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Differenzial- und Integralrechnung (Analysis) ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit Grenzwerten, Funktionen, Ableitungen, Integralen und unendlichen Reihen beschäftigt. Dieses Thema stellt einen wichtigen Teil der Mathematik dar und unterstützt viele der Gleichungen, die Physik und Mechanik beschreiben. Wahrscheinlich musst du einen Oberstufen- oder Universitäts-Kurs belegen, um die Differenzial- und Integralrechnung gut zu verstehen, aber dieser Artikel kann dir den Einstieg erleichtern und helfen, die wichtigen Konzepte im Auge zu behalten sowie technische Erkenntnisse zu erhalten.
Vorgehensweise
Methode 1
Methode 1 von 3:
Wiederholung der Grundlagen der Differenzial- und Integralrechnung
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In der Differenzial- und Integralrechnung beschäftigt man sich damit, wie die Dinge sich ändern. Differenzial- und Integralrechnung ist ein Zweig der Mathematik, der sich Zahlen und Kurven anschaut, in der Regel aus der realen Welt, und beschreibt, wie sie sich verändern. Es sieht im ersten Moment vielleicht nicht besonders nützlich aus, aber die Differenzial- und Integralrechnung ist einer der am weitesten verbreiteten Zweige der Mathematik in der Welt. Stelle dir vor, du hast die Werkzeuge, um zu untersuchen, wie schnell dein Unternehmen zu jedem Zeitpunkt wächst, oder den Kurs eines Raumschiffs aufzuzeichnen und wie schnell es Kraftstoff verbrennt. Die Differenzial- und Integralrechnung ist ein wichtiges Werkzeug in Technik, Wirtschaft, Statistik, Chemie und Physik, und hat dazu beigetragen, viele reale Erfindungen und Entdeckungen zu machen.
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Funktionen sind Beziehungen zwischen zwei Zahlen und werden verwendet, um Beziehungen aus der realen Welt abzubilden. Funktionen sind Regeln für die Beziehungen zwischen Zahlen, und Mathematiker nutzen sie, um Graphen zu machen. In einer Funktion hat jede Eingabe eine Ausgabe. Zum Beispiel bei y = 2x + 4 gibt jeder Wert von "x" einen neuen Wert von "y". Wenn x = 2, dann ist y = 8, wenn x = 10, dann ist y = 24. [1] X Forschungsquelle In der Differenzial- und Integralrechnung werden Funktionen untersucht, um zu sehen, wie sie sich ändern, unter Verwendung von Funktionen, die Beziehungen in der realen Welt abbilden.
- Funktionen werden häufig geschrieben als f(x) = x + 3. Das bedeutet für die Funktion f(x), dass immer 3 zu der Eingabe für x addiert wird. Wenn du als Eingabe 2 haben willst, schreibe f(2) = 2 + 3 oder f(2) = 5.
- Funktionen können auch komplexe Bewegungen abbilden. Die NASA zum Beispiel hat Funktionen, die auf der Grundlage von Kraftstoffverbrauch, Windwiderstand und Gewicht einer Rakete berechnen können, wie schnell die Rakete sich bewegen wird.
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Unendlichkeit. Unendlichkeit ist, einen Prozess immer und immer wieder zu wiederholen. Es ist kein bestimmter Ort (man kann nicht ins Unendliche gehen), sondern das Verhalten einer Zahl oder Gleichung, wenn sie immer wiederholt wird. Dies ist wichtig, um Veränderungen zu untersuchen: Du möchtest vielleicht wissen, wie schnell dein Auto sich zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt, aber heißt das, wie schnell es zu dieser Sekunde war? Oder Millisekunde? Oder Nanosekunde? Du kannst unendlich kleine Zeiteinheiten finden, um besonders genau zu sein, und hier kommt die Differenzial- und Integralrechnung ins Spiel.
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Grenzwerte. Ein Grenzwert sagt dir, was passiert, wenn etwas in der Nähe der Unendlichkeit ist. Nimm die Zahl 1 und teile sie durch 2. Teile sie dann immer wieder durch 2. 1 wird zu 1/2, dann 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 usw. Jedes Mal wird die Zahl kleiner und kleiner und kleiner, sie geht immer "näher" zur Null. Aber wo endet es? Wie oft musst du 1 durch 2 teilen, bis du Null erhältst? In der Differenzial- und Integralrechnung wird, statt diese Frage zu beantworten, ein Grenzwert festgelegt. In diesem Fall ist der Grenzwert = 0.
- Grenzwerte sind am einfachsten in einem Graph zu sehen - es sind die Punkte, die ein Graph fast berührt, zum Beispiel, aber nie wirklich erreicht.
