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Cuando se grafican, las ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c o a(x - h) 2 + k , forman una curva en forma de U o U inversa llamada parábola . Graficar una ecuación cuadrática es cuestión de encontrar su vértice, dirección y por lo general sus interceptos en sus ejes (x, y). Si se trata de una ecuación cuadrática relativamente simple, podría ser suficiente crear una tabla con valores de x para trazar la curva con los puntos resultantes. Ve el paso 1 a continuación para empezar.
Pasos
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Identifica el tipo de función cuadrática con el que vas a trabajar. La ecuación cuadrática puede escribirse de 3 formas: la forma desarrollada, la forma canónica y la forma factorizada. Puedes utilizar cualquiera de las 3 formas para graficar la ecuación cuadrática; pero el proceso para graficar cada una varía ligeramente. Si vas a hacer una tarea del colegio, por lo general recibirás el problema en una de las siguientes dos formas, en otras palabras, no podrás elegir, por lo que es mejor entender ambos métodos. Las dos formas de la ecuación cuadrática son:
- Forma desarrollada
. En esta forma, la ecuación cuadrática se escribe como f(x) = ax 2
+ bx + c; donde a, b y c son números reales y a es diferente de 0.
- Por ejemplo, dos formas desarrolladas de ecuación cuadrática son: f(x) = x 2 + 2x + 1 y f(x) = 9x 2 + 10x -8.
- Forma canónica
. En esta forma, la ecuación cuadrática se escribe como: f(x) = a(x - h) 2
+ k; donde a, h y k son números reales y a es diferente de 0. La forma canónica también es conocida como forma de vértice ya que h y k te dan directamente el vértice (punto central) de la parábola en el punto (h, k).
- Dos ecuaciones de forma canónica son f(x) = 9(x - 4) 2 + 18 y -3(x - 5) 2 + 1.
- Para graficar cualquiera de estos tipos de ecuaciones, primero se debe hallar el vértice de la parábola, el cual es el punto central (h, k) en el extremo de la curva. Las coordenadas del vértice en la forma desarrollada están dadas por: h = -b/2a y k = f(h), mientras que, en la forma canónica, h y k se especifican en la ecuación.
- Forma desarrollada
. En esta forma, la ecuación cuadrática se escribe como f(x) = ax 2
+ bx + c; donde a, b y c son números reales y a es diferente de 0.
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Define las variables. Para poder resolver la ecuación cuadrática, las variables a, b y c (o a, h y k) generalmente deben ser definidas. Normalmente, en los problemas de matemáticas se dan los valores de las variables, por lo general, en forma desarrollada, pero en ocasiones también en la forma canónica.
- Por ejemplo, para la ecuación desarrollada f(x) = 2x 2 +16x + 39, tenemos a = 2, b = 16, y c = 39.
- Para la forma canónica f(x) = 4(x - 5) 2 + 12, tenemos que a = 4, h = 5, y k = 12.
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Calcula h. En las ecuaciones de forma canónica, el valor para h ya está dado, pero en las ecuaciones de forma desarrollada se debe calcular. Recuerda, para las ecuaciones de forma desarrollada, h = -b/2a.
- En nuestro ejemplo de ecuación de forma desarrollada tenemos que (f(x) = 2x 2 +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2). Resolviendo, encontramos que h = -4 .
- En nuestro ejemplo de forma canónica (f(x) = 4(x - 5) 2 + 12), sabemos que h = 5, sin necesidad de hacer ninguna operación matemática.
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Calcula k. Lo mismo que con h, k es un valor dado en las ecuaciones de forma canónica. Para las ecuaciones en forma desarrollada, recuerda que k = f(h). En otras palabras, puedes encontrar k al reemplazar cada valor de x en la ecuación por el valor que hallaste de h.
- En nuestro ejemplo el valor de h = -4. Para encontrar k, resolvemos la ecuación reemplazando x por el valor de h:
- k = 2(-4) 2 + 16(-4) + 39.
- k = 2(16) - 64 + 39.
- k = 32 - 64 + 39 = 7 .
- En nuestro ejemplo en forma canónica, ya conocemos el valor de k (el cual es 12) sin necesidad de hacer ninguna operación matemática.
- En nuestro ejemplo el valor de h = -4. Para encontrar k, resolvemos la ecuación reemplazando x por el valor de h:
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Traza el vértice. El vértice de la parábola será el punto (h, k); h específica la coordenada de x, mientras que k específica la coordenada de y. El vértice es el punto central de la parábola, ya sea la parte la inferior de una "U" o el extremo más alejado de una "U" invertida. Conocer el valor del vértice es de vital importancia para graficar una parábola con precisión, generalmente, en las tareas escolares, se pide en la pregunta que se especifique el vértice.
- En nuestro ejemplo de forma desarrollada, nuestro vértice es (-4, 7). Por lo tanto, la parábola tiene su punto máximo cuatro espacios hacia la izquierda de 0 y 7 espacios encima del punto (0, 0). Se debe trazar este punto en la gráfica, asegurándote de marcar las coordenadas.
