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Alle rechtwinkligen Dreiecke haben einen 90-Grad Winkel. Die Hypotenuse des Dreiecks ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt - oder anders ausgedrückt, die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. [1] X Forschungsquelle Die Hypotenuse ist die längste Seite des Dreiecks und mit einigen verschiedenen Methoden relativ leicht zu bestimmen. Dieser Artikel wird dir zeigen, wie du die Hypotenuse eines Dreiecks mithilfe des „Satz des Pythagoras“ bestimmen kannst, wenn du die Länge der anderen beiden Seiten kennst. Er wird dir auch beibringen, wie du die Hypotenuse einiger besonderer rechtwinkliger Dreiecke erkennen kannst, die oft in Prüfungen auftauchen. Zu guter Letzt erfährst du auch noch, wie du die Länge der Hypotenuse mithilfe des Sinussatzes bestimmen kannst, wenn du nur eine Seite und einen zusätzlichen Winkel kennst.
Vorgehensweise
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Lerne den Satz des Pythagoras kennen. Der Satz des Pythagoras beschreibt die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. [2] X Forschungsquelle Er besagt, dass für jedes rechtwinklige Dreieck mit den Seitenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c, a 2 + b 2 = c 2 gilt. [3] X Forschungsquelle
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Stelle sicher, dass dein Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der Satz des Pythagoras funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken und laut Definition haben auch nur rechtwinklige Dreiecke eine Hypotenuse. Wenn dein Dreieck einen Winkel von genau 90 Grad hat, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck und du kannst fortfahren.
- Rechte Winkel werden in Lehrbüchern und Schulaufgaben oft mit einem kleinen Quadrat oder Punkt im Winkel angezeigt. Diese speziellen Zeichen bedeutet „90 Grad“.
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Beschrifte die Seiten deines Dreiecks mit a, b und c. Die Variable c wird immer der Hypotenuse zugeordnet, also der längsten Seite. Weise einer der anderen Seiten die Variable a und der anderen die Variable b zu (es ist egal, welche der Seiten was ist, die Rechnung ändert sich dadurch nicht). Dann setze die Länge von a und b in deine Formel ein. Genauso, wie im folgenden Beispiel:
- Wenn dein Dreieck Seiten der Länge 3 und 4 hat, kannst du z.B. a = 3 und b = 4 annehmen. Deine Gleichung sieht dann so aus: 3 2 + 4 2 = c 2 .
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Finde die Quadrate von a und b. Um die Zahlen zu quadrieren, musst du sie einfach nur mit sicher selbst multiplizieren. Also ist a 2 = a x a . Finde die Quadrate von a und b und setze sie in die Formel ein.
- Wenn a = 3, a 2 = 3 x 3, oder 9. Wenn b = 4, dann b 2 = 4 x 4, oder 16.
- Wenn du diese Werte in deine Gleichung einsetzt, erhältst du: 9 + 16 = c 2 .
EXPERTENRATMathelehrerin, City College of San FranciscoGrace Imson ist Mathelehrerin mit mehr als 40 Jahren Unterrichtserfahrung. Grace ist zurzeit Mathelehrerin am City College of San Francisco und war vorher am Math Department an der Saint Louis University. Sie hat Mathematik auf der Ebene von Grundschulen, Mittelschulen, Sekundarschulen und Hochschulen unterrichtet. Sie hat einen Masterabschluss in Erziehungswissenschaft, spezialisiert auf Verwaltung und Betreuung von der Saint Louis University.Ein häufiger Fehler ist das Vergessen, die Begriffe zu quadrieren. Im Satz von Pythagoras werden alle drei Terme quadriert. Viele Leute gehen zu schnell vor und vergessen, das Quadrat zu finden, bevor sie die Summe von 'a' und 'b' berechnen, was zu einer falsche Antwort führt.
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Addiere die Werte für a 2 und b 2 . Setze das Ergebnis in deine Gleichung ein und du bekommst den Wert für c 2 . Damit benötigst du nur noch einen weiteren Schritt und hast deine Hypotenuse berechnet!
- In unserem Beispiel gilt: 9 + 16 = 25 , also kannst du schreiben : 25 = c 2 .
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Finde die Quadratwurzel aus c 2 . Benutze die Quadratwurzelfunktion deines Taschenrechners (oder deine Erinnerung an die Multiplikationstabelle), um die Quadratwurzel aus c 2 zu ziehen. Die Antwort ist die Länge deiner Hypotenuse.
- In unserem Beispiel: c 2 = 25 . Die Quadratwurzel aus 25 ist 5 ( 5 x 5 = 25 , also = 5 ). Das bedeutet: c = 5 , die Länge der Hypotenuse!