- Grenzwerte können eine Zahl, nicht existent oder sogar unendlich sein. Wenn du zum Beispiel 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... unendlich oft weiterführst, wäre deine endgültige Zahl unendlich groß. Der Grenzwert wäre unendlich.
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Wiederhole wesentliche mathematische Konzepte aus der Algebra und Trigonometrie. Die Differenzial- und Integralrechnung baut auf vielen Bereichen der Mathematik auf, die du schon seit langer Zeit lernst. Wenn du diese Themen komplett verstanden hast, ist es viel einfacher, Differenzial- und Integralrechnung zu lernen und zu verstehen. Einige Themen, die du wiederholen solltest, sind:
- Algebra . Du solltest in der Lage sein, Gleichungen und Gleichungssysteme mit mehreren Variablen zu lösen und verschiedene Verfahren zu kennen. Die Grundlagen der Mengentheorie. Grafische Darstellung von Gleichungen.
- Geometrie. In der Geometrie werden Formen betrachtet. Grundlagen über Dreiecke, Quadrate und Kreise und wie man Größen wie Fläche und Umfang berechnet. Winkel, Geraden und Koordinatensysteme.
- Trigonometrie . Trigonometrie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften von Kreisen und rechtwinkligen Dreiecken befasst. Trigonometrische Identitäten, Graphen, Funktionen und inverse trigonometrische Funktionen.
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Kaufe einen Grafik-Taschenrechner. Differenzial- und Integralrechnung ist unglaublich schwierig zu verstehen, wenn man nicht sieht, was man tut. Grafik-Taschenrechner nehmen Funktionen und stellen sie visuell dar, so dass du deine Arbeit besser verstehen kannst. Oft kannst du die Grenzwerte auf dem Bildschirm sehen und kannst Ableitungen und Funktionen automatisch berechnen.
- Viele Smartphones und Tablets bieten jetzt billige, aber effektive Grafik-Apps, wenn du keinen kompletten Taschenrechner kaufen willst.
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Differenzial- und Integralrechnung wird verwendet, um die "momentane Änderung" zu untersuchen. Zu wissen, wie sich etwas verändert zu jedem genauen Moment ist das Ziel der Differenzial- und Integralrechnung. Beispielsweise sagt dir die Differenzial- und Integralrechnung nicht nur die Geschwindigkeit deines Autos, sondern auch, um wie viel sich die Geschwindigkeit ändert zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dies ist eine der einfachsten Anwendungen der Differenzial- und Integralrechnung, aber sie ist unglaublich wichtig - stell dir vor, wie nützlich dieses Wissen über die Geschwindigkeit eines Raumschiffs ist, das versucht, den Mond zu erreichen! [2] X Forschungsquelle
- Das Bestimmen der momentanen Änderung wird Differenzieren genannt. Die Differenzialrechnung ist der erste von zwei Hauptzweigen der Differenzial- und Integralrechnung.
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Verwende Ableitungen, um zu verstehen, wie sich Dinge in diesem Moment ändern. Eine "Ableitung" ist ein toll klingendes Wort, das Angst einflößen kann. Das Konzept selbst ist aber nicht so schwer zu erfassen - es bedeutet nur, "wie schnell sich etwas ändert". Die am häufigsten verwendeten Ableitungen im Alltag betreffen die Geschwindigkeit. Du wirst es wahrscheinlich nicht die "Ableitung der Geschwindigkeit" nennen, sondern - "Beschleunigung".
- Beschleunigung ist eine Ableitung - sie sagt dir, wie schnell etwas beschleunigt oder langsamer wird, oder wie die Geschwindigkeit sich ändert.
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Die Änderungsrate ist die Steigung zwischen zwei Punkten. Dies ist eines der wichtigsten Ergebnisse der Differenzialrechnung. Die Änderungsrate zwischen zwei Punkten ist gleich der Steigung der Verbindungsgeraden. Stell dir eine einfache Gerade, wie zur Gleichung y = 3x gehörend, vor. Die Steigung der Geraden ist 3, was bedeutet, dass für jeden neuen Wert von x, sich y um 3 ändert. Die Steigung ist das gleiche wie die Änderungsrate: eine Steigung von drei bedeutet, dass die Gerade sich um 3 ändert für jede Änderung in x. Wenn x = 2, y = 6; wenn x = 3, y = 9.
- Die Steigung einer Geraden ist die Änderung in y geteilt durch die Änderung in x .