- En nuestro ejemplo de forma canónica, el vértice se ubica en el punto (5, 12). Debemos trazar un punto 5 espacios a la derecha y 12 espacios encima del punto (0, 0).
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Dibuja el eje simétrico de la parábola (opcional). El eje de simetría de una parábola es la línea que la atraviesa por la mitad y la cual divide la parábola en dos partes iguales. A través de este eje, el lado izquierdo de la parábola será un reflejo de la parte izquierda de la misma. Para ecuaciones de la forma ax 2 + bx + c o a(x - h) 2 + k, el eje es una línea paralela al eje y (en otras palabras, perfectamente vertical) que cruza a través del vértice.
- En nuestro ejemplo, con el caso de forma desarrollada, el eje es una línea paralela al eje x que atraviesa el punto (-4, 7). Aunque no es parte de la parábola en sí, marcar débilmente esta línea en tu gráfica te puede ayudar a ver cómo la parábola se curva de forma simétrica.
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Encuentra la dirección de apertura. Después de hallar el vértice y el eje simétrico de la parábola, necesitamos saber si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Por suerte, es un procedimiento sencillo. Si "a" es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba, pero si "a" es negativo, la parábola se abrirá hacia abajo (es decir, tendrá forma de U invertida).
- En nuestro ejemplo de ecuación desarrollada (f(x) = 2x 2 +16x + 39), sabemos que la parábola se abre hacia arriba porque en la ecuación a = 2 (positivo).
- En nuestro ejemplo de ecuación canónica (f(x) = 4(x - 5) 2 + 12), sabemos que la parábola nuevamente se abre hacia arriba porque a = 4 (positivo).
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Si es necesario, encuentra y traza los interceptos de x. Por lo general, en las tareas, se te pide que encuentres los interceptos de x (los cuales son uno o dos puntos donde la parábola corta el eje x). Incluso si no vas a hallarlos, estos dos puntos pueden ser invaluables a la hora de graficar una parábola precisa. Sin embargo, no todas las parábolas tienen interceptos en x. Si la parábola tiene un vértice que se abre hacia arriba por encima del eje x o si se abre hacia abajo y tiene su vértice por debajo del eje x, no tendrás ningún intercepto en x . De otra forma, resuelve los interceptos de x con uno de los siguientes métodos:
- Simplemente resuelve f(x) = 0 y resuelve la ecuación. Este método podría funcionar para ecuaciones cuadráticas simples (especialmente en forma canónica), pero resulta extremadamente difícil de aplicar en ecuaciones más complejas. Mira un ejemplo a continuación:
- f(x) = 4(x - 12) 2 - 4
- 0 = 4(x - 12) 2 - 4
- 4 = 4(x - 12) 2
- 1 = (x - 12) 2
- Raíz cuadrada (1) = (x - 12)
- +/- 1 = x -12. x = 11 y 13 son los interceptos en x de la parábola.
- Factoriza la ecuación
. Algunas ecuaciones de la forma ax 2
+ bx + c se pueden factorizar fácilmente de la forma (dx + e)(fx +g), donde dx × fx = ax 2
, (dx × g + fx × e) = bx, y e × g = c. En este caso, los interceptos en x son los valores de x para los cuales los valores dentro de los paréntesis son iguales a 0. Por ejemplo:
- x 2 + 2x + 1
- = (x + 1)(x + 1)
- En este caso, el único intercepto en x es -1 porque reemplazando x por -1 hace que cada uno de los términos factorizados entre paréntesis sea igual a 0.
- Utiliza la fórmula cuadrática. Si no puedes resolver fácilmente los interceptos de x o si no puedes factorizar la ecuación, utiliza una ecuación especial llamada la fórmula cuadrática
diseñada para este propósito. Si no está en forma desarrollada, resuelve la ecuación para que quede de la forma ax 2
+ bx + c, luego reemplaza a, b y c en la fórmula x = (-b +/- raíz cuadrada (b 2
- 4ac))/2a. Ten en cuenta que por lo general esto te da dos respuestas para x, lo cual está bien, eso solo significa que la parábola tienes dos interceptos en x. Ve el siguiente ejemplo:
- -5x 2 + 1x + 10 se reemplaza en la fórmula cuadrática de la siguiente manera:
- x = (-1 +/- (1 2 - 4(-5)(10)))/2(-5)
- x = (-1 +/- raíz cuadrada (1 + 200))/-10
- x = (-1 +/- raíz cuadrada (201))/-10
- x = (-1 +/- 14,18)/-10
- x = (13,18/-10) y (-15,18/-10). Los interceptos en x de la parábola son aproximadamente x = -1,318 y 1,518
- El ejemplo anterior, 2x 2 + 16x + 39, se reemplaza en la fórmula cuadrática de la siguiente manera:
- x = (-16 +/- raíz cuadrada (16 2 - 4(2)(39)))/2(2)
- x = (-16 +/- raíz cuadrada (256 - 312))/4
- x = (-16 +/- raíz cuadrada (-56)/-10
- Debido a que es imposible hallar la raíz cuadrada de un número negativo, sabemos que no hay interceptos en x para esta parábola en particular.
