Как найти гипотенузу

Загрузить PDF
Загрузить PDF

Все прямоугольные треугольники имеют один прямой угол (90 градусов), а противоположная ему сторона называется гипотенузой. [1] Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника, и найти ее можно различными способами. В этой статье мы расскажем вам, как найти гипотенузу по теореме Пифагора (когда известны длины двух других сторон треугольника), по теореме синусов (когда известны длина катета и угол) и в некоторых частных случаях (часто такие задания встречаются на контрольных и тестах).

Метод 1
Метод 1 из 3:

Теорема Пифагора

Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/91\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-1-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-1-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/91\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-1-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-1-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Теорема Пифагора связывает все стороны прямоугольного треугольника. [2] Согласно данной теореме, в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» и гипотенузой «с»: a 2 + b 2 = c 2 . [3]
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9e\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-2-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-2-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/9e\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-2-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-2-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.
    • Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/60\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-3-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-3-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/60\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-3-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-3-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты — стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу — как «с» (гипотенуза — самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла). Затем подставьте данные вам значения в формулу.
    • Например, катеты треугольника равны 3 и 4. В этом случае а = 3, b = 4, а формула выглядит так: 3 2 + 4 2 = c 2 .
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/49\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-4-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-4-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/49\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-4-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-4-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Для этого просто умножьте число само на себя:
    • Если a = 3, то a 2 = 3 x 3 = 9. Если b = 4, то b 2 = 4 x 4 = 16.
    • Подставьте эти значения в формулу: 9 + 16 = с 2 .
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/14\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-5-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-5-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/14\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-5-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-5-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Сложите найденные квадраты катетов (a 2 и b 2 ), чтобы вычислить квадрат значения гипотенузы (с 2 ).
    • В нашем примере 9 + 16 = 25 , поэтому с 2 = 25 .
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/27\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-6-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-6-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/27\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-6-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-6-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Используйте калькулятор, чтобы извлечь квадратный корень из найденного значения. Так вы вычислите гипотенузу треугольника.
    • В нашем примере с 2 = 25 . Квадратный корень из 25 равен 5 (так как 5 х 5 = 25 , поэтому √25 = 5 ). Это означает, что гипотенуза с = 5 .
    Реклама
Метод 2
Метод 2 из 3:

Частные случаи

Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9a\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/9a\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Пифагорова тройка — это три числа (длины трех сторон), которые удовлетворяют теореме Пифагора. Очень часто треугольники с такими сторонами приводятся в учебниках и на тестах. Если вы запомните первые несколько пифагоровых троек, вы сэкономите много времени на тестах или экзаменах, потому что сможете вычислить гипотенузу, просто взглянув на длины катетов. [4]
    • Первая пифагорова тройка: 3-4-5 (3 2 + 4 2 = 5 2 , 9 + 16 = 25). Если дан треугольник с катетами 3 и 4, то вы можете с уверенностью заявить, что гипотенуза равна 5 (без необходимости делать какие-либо расчеты).
    • Пифагоровы тройки работают даже в том случае, когда числа умножены или разделены на один коэффициент. Например, если катеты равны 6 и 8 , гипотенуза равна 10 (6 2 + 8 2 = 10 2 , 36 + 64 = 100). То же самое верно для 9-12-15 и даже для 1,5-2-2,5 .
    • Вторая пифагорова тройка: 5-12-13 (5 2 + 12 2 = 13 2 , 25 + 144 = 169). Также к этой тройке относятся, например, числа 10-24-26 и 2,5-6-6,5 .
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/df\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/df\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Это такой треугольник, углы которого равны 45,45 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:1:√2 . Это означает, что гипотенуза в таком треугольнике равна произведению катета и квадратного корня из 2.
    • Чтобы вычислить гипотенузу такого треугольника, просто умножьте длину любого катета на √2. [5]
    • Это соотношение особенно удобно, когда в задачах вместо числовых значений даются переменные.
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/22\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/22\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Это такой треугольник, углы которого равны 30,60 и 90 градусам. Соотношение между сторонами этого треугольника равно 1:√3:2 или х:х√3:2х . Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике выполните одно из следующих действий: [6]
    • Если вам дан короткий катет (противолежащий углу в 30 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2, чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4 , то гипотенуза равна 8 .
    • Если вам дан длинный катет (противолежащий углу в 60 градусов), просто умножьте длину этого катета на 2/√3 , чтобы найти длину гипотенузы. Например, если короткий катет равен 4 , то гипотенуза равна 4,62 .
    Реклама
Метод 3
Метод 3 из 3:

