ดาวน์โหลดบทความ
ดาวน์โหลดบทความ
เวลาพล็อตกราฟ สมการกำลังสองในรูป ax 2 + bx + c หรือ a(x - h) 2 + k จะให้กราฟเส้นโค้งเป็นรูปตัว U หรือเป็นรูปตัว U คว่ำซึ่งเรียกว่า พาราโบลา (parabola) การพล็อตกราฟสมการกำลังสองเป็นเรื่องของการหาจุดยอด ทิศทางและส่วนใหญ่ก็ให้หาจุดตัดระหว่างแกน x และแกน y ของมัน ในกรณีของสมการกำลังสองแบบง่ายนั้น แค่แทนค่า x ลงไปสักช่วงระยะหนึ่งก็พอที่จะพล็อตเส้นโค้งโดยยึดเอาตามจุดของผลที่แล้วมาได้ ดูขั้นตอนที่ 1 ด้านล่างนี้เพื่อเริ่มเรียนรู้กันเลย
ขั้นตอน
ดาวน์โหลดบทความ
-
ดูว่าสมการกำลังสองที่คุณมีนั้นเป็นรูปทรงอะไร. สมการกำลังสองสามารถเขียนออกมาได้เป็นรูปแบบที่แตกต่างกันสามแบบ: แบบมาตรฐาน, แบบจุดยอด และแบบกำลังสอง คุณสามารถใช้รูปแบบทั้งคู่ในการพล็อตกราฟสมการกำลังสองได้ กระบวนการที่ทำอาจแตกต่างกันเล็กน้อย หากคุณได้โจทย์การบ้านมาทำ คุณมักจะได้โจทย์ที่อยู่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งของสองแบบต่อไปนี้ พูดง่ายๆ คือ คุณไม่สามารถเลือกได้ ทางที่ดีจึงควรทำความเข้าใจมันทั้งสองแบบ รูปแบบทั้งสองของสมการกำลังสองคือ:
- รูปแบบมาตรฐาน
ในรูปแบบนี้ สมการกำลังสองจะถูกเขียนเป็น: f(x) = ax 2
+ bx + c โดยที่ a, b, และ c เป็นเลขจำนวนจริงและ a จะต้องไม่เท่ากับศูนย์
- ตัวอย่าง สมการกำลังสองรูปแบบมาตรฐานสองแบบคือ f(x) = x 2 + 2x + 1 กับ f(x) = 9x 2 + 10x -8
- รูปแบบจุดยอด
ในรูปแบบนี้นั้น สมการกำลังสองจะถูกเขียนเป็น: f(x) = a(x - h) 2
+ k โดยที่ a, h, และ k เป็นจำนวนจริงและ a ไม่เท่ากับศูนย์ รูปแบบจุดยอดได้ชื่อนี้เพราะ h และ k จะบอกว่าจุดยอด (จุดกึ่งกลาง) ของกราฟพาราโบลานั้นอยู่ที่จุด (h,k)
- สมการกำลังสองรูปแบบจุดยอดสองแบบคือ f(x) = 9(x - 4) 2 + 18 กับ -3(x - 5) 2 + 1
- ในการจะพล็อตกราฟสมการทั้งสองรูปแบบนี้ เราจำต้องหาจุดยอดของพาราโบลาก่อนเป็นอย่างแรก ซึ่งก็คือจุดกึ่งกลาง (h,k) ตรง "ปลายยอด" ของเส้นโค้ง พิกัดของจุดยอดในรูปแบบมาตรฐานจะให้มาโดย: h = -b/2a และ k = f(h), ในขณะที่ในรูปแบบจุดยอดนั้นโจทย์จะระบุ h กับ k มาให้แล้วในสมการ
- รูปแบบมาตรฐาน
ในรูปแบบนี้ สมการกำลังสองจะถูกเขียนเป็น: f(x) = ax 2
+ bx + c โดยที่ a, b, และ c เป็นเลขจำนวนจริงและ a จะต้องไม่เท่ากับศูนย์
-
นิยามตัวแปร. การที่จะแก้โจทย์สมการกำลังสองได้นั้น จะต้องนิยามตัวแปร a, b, และ c (หรือ a, h, และ k) ให้ได้เสียก่อน โจทย์พีชคณิตทั่วไปจะบอกสมการกำลังสองมาโดยให้หาตัวแปรมาเติมลงไปโดยมักจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน แต่บางครั้งก็อยู่ในรูปแบบจุดยอด