- Je größer die Steigung, desto steiler ist die Gerade. Bei steilen Geraden kann man sagen, dass sie sich sehr schnell ändern.
- Wiederhole noch einmal, wie du die Steigung einer Geraden bestimmen kannst, wenn dein Gedächtnis nicht mehr so frisch ist.
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Die Steigung von Kurven. Das Bestimmen der Steigung einer Geraden ist relativ einfach: Wie viel ändert sich y für jeden Wert von x? Bei komplexeren Gleichungen mit komplizierteren Graphen, wie y = x 2 , sind sie viel schwieriger zu bestimmen. Du kannst jedoch immer noch die Änderungsrate zwischen zwei beliebigen Punkten bestimmen - ziehe einfach eine Gerade zwischen ihnen und berechne die Steigung, um die Änderungsrate zu finden.
- Zum Beispiel bei y = x 2 kannst du zwei beliebige Punkte nehmen und die Steigung bestimmen. Nimm (1,1) und (2,4). Die Steigung zwischen ihnen wäre gleich (4-1) / (2-1) = 4/2 = 2. Das bedeutet, dass die Änderungsrate zwischen x = 1 und x = 2 gleich 2 ist.
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Bringe deine Punkte näher zusammen, damit du eine genauere Änderungsrate erhältst. Je näher deine zwei Punkte sind, desto wahrscheinlicher wirst du ein genaueres Ergebnis bekommen. Angenommen, du möchtest wissen, wie schnell dein Auto nach rechts beschleunigt, wenn du Gas gibst. Du willst dann nicht die Änderung in der Geschwindigkeit zwischen deinem Haus und dem Lebensmittelgeschäft messen, um die Änderung der Geschwindigkeit zu bestimmen, sondern du willst die Änderung der Geschwindigkeit in der Sekunde, in der du auf das Gas getreten hast, bestimmen. Je näher deine Messung an diesem Bruchteil einer Sekunde liegt, desto genauer wird deine Messung sein.
- Zum Beispiel untersuchen Wissenschaftler, wie schnell einige Arten aussterben werden, um zu versuchen, sie zu retten. Allerdings sterben oft mehr Tiere im Winter als im Sommer, so dass die Untersuchung der Veränderungsrate über das Gesamtjahr nicht so nützlich ist - sie bestimmen die Änderungsrate zwischen näher liegenden Punkten, wie vom 1. Juli bis 1. August.
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Benutze unendlich kurze Geraden, um die "momentane Änderungsrate", oder die Ableitung zu bestimmen. Hier wird die Differenzialrechnung oft verwirrend, aber das ist eigentlich das Ergebnis von zwei einfachen Tatsachen. Erstens, du weißt, dass die Steigung einer Geraden gleich dem ist, wie schnell sie sich ändert. Zweitens weißt du, dass je näher die Punkte deiner Geraden zusammen sind, desto genauer wird das Ergebnis sein. Aber wie kann man die Änderungsrate an einem Punkt bestimmen, wenn die Steigung das Verhältnis von zwei Punkten ist? Die Antwort der Differenzialrechnung: Nimm zwei Punkte, die unendlich nahe zusammen sind .
- Denk an das Beispiel, wo du 1 immer und immer wieder durch 2 teilst, und 1/2, 1/4, 1/8 usw. erhältst. Schließlich bist du so nahe bei Null, dass das Ergebnis "praktisch Null" ist. Hier sind deine Punkte so dicht beieinander, dass sie "praktisch gleich" sind. So ist es bei Ableitungen.
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Lerne, eine Vielzahl von Ableitungen zu berechnen . Es gibt eine Menge verschiedener Techniken, je nach der Gleichung, um eine Ableitung zu bestimmen, aber die meisten von ihnen machen Sinn, wenn du dich an die oben beschriebenen Grundprinzipien der Ableitungen erinnerst. Alle Ableitungen sind ein Weg, um die Steigung der "unendlich kurzen" Gerade zu bestimmen. Da du nun die Theorie der Ableitungen kennst, ist ein großer Teil der Arbeit, die Ergebnisse zu berechnen.
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Bestimme Ableitungs-Gleichungen, um die Änderungsrate an jedem Punkt vorherzusagen. Ableitungen zu benutzen, um die Änderungsrate an einem Punkt zu finden, ist hilfreich, aber die Schönheit der Differenzialrechnung ist, dass sie dir ermöglicht, ein neues Modell für jede Funktion zu erstellen. Die Ableitung von y = x 2 , zum Beispiel, ist y l = 2x. Das bedeutet, dass du die Ableitung für jeden Punkt des Graphen y = x 2 bestimmen kannst durch einfaches Einsetzen in die Ableitungs-Gleichung. An der Stelle (2, 4), wobei x = 2 und y = 4 ist, ist die Ableitung 4, da y l = 2 * (2).
