadrados, a fórmula vai ficar assim: $35=lw$ .
3
Reorganize a fórmula para calcular o valor de $w$ . Para isso, divida cada lado da equação por $l$ . Guarde esse valor, pois ele vai ser necessário mais tarde.
- Por exemplo:
  $35=lw$
  ${\frac {35}{l}}=w$ .
A fórmula é $P=2(w+l)$ , onde $w$ equivale à largura e $l$ equivale ao comprimento. ^{[7]
X
Fonte de pesquisa}
5
Substitua o valor do perímetro na fórmula. Lembre-se de substituir a variável $P$ .
- Por exemplo, se o perímetro de um retângulo mede 24 cm, a fórmula vai ficar assim: $24=2(w+l)$ .
6
Divida cada lado da equação por 2. Isso vai resultar no valor de $w+l$ .
- Por exemplo:
  $24=2(w+l)$
  ${\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}$
  $12=w+l$ .
7
Substitua o valor de $w$ na equação. Use o valor encontrado reorganizando a fórmula da área.
- Por exemplo, se ao usar a fórmula da área você descobriu que ${\frac {35}{l}}=w$ , substitua o valor de $w$ na fórmula do perímetro:
  $12=w+l$
  $12={\frac {35}{l}}+l$
8
Anule a fração na equação. Para isso, multiplique cada lado da equação por $l$ .
- Por exemplo:
  $12={\frac {35}{l}}+l$
  $12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)$
  $12l=35+l^{{2}}$
9
Iguale a equação a zero. Para fazê-lo, subtraia o termo de primeiro grau de ambos os lados da equação.
- Por exemplo:
  $12l=35+l^{{2}}$
  $12l-12l=35+l^{{2}}-12l$
  $0=35+l^{{2}}-12l$
10
Reordene a equação por ordem de termos. Isso significa que o termo com exponente vem primeiro, seguido pelo termo com variável, seguido pela constante. Durante a reorganização, mantenha os sinais de positivo e negativo de forma apropriada. Observe agora que a equação está configurada como uma equação quadrática, ou de segundo grau.
- Por exemplo, $0=35+l^{{2}}-12l$ se transforma em $0=l^{{2}}-12l+35$ .
11
Fatore a equação de segundo grau. Veja mais instruções de como resolver uma equação quadrática neste link .
- Por exemplo, a equação $0=l^{{2}}-12l+35$ pode ser fatorada como $0=(l-7)(l-5)$ .
12
Encontre os valores de $l$ . Para isso, iguale cada termo a zero e calcule o valor da variável. Você vai encontrar duas soluções, ou raízes, para a equação. Como você está trabalhando com um retângulo, as duas raízes serão os valores da largura e do comprimento do retângulo.
- Por exemplo:
  $0=(l-7)$
  $7=l$
  E
  $0=(l-5)$
  $5=l$ .
  Portanto, o comprimento e a largura do retângulo são, respectivamente, 7 cm e 5 cm.
13
Monte a fórmula do Teorema de Pitágoras. A fórmula é $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , onde $a$ e $b$ equivalem aos comprimentos das laterais de um triângulo retângulo, e $c$ equivale ao comprimento da hipotenusa dele. ^{[8]
X
Fonte de pesquisa}
- É preciso usar esse teorema porque a diagonal de um retângulo o corta em dois triângulos retângulos congruentes. ^{[9]
  X
  Fonte de pesquisa} A largura e o comprimento do retângulo são os comprimentos das laterais do triângulo; a diagonal é a hipotenusa do triângulo.
14
Substitua a largura e o comprimento na fórmula. Não importa o valor usado para cada variável.
- Por exemplo, se você descobriu que o comprimento e a largura de um retângulo são, respectivamente, 5 cm e 7 cm, a fórmula vai ficar assim: $5^{{2}}+7^{{2}}=c^{{2}}$ .
15
Eleve a largura e o comprimento ao quadrado e some-os. Lembre-se que elevar um número ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo.
- Por exemplo:
  $5^{{2}}+7^{{2}}=c^{{2}}$
  $25+49=c^{{2}}$
  $74=c^{{2}}$
16
Calcule a raiz quadrada de cada lado da equação. A forma mais fácil é usando uma calculadora. Você pode usar uma no computador ou na internet caso não tenha uma calculadora científica. ^{[10]
X
Fonte de pesquisa} Essa conta vai resultar no valor de $c$ , ou seja, a hipotenusa do triângulo e a diagonal do retângulo.
- Por exemplo:
  $74=c^{{2}}$
  ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{{2}}}}$
  $8,6024=c$
  Portanto, a diagonal de um retângulo com uma área de 35 cm e perímetro de 24 cm mede 8,6 cm.
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Método 3

Método 3 de 3:

Usando a área e a relação dos comprimentos das laterais

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1
Monte a fórmula explicando a relação entre os comprimentos das laterais. ^{[11]
X
Fonte de pesquisa} Também é possível isolar o comprimento ( $l$ ) ou a largura ( $l$ ). Guarde essa fórmula, pois ela vai ser necessária mais tarde.
- Por exemplo, se você sabe que a largura de um retângulo mede 2 cm a mais do que o comprimento, escreva a fórmula para $w$ : $w=l+2$ .
2
Monte a fórmula da área do retângulo. A fórmula é $A=lw$ , onde $A$ equivale à área, $l$ equivale ao comprimento e $w$ equivale à largura. ^{[12]
X
Fonte de pesquisa}
- Você pode usar este método se souber o valor do perímetro de um retângulo, mas vai ser preciso usar a fórmula do perímetro em vez da fórmula da área. A fórmula do perímetro de um retângulo é $P=2(w+l)$ , onde $w$ equivale à largura e $l$ equivale ao comprimento. ^{[13]
  X
  Fonte de pesquisa}
3
Substitua a área do retângulo na fórmula. Lembre-se de substituir a variável $A$ .
- Por exemplo, se a área do retângulo mede 35 centímetros quadrados, a fórmula vai ficar assim: $35=lw$ .
4
Substitua a fórmula relacional do comprimento (ou largura) na fórmula. Como você está trabalhando com um retângulo, é possível usar a variável $l$ ou $w$ .
- Por exemplo, se você descobriu que $w=l+2$ , substitua essa relação por $w$ na fórmula da área:
  $35=lw$
  $35=l(l+2)$
5
Defina a equação quadrática. Para fazê-lo, use a propriedade distributiva para multiplicar os termos entre parênteses, depois iguale a equação a zero.
- Por exemplo:
  $35=l(l+2)$
  $35=l^{{2}}+2l$
  $0=l^{{2}}+2l-35$
6
Fatore a equação de segundo grau. Veja mais instruções de como resolver uma equação quadrática neste link .
- Por exemplo, a equação $0=l^{{2}}+2l-35$ pode ser fatorada como $0=(l+7)(l-5)$ .
7
Encontre os valores de $l$ . Para isso, iguale cada termo a zero e calcule o valor da variável. Você vai encontrar duas soluções, ou raízes, para a equação.
- Por exemplo:
  $0=(l+7)$
  $-7=l$
  E
  $0=(l-5)$
  $5=l$ .
  Neste caso, existe uma raiz negativa. Como o comprimento de um retângulo não pode ser negativo, então ele deve ser 5 cm.
8
Substitua o valor do comprimento (ou largura) na fórmula relacional. O resultado vai ser o comprimento do outro lado do retângulo.
- Por exemplo, se você sabe que o comprimento de um retângulo mede 5 cm, e que a relação entre os comprimentos das laterais é $w=l+2$ , substitua o comprimento por 5 na fórmula:
  $w=l+2$
  $w=5+2$
  $w=7$
9
Monte a fórmula do Teorema de Pitágoras. A fórmula é $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , onde $a$ e $b$ equivalem ao comprimento das laterais de um triângulo retângulo, e $c$ equivale ao comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo. ^{[14]
X
Fonte de pesquisa}
- É preciso usar esse teorema porque a diagonal de um retângulo o corta em dois triângulos retângulos congruentes. ^{[15]
  X
  Fonte de pesquisa} A largura e o comprimento do retângulo são os comprimentos das laterais do triângulo; a diagonal é a hipotenusa do triângulo.
10
Substitua a largura e o comprimento na fórmula. Não importa o valor usado para cada variável.
- Por exemplo, se você descobriu que o comprimento e a largura de um retângulo são, respectivamente, 5 cm e 7 cm, a fórmula vai ficar assim: $5^{{2}}+7^{{2}}=c^{{2}}$ .
11
Eleve a largura e o comprimento ao quadrado e some-os. Lembre-se que elevar um número ao quadrado significa multiplicá-lo por ele mesmo.
- Por exemplo:
  $5^{{2}}+7^{{2}}=c^{{2}}$
  $25+49=c^{{2}}$
  $74=c^{{2}}$
12
Calcule a raiz quadrada de cada lado da equação. A forma mais fácil para isso é usando uma calculadora. Você pode usar uma no computador ou na internet caso não tenha uma calculadora científica. ^{[16]
X
Fonte de pesquisa} Essa conta vai resultar no valor de $c$ , ou seja, a hipotenusa do triângulo e a diagonal do retângulo.
- Por exemplo:
  $74=c^{{2}}$
  ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{{2}}}}$
  $8,6024=c$
  Portanto, a diagonal de um retângulo com largura de 2 cm a mais do que o comprimento e uma área de 35 cm mede cerca de 8,6 cm.
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