- ตัวอย่าง สำหรับสมการในรูปแบบมาตรฐาน f(x) = 2x 2 +16x + 39, เราจะได้ a = 2, b = 16, และ c = 39
- สำหรับสมการในรูปแบบจุดยอด f(x) = 4(x - 5) 2 + 12, เราจะได้ a = 4, h = 5, และ k = 12
-
คำนวณหา h. ในสมการรูปแบบจุดยอดนั้น โจทย์มักจะบอกค่าของตัวแปร h มาให้แล้ว แต่ในสมการรูปแบบมาตรฐานนั้น มันจะต้องคำนวณหาเอา จำไว้ว่าสำหรับสมการในรูปแบบมาตรฐานนั้น h = -b/2a
- ในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเรา (f(x) = 2x 2 +16x + 39), h = -b/2a = -16/2(2) พอแก้สมการเราจะพบว่า h = -4
- ในตัวอย่างสมการรูปแบบจุดยอดของเรา (f(x) = 4(x - 5) 2 + 12), เรารู้ว่า h = 5 โดยไม่ต้องคำนวณอะไร
-
คำนวณหา k. ก็เหมือนกับ h, ในสมการรูปแบบจุดยอดนั้น โจทย์มักจะบอกค่าของตัวแปร k มาให้แล้ว ในสมการรูปแบบมาตรฐานนั้น จำไว้ว่า k = f(h) พูดอีกอย่างก็คือคุณสามารถหา k ได้โดยการแทนตัวอย่างทุกตัวของ x ในสมการด้วยค่าที่คุณเพิ่งได้ของ h
- เราได้จากในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเราแล้วว่า h = -4 ถ้าจะหา k, เราก็แก้สมการด้วยค่า h ที่ได้ไปแทนที่ x:
- k = 2(-4) 2 + 16(-4) + 39
- k = 2(16) - 64 + 39
- k = 32 - 64 + 39 = 7
- ส่วนในตัวอย่างรูปแบบจุดยอดก็เช่นเคย เราทราบค่าของ k (ซึ่งเท่ากับ 12) โดยไม่ต้องคำนวณอะไร
- เราได้จากในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเราแล้วว่า h = -4 ถ้าจะหา k, เราก็แก้สมการด้วยค่า h ที่ได้ไปแทนที่ x:
-
พล็อตจุดยอด. จุดยอดของพาราโบลาจะเป็นจุด (h, k) โดยที่ h เป็นตำแหน่งบนแกน x โดยที่ k เป็นตำแหน่งบนแกน y จุดยอดคือจุดกึ่งกลางของพาราโบลา ซึ่งเป็นไปได้ทั้งเป็นจุดล่างสุดของรูปตัว "U" หรือจุดบนสุดของรูปตัว "U" คว่ำ การทราบจุดยอดเป็นส่วนสำคัญของการพล็อตพาราโบลาที่มีความแม่นยำ ส่วนใหญ่โจทย์การบ้านมักให้หาจุดยอดด้วยซ้ำ
- ในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเรา จุดยอดจะอยู่ที่ (-4,7) ดังนั้น พาราโบลาจะขึ้นสูงสุดที่จุดห่างจาก 0 ไปทางซ้าย 4 ตำแหน่งและเหนือ (0,0) ไป 7 ตำแหน่ง เราควรพล็อตจุดนี้ลงบนกราฟ ให้แน่ใจว่าได้กำกับพิกัดไว้
- ในตัวอย่างสมการรูปแบบจุดยอดของเรา จุดยอดจะอยู่ที่ (5,12) เราควรพล็อตจุดไปทางขวา 5 ตำแหน่งและเหนือ (0,0) 12 ตำแหน่ง
-
วาดแกนของพาราโบลา (ไม่จำเป็น). แกนสมมาตรของพาราโบลาคือเส้นที่ลากผ่านใจกลางของมันและจะแบ่งมันออกเป็นสองส่วนเท่ากัน โดยด้านซ้ายของพาราโบลาจะสะท้อนด้านขวาไปตามแกนนี้ สำหรับสมการกำลังสองในรูปแบบ ax 2 + bx + c หรือ a(x - h) 2 + k, แกนจะเป็นเส้นที่ขนานไปกับแกน y (หรือพูดอีกอย่างคือเป็นเส้นตรงแนวดิ่ง) และตัดผ่านจุดยอด
- ในกรณีของตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเรา แกนจะเป็นเส้นที่ขนานไปกับแกน y และตัดผ่านจุด (-4, 7) ถึงแม้มันจะไม่ใช่ส่วนหนึ่งของพาราโบลา แต่การลากเส้นนี้จางๆ บนกราฟจะช่วยให้คุณเห็นว่าพาราโบลาโค้งอย่างสมมาตรได้อย่างไร
-
หาทิศทางของปลายเปิด. หลังจากหาจุดยอดกับแกนของพาราโบลาได้แล้ว ต่อไปเราจำต้องรู้ว่าพาราโบลานี้ปลายเปิดหงายขึ้นหรือคว่ำลง โชคดีที่มันง่ายมาก ถ้า "a" เป็นบวก พาราโบลาก็จะปลายเปิดหงายขึ้น ในขณะที่ถ้า "a" เป็นลบ พาราโบลาก็จะมีปลายเปิดคว่ำลง (นั่นคือ มันจะเป็นรูปตัว U คว่ำ)
- ในตัวอย่างสมการรูปแบบมาตรฐานของเรา (f(x) = 2x 2 +16x + 39), เรารู้ว่าเรามีพาราโบลาแบบปลายเปิดหงายขึ้นเพราะในสมการของเรานั้น a = 2 (บวก)
- ในตัวอย่างสมการรูปแบบจุดยอดของเรา (f(x) = 4(x - 5) 2 + 12), เรารู้ว่าเรามีพาราโบลาแบบปลายเปิดหงายขึ้นเพราะในสมการของเรานั้น a = 4 (บวก)
-
หากจำเป็น ให้หาและพล็อตจุดตัดบนแกน x. บ่อยครั้งที่การบ้านมักให้คุณหาจุดตัดบนแกน x ของพาราโบลา (ซึ่งเป็นได้ทั้ง จุดเดียว หรือ สองจุด ที่พาราโบลาจะตัดแกน x) ถึงแม้คุณไม่คิดจะหา แต่จุดทั้งสองนี้ก็มีค่าควรแก่การวาดพาราโบลาให้มีความถูกต้องมากขึ้น อย่างไรก็ตาม ใช่ว่าพาราโบลาทุกชุดจะต้องมีจุดตัดบนแกน x ถ้าเกิดพาราโบลาของคุณเป็นแบบหงายขึ้นและมีจุดยอดอยู่เหนือแกน x หรือ ถ้าเกิดมันคว่ำลงและมีจุดยอดใต้แกน x มันจะไม่มีจุดตัดบนแกน x เลย นอกเหนือจากนี้แล้ว ให้แก้โจทย์หาจุดตัดบนแกน x โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
- แค่ตั้งให้ f(x) = 0 แล้วแก้สมการ. วิธีนี้อาจได้ผลสำหรับสมการกำลังสองโดยเฉพาะพวกที่อยู่ในรูปแบบจุดยอด แต่จะพิสูจน์ได้ยากขึ้นในโจทย์ที่มีความซับซ้อน ดูตัวอย่างตามด้านล่าง
- f(x) = 4(x - 12) 2 - 4
- 0 = 4(x - 12) 2 - 4
- 4 = 4(x - 12) 2
- 1 = (x - 12) 2
- SqRt(1) = (x - 12)
- +/- 1 = x -12 x = 11 และ 13 นั่นคือจุดตัดแกน x ของพาราโบลา
- แยกตัวประกอบสมการ. บางสมการในรูป ax 2
+ bx + c สามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายให้อยู่ในรูป (dx + e)(fx +g), โดยที่ dx × fx = ax 2
, (dx × g + fx × e) = bx, และ e × g = c ในกรณีนี้ จุดตัดแกน x ก็คือค่าของ x ที่ทำให้พจน์ใดพจน์หนึ่งในวงเล็บ = 0 ดังตัวอย่าง:
- x 2 + 2x + 1
- = (x + 1)(x + 1)
