Загрузить PDF
Загрузить PDF
Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: или через координаты вершины параболы: . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.
Шаги
-
Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция - это функция, уравнение которой включает переменную . Уравнение может включать или не включать переменную . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде. [1] X Источник информации
- Например, дана функция
. Сложите члены с переменной
и члены с переменной
, чтобы записать уравнение в стандартном виде:
- Например, дана функция
. Сложите члены с переменной
и члены с переменной
, чтобы записать уравнение в стандартном виде:
-
Определите направление параболы. График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент при переменной положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент отрицательный, парабола направлена вниз. Например: [2] X Источник информации
- . Здесь , поэтому парабола направлена вверх.
- . Здесь , поэтому парабола направлена вниз.
- . Здесь , поэтому парабола направлена вверх.
- Если парабола направлена вверх, нужно искать ее минимум. Если парабола направлена вниз, ищите ее максимум.
-
Вычислите -b/2a. Значение – это координата вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде , воспользуйтесь коэффициентами при и следующим образом:
- В функции
коэффициенты
и
. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
- В качестве второго примера рассмотрим функцию
. Здесь
и
. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
- В функции
коэффициенты
и
. Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
-
Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.
- В первом примере
вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна
. В исходной функции вместо
подставьте
, чтобы найти ее максимальное значение:
- Во втором примере
вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна
. В исходной функции вместо
подставьте
, чтобы найти ее максимальное значение:
- В первом примере
вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна
. В исходной функции вместо
подставьте
, чтобы найти ее максимальное значение:
-
Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения и (или ). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение (или ). Еще раз посмотрите на знак коэффициента , чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.
- В первом примере значение положительное, поэтому вы вычислили минимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами , а минимальное значение функции равно .
- Во втором примере значение отрицательное, поэтому вы нашли максимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами , а максимальное значение функции равно .
Реклама
-
Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид: [3] X Источник информации
- Если функция уже записана в таком виде, просто найдите значения коэффициентов , и . Если функция дана в стандартном виде , дополните ее до полного квадрата и запишите через координаты вершины параболы.
- Чтобы узнать, как дополнять до полного квадрата, прочитайте эту статью .
-
Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента . Если коэффициент положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент отрицательный, парабола направлена вниз. Например: [4] X Источник информации
- . Здесь , то есть коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх.
- . Здесь , то есть коэффициент отрицательный, поэтому парабола направлена вниз.
- Если парабола направлена вверх, нужно вычислить минимальное значение функции. Если парабола направлена вниз, необходимо найти максимальное значение функции.
-
Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента . В приведенных выше примерах:
- . Здесь . Это минимальное значение функции, потому что парабола направлена вверх.
- . Здесь . Это максимальное значение функции, потому что парабола направлена вниз.
-
Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны . Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания , поэтому значение берется с противоположным знаком.
- . Здесь в скобки заключена операция сложения (x+1), которую можно переписать так: (x-(-1)). Таким образом, . Поэтому координаты вершины параболы этой функции равны .
- . Здесь в скобках находится выражение (x-2). Следовательно, . Координаты вершины равны (2,2).
Реклама
Метод 3
Метод 3 из 3:
Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций
-
Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение. [5] X Источник информации
- Например: .
-
Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна . [6] X Источник информации
-
. Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
-
. Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
-
Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере: [7] X Источник информации
-
Найдите «x». С помощью математических операций изолируйте «x», чтобы найти значение этой переменной, когда производная равна нулю. Так вы вычислите координату «x» вершины параболы, в которой находится ее максимум или минимум. [8] X Источник информации
-
Полученное значение «x» подставьте в исходную функцию. Минимальное или максимальное значение функции равно значению при полученном . Значение подставьте в исходную функцию и решите уравнение, чтобы найти минимум или максимум. [9] X Источник информации
- В нашем примере
при
,
- В нашем примере
при
,
-
Запишите ответ. Вы вычислили максимум или минимум функции. В нашем примере координаты вершины равны . Коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх. Следовательно, минимальное значение функции – это координата «у» вершины, которая равна . [10] X Источник информацииРеклама
Советы
- Ось симметрии параболы описывается уравнением x=h.
Реклама
Источники
- ↑ http://www.analyzemath.com/quadraticg/quadraticg.htm
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-extval.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-extval.pdf
- ↑ http://www.personal.kent.edu/~bosikiew/Algebra-handouts/quad-extval.pdf
- ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm
- ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm
- ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm
- ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm
- ↑ http://www.themathpage.com/acalc/max.htm
Реклама