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Methode 2
Methode 2 von 3:
Die Hypotenuse spezieller rechtwinkliger Dreiecke bestimmen
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Lerne, Pythagoreisches Tripel zu erkennen. Die Seitenlängen eines Pythagoreisches Tripels sind Ganzzahlen, die dem Satz des Pythagoras entsprechen. Diese speziellen Dreiecke tauchen oft in Geometrielehrbüchern und standardisierten Tests auf. Wenn du dir gerade die ersten zwei Pythagoreisches Tripel einprägst, kannst du dir oft viel Zeit sparen, da du dir nur die Längen der Seiten anschauen musst, um die Länge der Hypotenuse zu kennen. [4] X Forschungsquelle
- Das erste Pythagoreisches Tripel ist 3-4-5 (3 2 + 4 2 = 5 2 , 9 + 16 = 25). Wenn du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen 3 und 4 siehst, weißt du sofort mit Sicherheit und ohne rechnen zu müssen, dass die Hypotenuse 5 lang sein muss.
- Das Verhältnis eines Pythagoreisches Tripels bleibt immer gleich, auch wenn die Seiten mit anderen Zahlen multipliziert werden. So hat ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 6 und 8 immer eine Hypotenuse von 10 (6 2 + 8 2 = 10 2 , 36 + 64 = 100). Dasselbe gilt für 9-12-15 , und sogar 1.5-2-2.5 . Rechne nach und überprüfe es selbst!
- Das zweite Pythagoreische Triple, das besonders oft in Prüfungen und Schulaufgabe auftaucht, ist 5-12-13 (5 2 + 12 2 = 13 2 , 25 + 144 = 169). Halte also Ausschau nach Vielfachen wie 10-24-26 und 2.5-6-6.5 .
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Präge dir das Seitenverhältnis eines 45-45-90 rechtwinkligen Dreiecks ein. Ein 45-45-90 rechtwinkliges Dreieck hat die Winkel 45, 45 und 90 Grad und wird auch gleichschenkliges Dreieck genannt. Es taucht oft in standardisierten Tests auf und ist besonders leicht zu lösen. Das Verhältnis zwischen den Seiten des Dreiecks beträgt: 1:1: . Das bedeutet, die beiden Seiten sind gleichlang und die Länge der Hypotenuse entspricht der Länge der Seite, multipliziert mit der Quadratwurzel von zwei.
- Um die Hypotenuse dieses Dreiecks auf der Basis einer Seitenlänge zu berechnen, multipliziere einfach nur die Seitenlänge mit . [5] X Forschungsquelle
- Diese Verhältnis ist besonders praktisch, wenn in der Schulaufgabe oder Hausaufgabe die Seitenlängen nur in Variablen angegeben sind und nicht in Ganzzahlen.
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Lerne das Seitenverhältnis eines 30-60-90 rechtwinkligen Dreiecks. Dieses Dreieck hat Winkel der Größe 30, 60 und 90 Grad und entsteht, wenn du ein gleichseitiges Dreieck in der Mitte durchschneidest. Die Seiten des 30-60-90 rechtwinkligen Dreiecks stehen immer im Verhältnis: 1: :2 , oder x: x:2x . Wenn du die Länge eines 30-60-90 rechtwinkligen Dreiecks gegeben hast und die Hypotenuse finden sollst, kannst du das ganz leicht tun: [6] X Forschungsquelle
- Wenn dir die Länge des kürzeren Schenkels gegeben ist (gegenüber des 30 Grad Winkels), multipliziere die Länge einfach mit zwei, um die Länge der Hypotenuse zu erhalten. Wenn die Länge der kürzesten Seite also z.B. 4 ist, weißt du, dass die Hypotenuse 8 lang sein muss.
- Wenn dir die Länge des längeren Schenkels gegeben ist (gegenüber des 60 Grad Winkels), multipliziere die Länge mit 2/ , um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen. Wenn die Länge der längeren Seite also z.B. 4 ist, weißt du, dass die Hypotenuse 4,62 lang sein muss.
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Verstehe, was „Sinus“ bedeutet. Die Ausdrücke „Sinus“, „Cosinus“ und „Tangens“ beziehen sich alle auf verschiedene Verhältnisse zwischen den Winkeln und/oder Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus definiert als, die Länge der Seite, die dem Winkel gegenüberliegt (auch „Gegenkathete“) dividiert durch die Hypotenuse des Dreiecks . Die Abkürzung für den Sinus in Gleichungen und auf Taschenrechnern ist sin . [7] X Forschungsquelle
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Lerne, wie man den Sinus berechnet. Selbst einfache wissenschaftliche Taschenrechner haben eine Sinusfunktion. Halte nach einer Taste mit sin Ausschau. Wenn du den Sinus eines Winkels bestimmen willst, drückst du normalerweise die sin -Taste und dann den Wert des Winkels in Grad. Bei manchen Taschenrechnern musst du zuerst den Wert in Grad und dann die sin -Taste drücken. Du musst vielleicht ein wenig mit deinem Taschenrechner herumprobieren oder in die Anleitung schauen, um das richtige Vorgehen zu finden.
- Um den Sinus eines 80 Grad Winkels zu bestimmen, musst du entweder sin 80 eintippen, gefolgt vom Gleichheitszeichen oder der Eingabetaste, oder 80 sin (die Lösung ist -0,9939).
