Загрузить PDF
Загрузить PDF
График квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c или a(x - h) 2 + k представляет собой параболу (U-образную кривую). Для построения графика такого уравнения необходимо найти вершину параболы, ее направление и точки пересечения с осями Х и Y. Если вам дано относительно простое квадратное уравнение, то вы можете подставить в него разные значения «х», найти соответствующие значения «у» и построить график.
Шаги
Загрузить PDF
-
Квадратное уравнение может быть записано в стандартном виде и в нестандартном виде. Вы можете использовать любой вид уравнения для построения графика квадратного уравнения (способ построения немного отличается). Как правило, в задачах квадратные уравнения приводятся в стандартном виде, но эта статья расскажет вам об обоих видах записи квадратного уравнения.
- Стандартный вид: f(x) = ax 2
+ bx + c, где a, b, c - действительные числа и а ≠ 0.
- Например, два уравнения стандартного вида: f(x) = x 2 + 2x + 1 и f(x) = 9x 2 + 10x -8.
- Нестандартный вид: f(x) = a(x - h) 2
+ k, где a, h, k - действительные числа и а ≠ 0.
- Например, два уравнения нестандартного вида: f(x) = 9(x - 4) 2 + 18 и -3(x - 5) 2 + 1.
- Для построения графика квадратного уравнения любого вида сначала нужно найти вершину параболы, которая имеет координаты (h, k). Координаты вершины параболы в уравнениях стандартного вида вычисляются по формулам: h = -b/2a и k = f(h); координаты вершины параболы в уравнениях нестандартного вида можно получить непосредственно из уравнений.
- Стандартный вид: f(x) = ax 2
+ bx + c, где a, b, c - действительные числа и а ≠ 0.
-
Для построения графика необходимо найти численные значения коэффициентов a, b, c (или a, h, k). В большинстве задач квадратные уравнения даются с численными значениями коэффициентов.
- Например, в стандартном уравнении f(x) = 2x 2 +16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39.
- Например, в нестандартном уравнении f(x) = 4(x - 5) 2 + 12, a = 4, h = 5, k = 12.
-
Вычислите h в стандартном уравнении (в нестандартном оно уже дано) по формуле: h = -b/2a.
- В нашем примере стандартного уравнения f(x) = 2x 2 +16x + 39 h = -b/2a = -16/2(2) = -4.
- В нашем примере нестандартного уравнения f(x) = 4(x - 5) 2 + 12 h = 5.
-
Вычислите k в стандартном уравнении (в нестандартном оно уже дано). Помните, что k = f(h), то есть вы можете найти k, подставив в исходное уравнение найденное значение h вместо «х».
- Вы нашли, что h = -4 (для стандартного уравнения). Для вычисления k подставьте это значение вместо «х»:
- k = 2(-4) 2 + 16(-4) + 39.
- k = 2(16) - 64 + 39.
- k = 32 - 64 + 39 = 7
- В нестандартном уравнении k = 12.
- Вы нашли, что h = -4 (для стандартного уравнения). Для вычисления k подставьте это значение вместо «х»:
-
Нанесите вершину с координатами (h, k) на координатной плоскости. h откладывается по оси X, а k – по оси Y. Вершина параболы является либо самой нижней точкой (если парабола направлена вверх), либо самой верхней точкой (если парабола направлена вниз).
- В нашем примере стандартного уравнения вершина имеет координаты (-4, 7). Нанесите эту точку на координатной плоскости.
- В нашем примере нестандартного уравнения вершина имеет координаты (5, 12). Нанесите эту точку на координатной плоскости.
-
Проведите ось симметрии параболы (не обязательно). Ось симметрии проходит через вершину параболы параллельно оси Y (то есть строго вертикально). Ось симметрии делит параболу пополам (то есть парабола зеркально симметрична относительно этой оси).
- В нашем примере стандартного уравнения ось симметрии является прямой, параллельной оси Y и проходящей через точку (-4, 7). Хотя эта прямая и не является частью самой параболы, она дает представление о симметричности параболы.
-
Определите направление параболы - вверх или вниз. Это очень легко сделать. Если коэффициент «а» положительный, то парабола направлена вверх, а если коэффициент «а» отрицательный, то парабола направлена вниз.
- В нашем примере стандартного уравнения f(x) = 2x 2 +16x + 39 парабола направлена вверх, так как а = 2 (положительный коэффициент).
- В нашем примере нестандартного уравнения f(x) = 4(x - 5) 2 + 12 парабола также направлена вверх, так как а = 4 (положительный коэффициент).
-
Если нужно, найдите и нанесите точки пересечения с осью Х. Эти точки очень помогут вам при построении параболы. Их может быть две, одна или ни одной (если парабола направлена вверх, а ее вершина лежит выше оси Х, или если парабола направлена вниз, а ее вершина лежит ниже оси Х). Для вычисления координат точек пересечения с осью Х выполните следующие действия:
- Приравняйте уравнение к нулю: f(х) = 0 и решите его. Этот метод работает с простыми квадратными уравнениями (особенно нестандартного вида), но может оказаться чрезвычайно трудным в случае сложных уравнений. В нашем примере:
- f(x) = 4(x - 12) 2 - 4
- 0 = 4(x - 12) 2 - 4
- 4 = 4(x - 12) 2
- 1 = (x - 12) 2
- √1 = (x - 12)
- +/-1 = x -12. Точки пересечения параболы с осью Х имеют координаты (11,0) и (13,0).