- Simplemente resuelve f(x) = 0 y resuelve la ecuación. Este método podría funcionar para ecuaciones cuadráticas simples (especialmente en forma canónica), pero resulta extremadamente difícil de aplicar en ecuaciones más complejas. Mira un ejemplo a continuación:
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Si es necesario, encuentra y traza los interceptos de y. Aunque por lo general no es necesario hallar los interceptos de y en la ecuación (el punto en el cual la parábola corta el eje y), tal vez te pidan hacerlo, especialmente en los trabajos de la escuela. El proceso es bastante simple, simplemente iguala x = 0, luego resuelve la ecuación para f(x) o y, lo cual te da el valor de y en el cual la parábola toca el eje y. A diferencia de los interceptos en x, las parábolas desarrolladas solo pueden tener un intercepto en y. Nota: para las ecuaciones de forma desarrollada, el intercepto de y se encuentra en el punto y = c.
- Por ejemplo, sabemos que nuestra ecuación cuadrática 2x 2
+ 16x + 39 tiene un intercepto en y = 39, pero también se puede encontrar de la siguiente forma:
- f(x) = 2x 2 + 16x + 39
- f(x) = 2(0) 2 + 16(0) + 39
- f(x) = 39. El intercepto en y de la parábola se encuentra en el punto y = 39 . Como se dijo anteriormente, el intercepto en y es igual a y = c.
- Nuestra ecuación de forma canónica 4(x - 5) 2
+ 12, tiene un intercepto en y que puede hallarse de la siguiente manera:
- f(x) = 4(x - 5) 2 + 12
- f(x) = 4(0 - 5) 2 + 12
- f(x) = 4(-5) 2 + 12
- f(x) = 4(25) + 12
- f(x) = 112. El intercepto en y de la parábola se encuentra en el punto y = 112 .
- Por ejemplo, sabemos que nuestra ecuación cuadrática 2x 2
+ 16x + 39 tiene un intercepto en y = 39, pero también se puede encontrar de la siguiente forma:
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Si es necesario, traza puntos adicionales y luego grafica. Ahora deberías tener el vértice, la dirección, los intercepto(s) en x y posiblemente un intercepto en y de la ecuación cuadrática. En este punto, puedes intentar dibujar la parábola utilizando los puntos que tienes como guía o puedes encontrar más puntos para "llenar" la parábola y dibujar una curva más precisa. La forma más fácil de hacerlo es simplemente reemplazando algunos valores en x en cualquier lado del vértice, luego trazar estos puntos utilizando los valores que obtengas de y. Por lo general, los profesores piden que halles un número determinado de puntos antes de dibujar la parábola.
- Repasemos la ecuación x 2
+ 2x + 1. Ya sabemos que su único intercepto se encuentra en x = -1. Debido a que el intercepto de x solo toca un punto, podemos inferir que el vértice es
su intercepto en x, lo que significa que el vértice se encuentra en el punto (-1, 0). Efectivamente, solo tenemos un punto para esta parábola, no tenemos los datos suficientes para realizar una buena gráfica. Encontremos algunos puntos más para poder dibujar una gráfica precisa.
- Encontremos los valores de y para los siguientes valores de x: 0, 1, -2 y -3.
- Para 0: f(x) = (0) 2 + 2(0) + 1 = 1. Nuestro punto es (0,1).
- Para 1: f(x) = (1) 2 + 2(1) + 1 = 4. Nuestro punto es (1,4).
- Para -2: f(x) = (-2) 2 + 2(-2) + 1 = 1. Nuestro punto es (-2,1).
- Para -3: f(x) = (-3) 2 + 2(-3) + 1 = 4. Nuestro punto es (-3,4).
- Traza estos puntos en la gráfica y dibuja la curva en forma de U. Ten en cuenta que la parábola es perfectamente simétrica, si tienes números enteros de un lado de la parábola, puedes ahorrarte algo de tiempo al reflejar los puntos al otro lado del eje simétrico de la misma, con esto hallas el punto correspondiente en el otro lado de la parábola.
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+ 2x + 1. Ya sabemos que su único intercepto se encuentra en x = -1. Debido a que el intercepto de x solo toca un punto, podemos inferir que el vértice es
su intercepto en x, lo que significa que el vértice se encuentra en el punto (-1, 0). Efectivamente, solo tenemos un punto para esta parábola, no tenemos los datos suficientes para realizar una buena gráfica. Encontremos algunos puntos más para poder dibujar una gráfica precisa.
Consejos
- Redondea los números o utiliza fracciones si tu profesor te dice que lo hagas. Esto te ayudará a graficar de forma correcta las ecuaciones cuadráticas.
- Ten en cuenta que en f(x) = ax 2 + bx + c; si b o c son iguales a 0, esos números desaparecen. Por ejemplo, 12x 2 + 0x + 6 se convierte en 12x 2 + 6 porque 0x es igual a 0.
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Referencias
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