- Du kannst auch „Sinus-Berechnung“ in eine Internetsuchmaschine eingeben. So findest du eine ganze Reihe von leicht zu bedienenden Taschenrechnern, die jeglichen Zweifel beseitigen sollten. [8] X Forschungsquelle
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Lerne den Sinussatz. Der Sinussatz ist ein nützliches Werkzeug für die Lösung von Dreiecken. In unserem Fall hilft er uns dabei, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, wenn wir die Länge einer Seite und die Größe eines zusätzlichen Winkels gegeben haben. Für jedes Dreieck mit den Seiten a , b und c , und den Winkeln A , B und C , besagt der Sinussatz: a / sin A = b / sin B = c / sin C . [9] X Forschungsquelle
- Der Sinussatz kann grundsätzlich zur Berechnung jedes Dreiecks verwendet werden. Allerdings haben nur rechtwinklige Dreiecke eine Hypotenuse.
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Ordne die Variablen a, b und c den Seiten deines Dreiecks zu. Die Hypotenuse (längste Seite) muss c sein. Um es einfacher zu machen, beschrifte die Seite mit der bekannten Länge a und die andere Seite b . Dann ordne die Variablen A, B und C den Winkeln des Dreiecks zu. Der rechte Winkel gegenüber der Hypotenuse wird zu C . Der Winkel gegenüber der Seite a wird zum Winkel A und der Winkel gegenüber der Seite b zu B .
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Berechne den Wert des dritten Winkels. Da es sich um einen rechten Winkel handelt, weißt du schon, dass C = 90 Grad sein muss. Dazu hast du noch den Wert von A oder B gegeben. Da alle Innenwinkel eines Dreiecks zusammen 180 Grad ergeben müssen, kannst du den Wert des letzten Winkels ganz einfach mit folgender Formel bestimmen: 180 – (90 + A) = B . Du kannst die Gleichung auch umdrehen, dann bekommst du: 180 – (90 + B) = A .
- Wenn du also z.B. A = 40 Grad gegeben hast, dann gilt: B = 180 – (90 + 40) . Vereinfacht ist das B = 180 – 130 , also B = 50 Grad.
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Untersuche das Dreieck. An diesem Punkt solltest du die Gradzahl von allen drei Winkel und die Länge der Seite a kennen. Dann kannst du jetzt diese Informationen in die Gleichung für den Sinussatz einsetzen, um die Länge der anderen beiden Seiten zu bestimmen.
- Um mit unserem Beispiel fortzufahren, nehmen wir an, dass die Länge der Seite a = 10 beträgt. Winkel C = 90 Grad, Winkel A = 40 Grad und Winkel B = 50 Grad.
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Wende den Sinussatz auf dein Dreieck an. Wir müssen jetzt nur noch unsere Werte in den Sinussatz einsetzen und die Gleichung nach c auflösen, um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen: Länge der Seite a / sin A = Länge der Seite c / sin C . Das sieht auf den ersten Blick vielleicht immer noch einschüchternd aus, da aber der Sinus von 90 Grad eine Konstante ist und immer 1 ergibt, können wir unsere Gleichung vereinfachen: a / sin A = c / 1 , oder einfach a / sin A = c .
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Dividiere die Länge der Seite a durch den Sinus des Winkels A , um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen. Das kannst du in zwei einzelnen Schritt machen. Zuerst berechnest du sin A und schreibst es auf. Dann dividierst du a durch diesen Wert. Oder du gibst alles gleichzeitig in den Taschenrechner ein. Wenn du das machst, darfst du nicht die Klammer nach dem Divisionszeichen vergessen. Du musst also z.B. entweder 10 / ( sin 40) oder 10 / (40 sin ) eingeben, abhängig von deinem Taschenrechner.
- Mithilfe des Taschenrechner bestimmen wir: sin 40 = 0,64278761. Um c zu erhalten, dividieren wir einfach die Länge von a durch diese Zahl. Dadurch erhalten wir: 10 / 0,64278761 = 15,6 , die Länge der Hypotenuse!
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Referenzen
- ↑ http://www.mathsisfun.com/definitions/hypotenuse.html
- ↑ http://mathematica.ludibunda.ch/pythagoras6.html
- ↑ http://www.wikihow.com/Use-the-Pythagorean-Theorem
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/working-with-pythagorean-triple-triangles.html
- ↑ http://www.regentsprep.org/regents/math/algtrig/att2/ltri45.htm
- ↑ http://www.dummies.com/how-to/content/identifying-the-30-60-90-degree-triangle.html
- ↑ https://www.mathsisfun.com/definitions/sine.html
- ↑ http://www.rapidtables.com/calc/math/Sin_Calculator.htm
- ↑ http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-sine-law.html
Über dieses wikiHow
Zusammenfassung
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Wenn du die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmen willst, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, sofern du die Länge der anderen beiden Seiten kennst. Du musst die Länge der beiden Seiten, die a und b genannt werden, quadrieren und zusammenzählen. Zieh die Quadratwurzel des Ergebnisses, um die Hypotenuse zu erhalten.
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