- ในกรณีนี้ จุดตัดเดียวบนแกน x คือ -1 เพราะเมื่อแทนค่าให้ x เท่ากับ -1 จะทำให้พจน์ที่แยกตัวประกอบมาในวงเล็บเท่ากับ 0
- ใช้สูตรกำลังสอง. หากคุณไม่สามารถแก้โจทย์หาจุดตัด x หรือแยกตัวประกอบสมการได้ง่ายๆ ให้ใช้สมการพิเศษที่เรียกว่า สูตรกำลังสอง
ที่คิดขึ้นมาเพื่อการนี้โดยเฉพาะ ถ้าสมการของคุณยังไม่อยู่ในรูปนี้อยู่แล้ว ก็ให้เขียนสมการใหม่ให้อยู่ในรูป ax 2
+ bx + c, จากนั้นแทนค่า a, b, และ c ลงไปในสูตร x = (-b +/- SqRt(b 2
- 4ac))/2a โปรดสังเกตว่านี่มักจะให้คำตอบสำหรับ x ออกมาสองค่า ซึ่งก็ไม่เป็นไร มันแค่หมายความว่าพาราโบลานั้นมีจุดตัดบนแกน x สองจุด ดูตัวอย่างตามด้านล่าง:
- -5x 2 + 1x + 10 จะถูกแทนค่าสู่สูตรกำลังสองได้ดังนี้:
- x = (-1 +/- SqRt(1 2 - 4(-5)(10)))/2(-5)
- x = (-1 +/- SqRt(1 + 200))/-10
- x = (-1 +/- SqRt(201))/-10
- x = (-1 +/- 14.18)/-10
- x = (13.18/-10) and (-15.18/-10) จุดตัดบนแกน x ของพาราโบลาอยู่ที่ประมาณ x = -1.318 กับ 1.518
- ในตัวอย่างรูปแบบมาตรฐานก่อนหน้านี้ของเรา, 2x 2 + 16x + 39 จะถูกแทนค่าสู่สูตรกำลังสองได้ดังนี้:
- x = (-16 +/- SqRt(16 2 - 4(2)(39)))/2(2)
- x = (-16 +/- SqRt(256 - 312))/4
- x = (-16 +/- SqRt(-56)/-10
- เพราะการหารากที่สองของจำนวนลบนั้นเป็นไปไม่ได้ เราจึงรู้ว่าพาราโบลาพิเศษนี้ ไม่มีจุดตัดบนแกน x
- แค่ตั้งให้ f(x) = 0 แล้วแก้สมการ. วิธีนี้อาจได้ผลสำหรับสมการกำลังสองโดยเฉพาะพวกที่อยู่ในรูปแบบจุดยอด แต่จะพิสูจน์ได้ยากขึ้นในโจทย์ที่มีความซับซ้อน ดูตัวอย่างตามด้านล่าง
-
ถ้าจำเป็น ให้หาและพล็อตจุดตัดบนแกน y. ถึงแม้มันจะไม่ค่อยจำเป็นนักที่จะต้องหาจุดตัดบนแกน y ของสมการ (จุดที่พาราโบลาลากผ่านแกน y) แต่ทางโรงเรียนอาจออกโจทย์มา กระบวนการหาก็ง่ายมาก แค่ตั้งให้ x = 0, แล้วแก้สมการหา f(x) หรือ y, ซึ่งจะให้ค่า y ที่ซึ่งพาราโบลาลากผ่านบนแกน y แต่ไม่เหมือนกับจุดตัดบนแกน x ตรงที่พาราโบลามาตรฐานจะมีจุดตัดบนแกน y เพียงจุดเดียว ข้อสังเกต – สำหรับสมการในรูปแบบมาตรฐานนั้น จุดตัดบนแกน y จะอยู่ที่ y = c
- ตัวอย่าง เรารู้สมการกำลังสองของเรา 2x 2
+ 16x + 39 มีจุดตัดบนแกน y ที่ y = 39, แต่มันยังหาได้ตามต่อไปนี้:
- f(x) = 2x 2 + 16x + 39
- f(x) = 2(0) 2 + 16(0) + 39
- f(x) = 39 จุดตัดบนแกน y ของพาราโบลาอยู่ที่ y = 39 ตามข้อสังเกตข้างต้นที่จุดตัดบนแกน y จะอยู่ที่ y = c
- สมแบบรูปแบบจุดยอดของเรา 4(x - 5) 2
+ 12 มีจุดตัดบนแกน y ที่หาได้ตามต่อไปนี้:
- f(x) = 4(x - 5) 2 + 12
- f(x) = 4(0 - 5) 2 + 12