- Ableitungen werden normalerweise mit einem hochgestellten Strich markiert - die Ableitung der Gleichung y wird beispielsweise oft als y l geschrieben.
- Hier noch eine andere populäre Art, Ableitungen darzustellen. Anstelle eines Prime Symbols schreibst du: Denk daran, dass die Funktion von der Variablen abhängt Dann stellen wir die Ableitung so dar: – die Ableitung von bezugnehmend auf Man nennt dies die Leibniz's Schreibweise.
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Denk an reale Beispiele für Ableitungen, wenn du immer noch Verständnis-Probleme hast. Das einfachste Beispiel hat mit Geschwindigkeit zu tun, und bietet eine Menge von verschiedenen Ableitungen, die wir jeden Tag sehen. Denk daran, eine Ableitung ist ein Maß dafür, wie schnell sich etwas ändert . Denk an das einfache Experiment "Rollen einer Murmel auf einem Tisch", wo du misst, wie weit sie jedes Mal kam und wie schnell sie sich bewegt hat. Nun stell dir vor, dass die rollende Murmel entlang einer Kurve in einem Graph rollt - wir verwenden Ableitungen, um die momentanen Änderungen an einem beliebigen Punkt auf dieser Kurve zu messen.
- Wie schnell verändert die Murmel ihren Ort? Was ist die Änderungsrate oder die Ableitung der Bewegung der Murmel? Diese Ableitung ist das, was wir "Geschwindigkeit" nennen.
- Rolle die Murmel eine Steigung hinunter und sieh, wie schnell sie an Geschwindigkeit gewinnt. Was ist die Änderungsrate oder Ableitung der Geschwindigkeit der Murmel? Diese Ableitung ist das, was wir "Beschleunigung" nennen.
- Rolle die Murmel eine Steigung hinunter und wieder nach oben wie auf einer Achterbahn. Wie schnell gewinnt die Murmel an Geschwindigkeit, wenn es nach unten geht, und wie schnell verliert sie an Geschwindigkeit, wenn es nach oben geht? Wie schnell ist die Murmel genau auf halber Höhe der ersten Steigung? Dies ist die momentane Änderungsrate oder Ableitung dieser Murmel an diesem einen bestimmten Punkt.
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Die Differenzial- und Integralrechnung kann dazu verwendet werden, komplexe Flächen und Volumen zu berechnen. Sie ermöglicht es dir, komplexe Formen zu messen, die normalerweise zu schwer sind. Stell dir zum Beispiel vor, du würdest versuchen herauszufinden, wie viel Wasser in einem langen, seltsam geformten See ist - es wäre nicht möglich, jeden Liter Wasser extra zu messen oder ein Lineal zu verwenden, um die Form des Sees zu messen. Mit Differenzial- und Integralrechnung kannst du untersuchen, wie sich die Ränder des Sees ändern, und mit dieser Informationen berechnen, wie viel Wasser sich im See befindet.
- Das Erstellen geografischer Modelle und Volumen-Untersuchungen benutzt die Integration. Integration ist der zweite große Zweig der Differenzial- und Integralrechnung.
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Durch Integration wird die Fläche unterhalb eines Graphen bestimmt. Integration wird benutzt, um die Fläche unter einer beliebigen Kurve zu messen, womit du die Fläche seltsamer oder unregelmäßiger Formen bestimmen kannst. Betrachte die Gleichung y=x 2 , deren Graph wie ein riesiges "U" aussieht. Vielleicht möchtest du herausfinden, wie groß die Fläche unterhalb des Us ist, und du kannst Integration verwenden, um es herauszufinden. Dies scheint ein nutzloses Beispiel zu sein, aber denk an die Anwendungen in der Herstellung - du kannst eine Funktion erstellen, die wie ein neues Teil aussieht und Integration benutzen, um die Fläche des Teils zu bestimmen, damit du die richtige Menge an Material bestellen kannst.
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Du musst eine Fläche auswählen, damit du integrieren kannst. Man kann nicht einfach eine ganze Funktion integrieren. Zum Beispiel ist y = x eine diagonale Gerade, die unendlich lang ist, und du kannst nicht alles integrieren, weil sie nicht endet. Bei der Integration von Funktionen musst du einen Bereich wählen, wie zum Beispiel alle Punkte zwischen x = 2 und x = 5.