Теорема синусов

Загрузить PDF
  1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7c\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-10-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-10-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7c\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-10-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-10-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Синус, косинус и тангенс угла — это основные тригонометрические функции, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Синус угла равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе . Обозначается синус как sin . [7]
  2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/73\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-11-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-11-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/73\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-11-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-11-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Чтобы вычислить синус, на калькуляторе найдите клавишу sin , нажмите ее, а затем введите значение угла. В некоторых калькуляторах сначала нужно нажать клавишу перехода к работе с функциями, а затем нажать клавишу sin . Поэтому поэкспериментируйте с калькулятором или проверьте его документацию.
    • Чтобы найти синус угла в 80 градусов, нажмите «sin», «8», «0», «=» или нажмите «8», «0», «sin», «=» (ответ: -0,9939).
    • Вы также можете найти онлайн-калькулятор, введя в поисковой системе «вычисление синуса» (без кавычек). [8]
  3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/73\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-12-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-12-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/73\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-12-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-12-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Теорема синусов является полезным инструментом для вычисления углов и сторон любого треугольника. В частности, она поможет вам найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если вам дан катет и угол, отличный от прямого. Согласно теореме синусов, в любом треугольнике со сторонами a , b , c и углами A , B , C верно равенство a / sin A = b / sin B = c / sin С . [9]
    • Теорема синусов применяется к любым треугольникам, а не только к прямоугольным (но только в прямоугольном треугольнике есть гипотенуза).
  4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/45\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-13-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-13-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/45\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-13-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-13-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Обозначьте стороны треугольника через «а» (известный катет), «b» (неизвестный катет), «с» (гипотенуза). Затем обозначьте углы треугольника через «А» (напротив катета «а»), «В» (напротив катета «b»), «С» (напротив гипотенузы).
  5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ee\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-14-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-14-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ee\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-14-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-14-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Если вам дан один из острых углов прямоугольного треугольника ( А или В ), а второй угол всегда равен 90 градусам ( С = 90 ), то третий угол вычисляется по формуле 180 - (90 + А) = B (помните, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусам). При необходимости уравнение можно изменить и так: 180 - (90 + B) = A .
    • Например, если угол A = 40 градусам , то B = 180 - (90 + 40) = 180 - 130 = 50 градусов .
  6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/95\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-15-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-15-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/95\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-15-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-15-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    На данном этапе вам известны значения всех трех углов и длина катета «а». Теперь вы можете подставить эти значения в формулу теоремы синусов, чтобы найти две другие стороны.
    • В нашем примере допустим, что катет а = 10, а углы равны C = 90˚, A = 40˚, В = 50˚.
  7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/86\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-16-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-16-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/86\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-16-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-16-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Подставьте данные и найденные значения в теорему синусов, чтобы найти гипотенузу: катет «а»/синус угла «A» = гипотенуза «с»/синус угла «С» . При этом sin 90˚ = 1. Таким образом, уравнение упрощается до: а/sinA = с/1 или с = а/sinA .
  8. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0f\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-17-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-17-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0f\/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-17-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Length-of-the-Hypotenuse-Step-17-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
    Разделите длину катета «а» на синус угла «А», чтобы найти длину гипотенузы. Для этого сначала найдите синус угла, а затем выполните деление. Или вы можете воспользоваться калькулятором, введя 10/(sin40) или 10/(40sin) (не забудьте про скобки).
    • В нашем примере sin 40 = 0,64278761, а с = 10/0,64278761 = 15,6 .
    Реклама

Дополнительные статьи

Как
вычислить диагональ квадрата
Как
вычислить диагональ прямоугольника
Как
вычислять углы
Как
вычислить объем куба
Как
найти площадь четырехугольника
Как
найти центр круга
Как
вычислить диаметр окружности
Как
найти объем призмы
Как
нарисовать шестиугольник
Как
найти высоту треугольника
Как
найти площадь пятиугольника
Как
вычислить квадратные метры
Как
найти площадь многоугольника
Как
найти вершину параболы квадратного уравнения
Реклама

Источники

  1. ↑ http://www.mathsisfun.com/definitions/hypotenuse.html
  2. ↑ http://mathematica.ludibunda.ch/pythagoras6.html
  3. ↑ http://www.wikihow.com/Use-the-Pythagorean-Theorem
  4. ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/working-with-pythagorean-triple-triangles.html
  5. ↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/att2/ltri45.htm
  6. ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/identifying-the-30-60-90-degree-triangle.html
  7. ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/sine.html
  8. ↑ http://www.rapidtables.com/calc/math/Sin_Calculator.htm
  9. ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-sine-law.html

Об этой статье

На других языках
Эту страницу просматривали 396 330 раз.

Была ли эта статья полезной?

Реклама