- f(x) = 4(-5) 2 + 12
- f(x) = 4(25) + 12
- f(x) = 112 พาราโบลามีจุดตัดบนแกน y ที่ y = 112
- ตัวอย่าง เรารู้สมการกำลังสองของเรา 2x 2
+ 16x + 39 มีจุดตัดบนแกน y ที่ y = 39, แต่มันยังหาได้ตามต่อไปนี้:
-
หากจำเป็น ให้พล็อตจุดเพิ่มเติม แล้วค่อยลากกราฟ. ตอนนี้คุณควรทราบจุดยอด, ทิศทาง, จุดตัดบนแกน x และอาจจะเพิ่มจุดตัดบนแกน y สำหรับสมการของคุณ ถึงจุดนี้ คุณสามารถลองวาดพาราโบลาโดยใช้จุดที่มีเป็นตัวนำอ้างอิง หรือจะหาจุดเพิ่มเพื่อ "เติมเต็ม" พาราโบลาเพื่อเส้นโค้งจะได้ถูกต้องแม่นยำยิ่งขึ้น วิธีทำที่ง่ายที่สุดก็แค่แทนค่า x ลงไปอีกสองสามค่าทางด้านข้างของจุดยอดทั้งสองข้าง แล้วพล็อตจุดเหล่านี้โดยใช้ค่า y ที่ได้มา ส่วนใหญ่ครูมักจะให้คุณหาจุดเพิ่มอีกเล็กน้อยก่อนจะให้วาดพาราโบลา
- ลองกลับไปหาสมการ x 2
+ 2x + 1 เรารู้แล้วว่าจุดตัดบนแกน x จุดเดียวคือที่ x = -1 เนื่องจากมันตัดแกน x แค่จุดเดียว เราจึงอนุมานได้ว่าจุดยอดของมัน ก็คือ
จุดตัดบนแกน x นั่นหมายถึงจุดยอดของมันคือ (-1,0) เรามีจุดเดียวสำหรับพาราโบลานี้ ซึ่งไม่พอที่จะวาดพาราโบลาได้แม่นยำ ลองมาหาเพิ่มเพื่อจะวาดกราฟได้อย่างมั่นใจ
- มาหาค่า y สำหรับค่า x ดังต่อไปนี้: 0, 1, -2, และ -3
- สำหรับ 0: f(x) = (0) 2 + 2(0) + 1 = 1 จุดของเราคือ (0,1)
- สำหรับ 1: f(x) = (1) 2 + 2(1) + 1 = 4 จุดของเราคือ (1,4)
- สำหรับ -2: f(x) = (-2) 2 + 2(-2) + 1 = 1จุดของเราคือ (-2,1)
- สำหรับ -3: f(x) = (-3) 2 + 2(-3) + 1 = 4จุดของเราคือ (-3,4)
- พล็อตจุดเหล่านี้ลงบนกราฟแล้ววาดเส้นโค้งรูปตัว U โปรดสังเกตว่าพาราโบลาจะสมมาตร เวลาที่จุดบนด้านหนึ่งของพาราโบลามาจากจำนวนเต็ม คุณสามารถประหยัดเวลาโดยการสะท้อนจุดที่ให้มาข้ามแกนของพาราโบลาไปยังอีกด้าน
โฆษณา - ลองกลับไปหาสมการ x 2
+ 2x + 1 เรารู้แล้วว่าจุดตัดบนแกน x จุดเดียวคือที่ x = -1 เนื่องจากมันตัดแกน x แค่จุดเดียว เราจึงอนุมานได้ว่าจุดยอดของมัน ก็คือ
จุดตัดบนแกน x นั่นหมายถึงจุดยอดของมันคือ (-1,0) เรามีจุดเดียวสำหรับพาราโบลานี้ ซึ่งไม่พอที่จะวาดพาราโบลาได้แม่นยำ ลองมาหาเพิ่มเพื่อจะวาดกราฟได้อย่างมั่นใจ
เคล็ดลับ
- โปรดสังเกตว่าใน f(x) = ax 2 + bx + c นั้น หาก b หรือ c เท่ากับศูนย์ จำนวนเหล่านั้นจะหายไป ดังตัวอย่าง 12x 2 + 0x + 6 จะกลายเป็น 12x 2 + 6 เพราะ 0x ก็คือ 0
- ปัดเลขหรือใช้การแยกตัวประกอบตามที่ครูบอก นี่จะช่วยคุณวาดกราฟสมการกำลังสองได้อย่างถูกต้อง
โฆษณา
ข้อมูลอ้างอิง
เกี่ยวกับวิกิฮาวนี้
มีการเข้าถึงหน้านี้ 12,907 ครั้ง
โฆษณา