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Denk daran, wie man die Fläche eines Rechtecks bestimmt. Stell dir vor, wir haben eine horizontale Gerade in einem Graphen, wie zum Beispiel y = 4. Um die Fläche unterhalb der Geraden zu bestimmen, müssten wir die Fläche eines Rechtecks zwischen y = 0 und y = 4 berechnen. Dies ist leicht zu berechnen, aber es funktioniert nicht für Kurven, die nicht leicht in Rechtecke gedreht werden können.
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Die Integration summiert viele kleine Rechtecke, um die Fläche zu bestimmen. Wenn du eine Kurve sehr stark vergrößerst, sieht sie an den einzelnen Stellen flach aus. Dies geschieht jeden Tag - wir können die Krümmung (Kurve) der Erde nicht sehen, weil wir so nahe an der Oberfläche sind. Bei der Integration werden eine unendliche Anzahl von kleinen Rechtecken unter eine Kurve gelegt, die so klein sind, dass die entsprechend langen Kurvenstücke im Wesentlichen flach sind, so dass du sie berechnen kannst. Addiere sie alle, um die Fläche unter einer Kurve zu bekommen.
- Stell dir vor, du addierst eine Menge kleiner Scheiben unter dem Graphen und die Breite jeder Scheibe ist fast Null.
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Integrale richtig lesen und schreiben. Integrale bestehen aus vier Teilen. Ein typisches Integral sieht wie folgt aus:
∫ f(x) dx
Das erste Symbol, ∫, ist das Symbol für die Integration. Der zweite Teil, f(x), ist die Stelle, wo du deine Funktion (2x+2, t 2 , etc.) hinschreibst und das dx am Ende sagt dir, um welche Richtung es geht.- Wenn am Ende des Integrals dy statt dx steht, bedeutet dies, dass wir horizontal messen, entlang der y-Achse, aber das kommt im allgemeinen erst in komplexeren Probleme vor.
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Integrale berechnen . Integration kommt in vielen Arten vor, und du musst eine Menge verschiedener Formeln lernen, um jede Funktion integrieren zu können. Doch alle folgen dem oben genannten Prinzip: bei der Integration wird eine unendliche Anzahl von Rechtecken addiert.
- Integration durch Substitution.
- Integration unbestimmter Integrale.
- Partielle Integration.
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Die Integration ist die Umkehrung des Differenzierens. Dies ist eine eiserne Regel der Differenzial- und Integralrechnung, und sie hat zu vielen wissenschaftlichen und technologischen Durchbrüchen geführt. Da Integration und Differenzieren so eng miteinander verbunden sind, kann eine Kombination aus den beiden verwendet werden, um Änderungsraten, Beschleunigung, Geschwindigkeit, Position, Bewegung etc. zu berechnen, egal welche Daten du hast.
- Denk zum Beispiel daran, dass die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung ist, so dass du die Geschwindigkeit verwenden kannst, um die Beschleunigung zu bestimmen. Aber wenn du nur die Beschleunigung von etwas kennst (wie zum Beispiel Objekte, die aufgrund der Schwerkraft fallen), kannst du sie integrieren, um die Geschwindigkeit zu bestimmen! Also, egal wie deine Daten aussehen, kannst du Integration/Differenzieren nutzen, um mehr zu erfahren.
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Mit Integration kannst du auch das Volumen von 3D-Objekten bestimmen. Wenn man eine flache Form dreht, erzeugt man damit 3D-Körper. Stell dir vor, du drehst eine Münze auf dem Tisch vor dir - beachte, wie sie anscheinend eine Kugel bildet, wenn sie sich dreht. Du kannst dieses Konzept verwenden, um das Volumen in einem Prozess, der "Volumen durch Rotation" genannt wird, zu bestimmen.
- Hiermit kannst du das Volumen von jedem Festkörper in der Welt bestimmen, so lange du eine Funktion hast, die ihn abbildet. Zum Beispiel kannst du eine Funktion erstellen, die den Grund eines Sees nachbildet, und dann kannst du sie verwenden, um das Volumen des Sees zu bestimmen, oder wie viel Wasser er enthält.
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Tipps
- Löse deine Probleme durch Rücksprache mit deinem Lehrer.
- Fange bei den Grundlagen an.
- Sei aufmerksam in der Klasse.
- Übung macht den Meister, mache also die Übungsaufgaben in deinem Lehrbuch und prüfe die Ergebnisse, um die Konzepte zu verstehen.
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Referenzen
- ↑ https://www.mathsisfun.com/sets/function.html
- ↑ http://www-math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter01/section02.html
- Calculus Made Easy von Silvanus P. Thompson und Martin Gardner
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