- Разложите квадратное уравнение стандартного вида на множители: ax 2
+ bx + c = (dx + e)(fx +g), где dx × fx = ax 2
, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = c. Затем приравняйте каждый двучлен к 0 и найдите значения «х». Например:
- x 2 + 2x + 1
- = (x + 1)(x + 1)
- В этом случае существует единственная точка пересечения параболы с осью Х с координатами (-1,0), потому что при х + 1= 0 х = -1.
- Если вы не можете разложить уравнение на множители, решите его при помощи формулы для вычисления корней квадратного уравнения: x = (-b +/- √(b 2
- 4ac))/2a.
- Например: -5x 2 + 1x + 10.
- x = (-1 +/- √(1 2 - 4(-5)(10)))/2(-5)
- x = (-1 +/- √ (1 + 200))/-10
- x = (-1 +/- √ (201))/-10
- x = (-1 +/- 14,18)/-10
- x = (13,18/-10) и (-15,18/-10). Точки пересечения параболы с осью Х имеют координаты (-1,318,0) и (1,518,0).
- В нашем примере уравнения стандартного вида 2x 2 + 16x + 39:
- x = (-16 +/- √(16 2 - 4(2)(39)))/2(2)
- x = (-16 +/- √(256 - 312))/4
- x = (-16 +/- √(-56)/-10
- Так как извлечь квадратный корень из отрицательного числа нельзя, то в этом случае парабола не пересекает ось Х.
- Приравняйте уравнение к нулю: f(х) = 0 и решите его. Этот метод работает с простыми квадратными уравнениями (особенно нестандартного вида), но может оказаться чрезвычайно трудным в случае сложных уравнений. В нашем примере:
-
Если нужно, найдите и нанесите точки пересечения с осью Y. Это очень легко – подставьте х = 0 в исходное уравнение и найдите значение «у». Точка пересечения с осью Y всегда одна. Примечание: в уравнениях стандартного вида точка пересечения имеет координаты (0,с).
- Например, парабола квадратного уравнения 2x 2
+ 16x + 39 пересекается с осью Y в точке с координатами (0, 39), так как с = 39. Но это можно и вычислить:
- f(x) = 2x 2 + 16x + 39
- f(x) = 2(0) 2 + 16(0) + 39
- f(x) = 39, то есть парабола данного квадратного уравнения пересекается с осью Y в точке с координатами (0, 39).
- В нашем примере уравнения нестандартного вида 4(x - 5) 2
+ 12 точка пересечения с осью Y вычисляется следующим образом:
- f(x) = 4(x - 5) 2 + 12
- f(x) = 4(0 - 5) 2 + 12
- f(x) = 4(-5) 2 + 12
- f(x) = 4(25) + 12
- f(x) = 112, то есть парабола данного квадратного уравнения пересекается с осью Y в точке с координатами (0, 112).
- Например, парабола квадратного уравнения 2x 2
+ 16x + 39 пересекается с осью Y в точке с координатами (0, 39), так как с = 39. Но это можно и вычислить:
-
Вы нашли (и нанесли) вершину параболы, ее направление и точки пересечения с осями Х и Y. Вы можете построить параболы по этим точкам или найти и нанести дополнительные точки и только потом строить параболу. Для этого подставьте несколько значений «х» (по обе стороны от вершины) в исходное уравнение, чтобы вычислить соответствующие значения «у».
- Вернемся к уравнению x 2
+ 2x + 1. Вы уже знаете, то точкой пересечения графика этого уравнения с осью Х является точка с координатами (-1,0). Если парабола имеет только одну точку пересечения с осью Х, то это вершина параболы, лежащая на оси Х. В этом случае одной точки недостаточно для построения правильной параболы. Поэтому найдите несколько дополнительных точек.
- Допустим х = 0, х = 1, х = -2, х = -3.
- х = 0: f(x) = (0) 2 + 2(0) + 1 = 1. Координаты точки: (0,1).
- х = 1: f(x) = (1) 2 + 2(1) + 1 = 4. Координаты точки: (1,4).
- х = -2: f(x) = (-2) 2 + 2(-2) + 1 = 1. Координаты точки: (-2,1).
- х = -3: f(x) = (-3) 2 + 2(-3) + 1 = 4. Координаты точки: (-3,4).
- Нанесите эти точки на координатной плоскости и постройте параболу (соедините точки U-образной кривой). Обратите внимание, что парабола абсолютно симметрична – любую точку на одной ветке параболы можно зеркально отразить (относительно оси симметрии) на другой ветке параболы. Этим вы сэкономите время, так как вам не нужно вычислять координаты точек на обеих ветвях параболы.
Реклама - Вернемся к уравнению x 2
+ 2x + 1. Вы уже знаете, то точкой пересечения графика этого уравнения с осью Х является точка с координатами (-1,0). Если парабола имеет только одну точку пересечения с осью Х, то это вершина параболы, лежащая на оси Х. В этом случае одной точки недостаточно для построения правильной параболы. Поэтому найдите несколько дополнительных точек.
Советы
- Округляйте дробные числа (если это требование преподавателя) – так вы построите правильную параболу.
- Если в f(x) = ax 2 + bx + c коэффициенты b или c равны нулю, то членов с этими коэффициентами в уравнении нет. Например, 12x 2 + 0x + 6 превращается в 12x 2 + 6, потому что 0x равен 0.
Реклама
Источники
Реклама
